专题8.1 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式（3大考点+8大题型+强化训练）（题型专攻） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

专题8.1 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 目录 1 2 知识点01 单项式乘单项式 2 知识点02 单项式乘多项式 2 知识点03 多项式乘多项式 2 3 题型01 计算单项式乘单项式 3 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 题型03 计算单项式乘多项式及求值 3 题型04 单项式乘多项式的应用 3 题型05 计算多项式乘多项式 4 题型06 多项式乘多项式--化简求值 4 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 题型08 多项式乘多项式与图形面积 5 题型09 多项式乘法中的规律性问题 6 题型10 整式乘法混合运算 6 7 教学目标 1. 理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则推导逻辑，能结合乘法交换律、结合律及分配律阐述法则原理。 2. 熟练掌握三类整式乘法的计算步骤，能准确进行运算，做到系数、同底数幂运算不混淆，符号判断无误。 3. 能运用整式乘法解决简单的代数化简和实际问题，提升运算规范性与代数推理能力，为后续因式分解和方程学习铺垫。 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘单项式的法则，能正确处理系数相乘、同底数幂相乘的运算顺序，熟练计算含字母和数字系数的单项式乘法。 （2）理解并运用分配律完成单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算，明确多项式乘多项式需转化为单项式乘多项式的分步计算思路。 2.难点 （1）多项式乘多项式运算中，准确做到不重不漏地逐项相乘，并正确合并同类项，避免因漏乘项或符号错误导致计算失误。 （2）理解整式乘法法则的内在联系，能灵活选择方法进行混合运算，同时能结合实际问题建立整式乘法的数学模型，突破代数运算与实际应用的衔接障碍。 知识点01 单项式乘单项式 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点02 单项式乘多项式 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点03 多项式乘多项式 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 题型01 计算单项式乘单项式 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·月考） ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 题型03 计算单项式乘多项式及求值 【典例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·天津宝坻·月考） ． 【变式3】（25-26八年级上·天津·月考）已知，则式子的值为 ． 题型04 单项式乘多项式的应用 【典例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 题型05 计算多项式乘多项式 【典例5】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）计算： 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）若，则m的值是 ． 题型06 多项式乘多项式--化简求值 【典例6】（25-26八年级上·北京·月考），则代数式 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）先化简．再求值：，其中． 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例7】（25-26八年级上·天津·月考）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（    ） A． B．4 C． D．1 【变式1】（2025八年级上·河北·专题练习）若的计算结果中项的系数为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·月考）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项， ． 【变式3】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 题型08 多项式乘多项式与图形面积 【典例8】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图是一所学校活动室的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某长方形草坪的长为米，宽为米，则草坪的面积为 平方米． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式： ． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 题型09 多项式乘法中的规律性问题 【典例9】（25-26八年级上·山西阳泉·月考）观察：，，，，…．根据你发现的规律可知，若，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【变式2】（25-26八年级上·天津·月考）观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算： ． 【变式3】（2025九年级·江西·专题练习）观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 题型10 整式乘法混合运算 【典例10】（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【变式3】（25-26八年级上·四川内江·月考）先化简，再求值：，其中， ． 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·宁夏固原·期末）我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、填空题 6．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）计算： ． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为 ． 8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）若计算的结果中不含有项，则的值为____________ 9．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若实数x满足，则 ． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·北京平谷·期末）计算：． 12．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 14．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 15．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 目录 1 2 知识点01 单项式乘单项式 2 知识点02 单项式乘多项式 2 知识点03 多项式乘多项式 2 3 题型01 计算单项式乘单项式 3 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 题型03 计算单项式乘多项式及求值 5 题型04 单项式乘多项式的应用 6 题型05 计算多项式乘多项式 7 题型06 多项式乘多项式--化简求值 8 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型08 多项式乘多项式与图形面积 11 题型09 多项式乘法中的规律性问题 13 题型10 整式乘法混合运算 15 16 教学目标 1. 理解单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则推导逻辑，能结合乘法交换律、结合律及分配律阐述法则原理。 2. 熟练掌握三类整式乘法的计算步骤，能准确进行运算，做到系数、同底数幂运算不混淆，符号判断无误。 3. 能运用整式乘法解决简单的代数化简和实际问题，提升运算规范性与代数推理能力，为后续因式分解和方程学习铺垫。 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘单项式的法则，能正确处理系数相乘、同底数幂相乘的运算顺序，熟练计算含字母和数字系数的单项式乘法。 （2）理解并运用分配律完成单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算，明确多项式乘多项式需转化为单项式乘多项式的分步计算思路。 2.难点 （1）多项式乘多项式运算中，准确做到不重不漏地逐项相乘，并正确合并同类项，避免因漏乘项或符号错误导致计算失误。 （2）理解整式乘法法则的内在联系，能灵活选择方法进行混合运算，同时能结合实际问题建立整式乘法的数学模型，突破代数运算与实际应用的衔接障碍。 知识点01 单项式乘单项式 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点02 单项式乘多项式 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点03 多项式乘多项式 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 题型01 计算单项式乘单项式 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·月考） ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟知单项式乘单项式的法则是正确解答此题的关键． 根据单项式乘单项式的法则及同底数幂的乘法法则，系数相乘，同底数幂分别相乘即可． 【详解】解：原式． 故答案为 ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解：， 故答案为：． 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例2】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 题型03 计算单项式乘多项式及求值 【典例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式并合并同类项进行化简． 【详解】解：原式， 化简结果为x， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了合并同类项，单项式乘多项式，单项式乘单项式，解题的关键在于熟知各项计算法则． 根据计算法则，对选项进行逐一分析． 【详解】解：对选项逐一分析如下： A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·天津宝坻·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加． 根据单项式与多项式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·天津·月考）已知，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，单项式乘以多项式．将所求代数式化简后，利用已知方程整体代入求值． 【详解】解∶由得， 则． 故答案为：． 题型04 单项式乘多项式的应用 【典例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 【详解】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 题型05 计算多项式乘多项式 【典例5】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键． 利用已知方程 得出 ，然后代入化简后的表达式中计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，直接根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）若，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题含参的整式乘法计算，通过展开左边多项式，并与右边多项式比较系数，得到m的值． 【详解】解：， ∵， ∴． 故答案为：2． 题型06 多项式乘多项式--化简求值 【典例6】（25-26八年级上·北京·月考），则代数式 ． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 【变式3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）先化简．再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例7】（25-26八年级上·天津·月考）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，多项式与多项式相乘，先分别用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 先根据多项式与多项式的乘法法则计算，合并同类项后令x的一次项的系数为0，从而求出m的值． 【详解】解： ， 又∵展开式中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（2025八年级上·河北·专题练习）若的计算结果中项的系数为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的无关型问题，掌握相关运算法则是解题关键．展开多项式乘积，找出项的系数，并令其等于，解方程求m即可． 【详解】解： ∵计算结果中项的系数为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·月考）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项， ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，先求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项得到一次项的系数为，然后解关于的方程即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 题型08 多项式乘多项式与图形面积 【典例8】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图是一所学校活动室的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，用不同的方法表示学校活动室的面积是解题的关键．分别用不同的方法表示学校活动室的面积，逐个排除即可得到正确的答案． 【详解】解：A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意； B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意； C．是右面大长方形的面积加上左面长方形的面积，正确，不符合题意； D．不是学校活动室的面积，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某长方形草坪的长为米，宽为米，则草坪的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据草坪的面积等于长×宽进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵某长方形草坪的长为米，宽为米， ∴ ∴草坪的面积为平方米． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式表示面积，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． 大长方形的长为，宽为，因此面积为，图中四个小长方形的面积和为，据此即可解答． 【详解】解：由图形面积的不同计算方法可得． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，四个角上各有一个边长为b米的小正方形空地，开发商计划在空地之外的部分（阴影部分）进行绿化． (1)求该小区绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本为40元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要15040元 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）用长方形的面积减去四个小正方形的面积，求解即可； （2）把，，代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，即可得出结果． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：当，时，， （元）； 答：完成绿化共需要15040元． 题型09 多项式乘法中的规律性问题 【典例9】（25-26八年级上·山西阳泉·月考）观察：，，，，…．根据你发现的规律可知，若，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题属于多项式乘法规律探究类题目，根据已知等式和规律，可得出左边乘积等于，从而求出的值，再通过指数运算求． 【详解】解：根据规律，， 又已知该式等于， ∴， ∴， ∴． 故选B 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：； 的系数行：； 对于含项的系数是从左向右第个数，即． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·天津·月考）观察下列式子： ；；． 利用上面式子存在的规律，计算： ． 【答案】1023 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据给定的等式规律得出，从而可得，本题中 ，，代入公式计算，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：根据给定的等式规律，， ∴， ∴， 故答案为：1023． 【变式3】（2025九年级·江西·专题练习）观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ； ； ； ； …… 所以用含n的等式可表示为：． 令，得， 所以， ， 故答案为：． 题型10 整式乘法混合运算 【典例10】（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用单项式乘多项式，以及积的乘方的运算法则去括号，再合并同类项，即可解题． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据平方差公式，多项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3】（25-26八年级上·四川内江·月考）先化简，再求值：，其中， ． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则和合并同类项法则，进行化简，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方和单项式乘以多项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 5．（25-26八年级上·宁夏固原·期末）我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，计算单项式乘单项式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据单项式乘单项式法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查多项式乘多项式；展开左边多项式，利用等式两边对应项系数相等，求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 对比系数得，，即， ∴． 故答案为：17． 8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）若计算的结果中不含有项，则的值为____________ 【答案】 【分析】本题考查整式运算中不含某一项的问题，先进行单项式乘以多项式的运算，然后合并同类项，根据结果不含项，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：原式 ； ∵最终结果不含有项， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若实数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用整体的思想进行代数式求值，单项式与多项式的乘法．由可得 ，将其代入所求表达式 中，通过代数变形降次，合并同类项后计算常数值得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 三、解答题 11．（24-25七年级下·北京平谷·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用单项式乘多项式、多项式乘多项式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 14．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 【答案】(1) (2)8550元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：地砖面积为空地面积减去花园面积， 即 故地砖面积为． （2）解：当，， ， 元， 故购买所需地砖需要元． 15．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $