云南省曲靖市宣威市民族中学学校等联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. 3x² + 2y - 1 = 0 B. ax² + bx + c = 0 C. (x-1)(x+2) = 1 D. x² + = 5 2.抛物线y = 2(x-1)² + 3的顶点坐标是（ ） A. (1, 3) B. (-1, 3) C. (1, -3) D. (-1, -3) 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 直角三角形 4.关于x的一元二次方程x² - 2x + k = 0有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB = 100°，则∠ACB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 6.将抛物线y = x²向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. y = (x+2)² - 3 B. y = (x-2)² - 3 C. y = (x+2)² + 3 D. y = (x-2)² + 3 7.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 200(1+x)² = 1000 B. 200+200×2x = 1000 C. 200+200×3x = 1000 D. 200[1+(1+x)+(1+x)²] = 1000 8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 9.二次函数y = ax² + bx + c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD = 8，EB = 2，则⊙O的半径为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。） 11.方程x² - 5x = 0的解为 。 12.已知点A(2, m)与点B(-2, n)关于原点对称，则m+n =  。 13.二次函数y = -x² + 4x - 3的最大值为 。 14.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm²。 15.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P = 70°，则∠C =  °。 16.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，当点D落在BC边上时，BD的长为 。 三、解答题（本大题共8小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（8分）解下列方程： (1) x² - 4x - 5 = 0 (2) 2x² - 4x - 1 = 0 18.（8分）已知关于x的一元二次方程x² + (2m+1)x + m² - 1 = 0有两个不相等的实数根。 (1) 求m的取值范围； (2) 若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根。 19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（4，3）。 （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A₂B₂C₂，并写出B₂的坐标。 20.（10分）已知二次函数y = x² - 4x + 3。 (1) 用配方法将y = x² - 4x + 3化成y = a(x-h)² + k的形式； (2) 写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3) 当x取何值时，y随x的增大而减小？ 21.（10分）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F。 (1) 求证：DE是⊙O的切线； (2) 若⊙O的半径为5，AE = 8，求AC的长。 22.（12分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系：m = 162 - 3x。 (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式； (2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 23.（12分）在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE，DE。 (1) 求证：△BCD≌△ACE； (2) 若AD = 2，BD = 3，求DE的长。 24.（12分）如图，抛物线y = ax² + bx + c(a≠0)与x轴交于点A(-1, 0)和点B(3, 0)，与y轴交于点C(0, 3)。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积为6？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 九年级数学12月月考参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 选择题（每题4分，共40分） 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（每题5分，共30分） 11. x₁ = 0, x₂ = 5 12. 0 13. 1 14. 15π 15. 55° 16. 1.5 三、解答题（共80分） 17.（8分）略 18.（8分） 解：(1) ∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ = (2m+1)² - 4(m²-1) > 0 4m² + 4m + 1 - 4m² + 4 > 0 4m + 5 > 0 m > -（4分） (2) ∵ m > -，且m为满足条件的最大整数 ∴ m = 0 此时方程为 x² + x - 1 = 0 19.（8分） （1）△A₁B₁C₁按A₁(-1,4)、B₁(-4,1)、C₁(-4,3)画出； （2）△A₂B₂C₂按A₂(4,-1)、B₂(1,-4)、C₂(3,-4)画出，B₂的坐标为(1,-4) 1. 关于y轴对称的坐标变换规则：点(x,y)关于y轴对称的点坐标为(-x,y)。因此A(1,4)→A₁(-1,4)，B(4,1)→B₁(-4,1)，C(4,3)→C₁(-4,3)，连接A₁、B₁、C₁即得△A₁B₁C₁。 2. 绕原点O顺时针旋转90°的坐标变换规则：点(x,y)顺时针旋转90°后坐标为(y,-x)。B点坐标为(4,1)，代入规则得B₂的坐标为(1,-4)；同理A(1,4)→A₂(4,-1)，C(4,3)→C₂(3,-4)，连接A₂、B₂、C₂即得△A₂B₂C₂20.（10分） 解：(1) y = x² - 4x + 3 = (x² - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)² - 1（4分） (2) 开口方向：向上 对称轴：直线x = 2 顶点坐标：(2, -1)（3分） (3) 当x < 2时，y随x的增大而减小（3分） 21.（10分） (1) 证明：连接OD ∵ D是弧AC的中点 ∴ ∠AOD = ∠COD ∵ OA = OC ∴ OD⊥AC 又∵ DE⊥AB ∴ ∠DEO = 90° ∴ 四边形AEDF是矩形 ∴ ∠EDO = 90° ∴ DE是⊙O的切线（5分） (2) 解：连接BC ∵ AB是直径 ∴ ∠ACB = 90° 在Rt△ABC中，AB = 10，由射影定理得： AC² = AE·AB = 8×10 = 80 ∴ AC = = 4（5分） 22.（12分） 解：(1) y = (x-30)·m = (x-30)(162-3x) = -3x² + 252x - 4860（4分） (2) y = -3x² + 252x - 4860 = -3(x² - 84x) - 4860 = -3[(x-42)² - 1764] - 4860 = -3(x-42)² + 5292 - 4860 = -3(x-42)² + 432 ∵ -3 < 0 ∴ 当x = 42时，y有最大值432 答：每件商品的售价定为42元最合适，最大销售利润为432元。（8分） 23.（12分） (1) 证明：∵ ∠ACB = 90°，AC = BC ∴ ∠B = ∠CAB = 45° ∵ 将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE ∴ CD = CE，∠DCE = 90° ∴ ∠ACB = ∠DCE = 90° ∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD 即 ∠BCD = ∠ACE 在△BCD和△ACE中， BC = AC，∠BCD = ∠ACE，CD = CE ∴ △BCD≌△ACE(SAS)（6分） (2) 解：由(1)得△BCD≌△ACE ∴ AE = BD = 3，∠CAE = ∠B = 45° ∴ ∠DAE = ∠CAB + ∠CAE = 45° + 45° = 90° 在Rt△ADE中，AD = 2，AE = 3 由勾股定理得：DE =（6分） 24.（12分） 解：(1) 设抛物线解析式为y = a(x+1)(x-3) 将C(0, 3)代入得：3 = a(0+1)(0-3) 解得：a = -1 ∴ 抛物线解析式为y = -(x+1)(x-3) = -x² + 2x + 3（4分） (2) 存在。抛物线对称轴为x = 1 点A关于对称轴的对称点为B(3, 0) 连接BC交对称轴于点P，此时△PAC的周长最小 设直线BC的解析式为y = kx + b 将B(3, 0)，C(0, 3)代入得： 3k + b = 0，b = 3 解得：k = -1，b = 3 ∴ 直线BC的解析式为y = -x + 3 当x = 1时，y = -1 + 3 = 2 ∴ P(1, 2)（4分） (3) 存在。设Q(x, -x² + 2x + 3) ∵ A(-1, 0)，B(3, 0) ∴ AB = 4 △QAB的面积 = 1/2 × AB × |y_Q| = 1/2 × 4 × |-x² + 2x + 3| = 6 ∴ |-x² + 2x + 3| = 3 ① -x² + 2x + 3 = 3，解得x₁ = 0，x₂ = 2 此时Q₁(0, 3)，Q₂(2, 3) ② -x² + 2x + 3 = -3，解得x = 1±√7 此时Q₃(1+√7, -3)，Q₄(1-√7, -3) 综上所述，Q点坐标为(0, 3)，(2, 3)，(1+√7, -3)，(1-√7, -3)（4分） 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $