1.1 幂的乘除（第4课时）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

1.1 幂的乘除 第一章 整式的乘除 北师大版（新教材）·七年级下册 第4课时 同底数幂的除法 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握同底数幂的除法法则及零指数、负指数幂的意义，能用数学符号和文字语言进行表述；能熟练运用同底数幂的除法法则进行计算（包括公式的逆用），并能正确进行零指数幂的运算；初步感受幂的运算的互逆关系，体会知识之间的联系。 经历从具体实例中归纳同底数幂除法法则的过程，发展观察、归纳和符号化能力；通过探索“当被除式的指数等于除式的指数”时的情形，理解零指数幂规定的合理性，感受数学规定的一致性。 在探索零指数幂的意义时，体验数学规定不是任意的，而是源于对运算和谐与拓展的需要。通过完善幂的运算体系，获得知识系统化的成就感。 知识回顾 我们在前面学习了与幂有关的运算性质，这些运算都有哪些? 1.同底数幂乘法法则： 2.幂的乘方法则： 3.积的乘方法则： （m，n都是正整数） am · an = am+n （m，n都是正整数） （n是正整数） 导入新课 一种液体每升含有 1012 个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现 1 滴灭菌剂可以杀死 109 个有害细菌。要将 1 L 液体中的有害细菌全部杀死， 需要这种灭菌剂多少滴? 你是怎样计算的? 1012 ÷ 109 （3）同底数的幂相除，怎样计算呢? （2）观察这个算式，它有何特点? 同底数幂相除 （1）怎样列式？ 运算：除法 特征：被除数与除数是相同底数的幂 探究点1 同底数幂相除 议一议 （1）你能利用已学知识或乘方的意义来计算 （2）能否用乘除互逆运算的思想来计算 ？ 新知探究 尝试•思考 做一做 探究点1 同底数幂相除 请用计算下列各式,并说明理 ( m, n 都是正整数，且 ). （1）10m÷10n； （2）(-3)m ÷ (-3)n 。 （1）10m÷10n = 10×10×…×10 10×10×…×10 n 个 10 = 10m – n = 10×10×…×10 (m – n) 个 10 10m÷10n=10m-n m 个 10 由此，你发现了什么? 底数没变 指数相减 请用计算下列各式,并说明理 ( m, n 都是正整数，且 ). （1）10m÷10n； （2）(-3)m ÷ (-3)n 。 尝试•思考 （2）(– 3)m÷ (– 3) n = (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) n 个 (– 3) = (– 3) m – n m 个 (– 3) = (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) (m – n) 个 (– 3) 由此，你发现了什么? (-3)m÷(-3) n=(-3)m-n 探究点1 同底数幂相除 做一做 底数没变 指数相减 尝试•思考 （1）如果将底数推广到字母 a是(其中 ， m, n 都是正整数，且 )怎样计算？ am÷an m 个 a n 个 a = am – n = a · a · … · a (m – n) 个 a am÷an= am – n(m＞n，且m，n都是正整数) 探究点1 同底数幂相除 议一议 a · a · … · a = a · a · … · a （2）你能用自己的语言归纳法则吗? 同底数幂相除，底数不变，指数相减 法则条件： ① 除法；② 同底；③ a≠0；④ m, n为正整数，且 m>n 公式： 思考•交流 计算：（1） 23÷23，23÷25 ；（2） a3÷a3，a3÷a5 。 解：（1）23÷23 = = 1， （2）a3÷a3 = = 1。 （1）23÷23=23-3=20， （2）a3÷a3=a3-3=a0， 20=1 a0=1 根据除法意义计算 根据同底数幂除法法则计算 你能得出什么结论? 探究点2 零、负指数 做一做 （1）23÷25 = = ， （2）a3÷a5 = = （1）23÷25=23-5=2-2， （2）a3÷a5=a3-5=a-2。 =2-2 =a-2 思考•交流 探究点2 零、负指数 议一议 如果公式怎样保证它还成立呢？ 1（法则延续性）： 当 时 ，； 2.（乘除法则）： 当 时 ，(a≠0， 相同的数相除商为1)。 零指数幂 规定： (a≠0) 为使法则在 m=n 时也适用 目的 3.零指数幂意义 思考•交流 探究点2 零、负指数 议一议 如果公式怎样保证它还成立呢？ 1（法则延续性）： 当 时， 2.（乘除法则）： 当 时， (a≠0， 相同的数相除商为1)。 设 规定 两种法则保持一致 目的 3.负指数幂意义： 规定：（a≠0)。 负指数幂 思考•交流 探究点2 零、负指数 归一归 同底数幂的乘法和除法运算性质中的是全体整数 (a≠0，m，n都是整数). 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 01 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1． a0＝1(a≠0)． 02 负整数次幂：任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数． (a≠0，p是正整数)． 03 典例分析 例 1 计算 （1） a7÷a4； （2） (– x)6÷(– x)3； （3） (xy)4÷(xy)； （4） b2m+2÷b2 。 解：（1） a7÷a4 = a7 – 4 = a3； （2） (– x)6÷(– x)3 = (– x)6 – 3 = (– x)3 = – x3； （3） (xy)4÷(xy) = (xy)4–1 = (xy)3 = x3y3 ； （4） b2m+2÷b2 = b2m+2–2 = b2m 。 典例分析 例 2 用小数或分数表示下列各数： （1）10 –3；（2）70×8 –2；（3）1.6×10 –4 。 解：（1） ； （2）； （3） 典例分析 例3.若，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【分析】 本题考查了零指数幂，根据零指数幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，因此， 成立的条件是： ，即． 解：∵ 零指数幂的定义： 当时，， ∴ 成立的条件是： ， 即： 。 因此，满足的条件是． C 典例分析 已知，，求的值. 【分析】 本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法， 将表示为， 然后代入已知值求解． 解：∵ ， 且，， ∴ ， ∴ ． 新知巩固 （1）x12÷x4；（2）(-y)3÷(-y)2；（3）-(k6÷k6) ； （4）(-r)5÷r4；（5）m÷m0；（6）(mn)5÷(mn) 。 1.计算： 解：（1）x12÷x4 =x12-4 = x8； （2） (-y)3÷(-y)2 =-y； （3） -(k6÷k6) =-1； （4） (-r)5÷r4 =-r5÷r4=-r ； （5） m÷m0=m÷1= m； （6） (mn)5÷(mn) = (mn)5-1 =(mn)4=m4n4。 教材P8随堂练习 拓展提升 已知，求的值 解： 2.已知10a=20，10b=0.2，试求9a÷32b的值 9a÷32b = 9a÷（32）b = 9a÷9b = 9a-b ∵10a=20，10b=0.2 ∴10a÷10b=20÷0.2 ∴10a-b=100=10² ∴a-b=2 = 92=81 解： 真题感知 1．（2025•湖北）下列运算的结果为m6的是（　　） A．m3+m3 B．m2•m3 C．（m2）3 D．m4÷m2 解：A、m3+m3＝2m3，故此选项不符合题意； B、m2•m3＝m5，故此选项不符合题意； C、（m2）3＝m6，故此选项符合题意； D、m4÷m2＝m2，故此选项不符合题意； C 真题感知 2．（2025•山东）已知a≠0，则下列运算正确的是（　　） A．﹣2a+3a＝5a B．（﹣2a3）2＝4a6 C．a2﹣a＝a D．a6÷a2＝a3 B 解： A、﹣2a+3a＝a，故该项不正确，不符合题意； B、（﹣2a3）2＝4a6，故该项正确，符合题意； C、a2与a不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； D、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意； 真题感知 3．（2025•凉山州）下列运算正确的是（　　） A．m+m＝m2 B．（mn2）5＝m5n7 C．m3•m2＝m6 D．m8÷m2＝m6 解：m+m＝2m，则A不符合题意， （mn2）5＝m5n10，则B不符合题意， m3•m2＝m5，则C不符合题意， m8÷m2＝m6，则D符合题意， D 课堂小结 知识总结: (1)法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 （a≠0， m, n为正整数)。 (2)零、负整数指数幂： ,(a≠0)。 （3）幂的四种基本运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 同底数幂的乘法运算法则：  幂的乘方运算法则:  (am)n= (m、n都是正整数) (ab)n = an·bn （m,n都是正整数） 积的乘方法则 amn am · an = am+n (m、n都是正整数)   同底数幂的除法运算法则： am ÷ an = am-n (a≠0，m、n为正整数，m>n) 课堂小结 （1）法则混淆：牢记“同底相除指数减”，勿与乘法混淆。 （2）忽略条件：零、负整数指数幂 ,（a≠0） 成立的前提是a≠0 ，解题时需先确定底数不为零。 易错提醒： 方法总结： （1）探究方法：类比乘法（逆运算）、从特殊到一般、通过规定拓展知识。 （2）解题策略： 先判运算：识别是同底数幂的除法； 检查条件：底数相同且不为0；指数相减时注意大小； 零、负整数指数幂关注底数不为0； 化异为同：底数不同时，利用相反数的偶次方相等或其它方法转化为同底； 综合顺序：混合运算中，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。 课后练习 教材P9 7.计算： （1）213÷27； （3）a11÷a5； （5） a-4÷a-6； （2）(-)6÷(- )2； （4）(-x)7÷(-x)； （6） 62m+1÷6m ； （7） 5n+1÷53n+1； （8） 9n÷9n+2 。 解:（1）原式=64； （2）原式= ； （3）原式= a6 ； （4）原式= x6 ； （5）原式= a2 ； （6）原式= 6m+1 ； （7）原式= 5-2n； （8）原式= 习题1.1 课后练习 8.计算： （1）()0 ； （3）5-2 ； （5）7-3÷7-5 ； （2）3-3； （4）1.3×10-5 ； （6）3-1÷36 ； （7）()-5÷()2； （8）(-8)0÷(-8)-2。 解:（1）原式= 1； （2）原式= ； （3）原式= ； （4）原式= 0.000 013； （5）原式=7-3-（-5）= 49； （6）原式= 3-1-6=3-7 = ； （7）原式= ()-7 = 7 =128 （8）原式= 1÷(-8)-2 = 64。 教材P9 习题1.1 课后练习 12.下面的计算是否正确?如有错误请改正。 （1）a6÷a=a6； （3） a10÷a9=a； （2）b6÷b3=b2； （4）(-bc)4÷(-bc)2=-b2c2。 解:（1）错误，应改为 a6÷a=a5 ； （2）错误，应改为 b6÷b3=b3 ； （3）正确； （4）错误，应改为 (-bc)4÷(-bc)2=b2c2。 教材P10 习题1.1 课后练习 解: 21=2，即分裂1次变为2个； 22=4，即分裂2 次变为 4个； 23=8，即分裂3次变为8个…… 20表示没有分裂，即有1 个细胞，20=1。 17.某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明20=1的合理性吗? 教材P11 习题1.1 课后练习 18.海豚能听到声音的最高频率是 1.5×105Hz，人类能听到声音的最高频率是 2×104Hz，海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的多少倍? 解:1.5×105÷2×104 = 0.75×10=7.5(倍)。 教材P11 习题1.1 谢谢聆听 $