2026年中考数学第一轮复习一战成名 专题三 分式

2026年中考数学第一轮复习一战成名（山西卷） 第一章 数与式 专题三 分式 命题点1 分式的概念 1．（2025山西中考模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025山西吕梁中考模拟）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山西大同·模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2025山西太原中考模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．-2 B．0 C．2 D．±2 5．（2025山西临汾中考模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，…，则 ． 6．（2025山西晋中中考模拟）若分式的值为0，则 ． 7．（2018·广东中山·一模）已知式子有意义，则x的取值范围是 8．（2020·山西·一模）若分式的值为零，则x的值是 ． 命题点2 分式的性质 9．（2025山西·一模）下列各式中，变形错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山西·二模）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 11．（2025山西忻州·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山西·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（2025·浙江·模拟预测）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 命题点3 分式的运算 14．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2 C．2a2•a3=2a6 D． 16．（2023·山西·中考真题）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 17．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 18．（2019·山西·中考真题）化简的结果是 . 19（2022·山西·中考真题）化简的结果是 ． 20．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 21．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 22．（2020·山西·中考真题）（1）计算： （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 23．（2018·山西·中考真题）计算 （1） （2） 24．（2022·山西·中考真题）计算：． 25．（2023·山西·中考真题） (1)计算：； (2)先化简，在求值：，其中x=-2． 26．（2025·山西·一模）化简：． 27．（2025·山西·一模）先化简，再求值：，其中． 1．先化简，再求值：，其中． 2．计算： (1)； (2)化简求值，其中． 3．计算． 4．先化简，再求值：，其中． 5．化简求值：，其中． 6．先化简，再求值：，其中． 7．先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 8．计算：． 9．化简： 10．先化简，再求值：，其中． 11．先化简，再求值：，其中满足． 12．已知：分式， 13．在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 14．先化简，再求值：  其中 1．先化简，再求值：，其中． 2．化简并求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中m满足． 4．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 1．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 2．【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 3．计算: (1)计算：； (2)按要求填空： 小王计算的过程如下： 解：                                    小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 . 4．有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 5．先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 6．综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 7．（1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式              第一步                          第二步                                 第三步                                      第四步 8．已知为整式，，化简后，． (1)求整式； (2)若是方程的根，求的值． 9．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 10．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．” (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习一战成名（山西卷） 第一章 数与式 专题三 分式（解析版） 命题点1 分式的概念 1．（2025山西中考模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025山西吕梁中考模拟）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，根据分式无意义的条件、分式的值为0的条件分别求出，，代入代数式即可求解，掌握分式无意义的条件，分式值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式无意义 ∴，解得：， ∵时，此分式的值为0， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 3．（2023·山西大同·模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出的取值可以为多少． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 要使分式有意义，则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键． 4．（2025山西太原中考模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．-2 B．0 C．2 D．±2 【答案】C 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 5．（2025山西临汾中考模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，…，则 ． 【答案】2022 【分析】根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，发现结果均为1，依此解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：2022 【点睛】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键． 6．（2025山西晋中中考模拟）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，因此解分子方程并验证分母不为0即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子， 解得：， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴分式的值为0时，． 故答案为：． 7．（2018·广东中山·一模）已知式子有意义，则x的取值范围是 【答案】x≤1且x≠﹣3 【详解】根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+3≠0， 解得：x≤1且x≠﹣3． 故答案为x≤1且x≠﹣3． 8．（2020·山西·一模）若分式的值为零，则x的值是 ． 【答案】0 【分析】根据分式的值为零，则分子为零，分母不为零． 【详解】解：由分式的值为零的条件得x＝0，且x﹣3≠0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 命题点2 分式的性质 9．（2025山西·一模）下列各式中，变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案． 【详解】A. ，故A正确； B、分子、分母同时乘以−1，分式的值不发生变化，故B正确； C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确； D. ，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变． 10．（2024·山西·二模）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 11．（2025山西忻州·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； D、，不是分式化简，故本选项不符合题意； 故选：A 12．（2025·山西·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 13．（2025·浙江·模拟预测）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则计算，即可解答． 【详解】由，得 ， 即． 故选A． 命题点3 分式的运算 14．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键． 15．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2 C．2a2•a3=2a6 D． 【答案】D 【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断． 【详解】A、（-a3）2=a6，此选项错误； B、2a2+3a2=5a2，此选项错误； C、2a2•a3=2a5，此选项错误； D、(，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则． 16．（2023·山西·中考真题）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：原式===．故选C． 考点：分式的加减法． 17．（2025·山西·模拟预测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是异分母分式相加减时必须先通分，把异分母化为同分母分式然后再相加减．还要注意去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里面各项都变号． 将两个分式通分后合并，利用平方差公式分解分子并化简． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 18．（2019·山西·中考真题）化简的结果是 . 【答案】 【分析】先通分，然后进行分式的加减计算即可. 【详解】 = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母加减法的运算法则是解题的关键. 19（2022·山西·中考真题）化简的结果是 ． 【答案】． 【详解】． 20．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）分别计算绝对值、乘方、加法及负整数指数幂，再计算有理数的乘法与减法即可； （2）分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键． 22．（2020·山西·中考真题）（1）计算： （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步            第二步         第三步         　 第四步            　第五步                 　第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________； ②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）1；（2）任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析． 【分析】（1）先分别计算乘方，与括号内的加法，再计算乘法，再合并即可得到答案； （2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式． 【详解】解：（1）原式 （2）任务一： ①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； 故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； ②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二： 解； ． 任务三： 解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键． 23．（2018·山西·中考真题）计算 （1） （2） 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）先分别计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减； （2）先将分子、分母因式分解，再计算乘法，最后计算减法即可求解． 【详解】（1）原式＝8－4＋×6＋1 ＝8－4＋2＋1 ＝7； （2）原式＝ 【点睛】本题主要考查实数和分式的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则． 24．（2022·山西·中考真题）计算：． 【答案】解：原式=． 【详解】针对零指数幂，二次根式化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 25．（2023·山西·中考真题） (1)计算：； (2)先化简，在求值：，其中x=-2． 【答案】(1)1 (2)；2 【分析】（1）根据实数的混合运算顺序，负指数幂运算法则，零次幂运算法则，求得计算结果即可； （2）先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式= =， 当x=-2时，原式=． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握实数混合运算的运算顺序和分式约分的法则是解题的关键． 26．（2025·山西·一模）化简：． 【答案】 【分析】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先分解分式的分子和分母，除法化为乘法，再计算分式减法． 【详解】解： ． 27．（2025·山西·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查分式的化简求值，先对分式进行化简，然后代数值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的加法计算括号内的，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ． 当时，原式． 2．计算： (1)； (2)化简求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先利用单项式乘以多项式以及平方差公式计算整式的乘法，然后再合并同类项即可； （2）先对分子和分母能因式分解的部分进行因式分解，然后将除法转化成乘法，约分化简，然后再计算减法，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式     ， 当时，原式 ． 3．计算． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化除法为乘法及因式分解，再计算乘法，最后计算加减即可解答． 【详解】解：原式 ． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 代入， 原式． 5．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 7．先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值确定出a的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ∵，且a为整数， ∴，又， ∴， 则当时，原式． 8．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 9．化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的混合运算和分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 11．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2． 【分析】本题考查分式的化简求值，幂的乘方逆运算法则，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和除法进行运算，再利用完全平方公式进行因式分解，再化简式子，利用幂的乘方逆运算法则求出，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解：， ， ； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 将，代入上式得：原式． 12．已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 13．在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 14．先化简，再求值：  其中 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识，熟知分式的混合运算法则是解题关键．先计算小括号，再把除法转化为乘法进行计算得到，最后把代入即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 2．化简并求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据已知得出，代入化简结果求解． 【详解】解： ； ∵， ∴． ∴原式． 3．先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 4．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 1．小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 2．【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 3．计算: (1)计算：； (2)按要求填空： 小王计算的过程如下： 解：                                    小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 . 【答案】(1) (2)因式分解；三和五； 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可； (2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：由题意可知： 故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为. 故答案为：因式分解，第三步和第五步， 【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键. 4．有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 5．先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据分式的基本性质解答即可； （2）根据分式的混合运算法则将所求式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出，代入化简后的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，该同学的解答过程中的第一步运算，依据是分式的基本性质； （2）解：原式      ∵，，，且为整数， ∴，     ∴当时，原式． 6．综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【答案】(1) (2)时，电流表读数的最小值为． 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用、二次函数的性质等知识点，根据题意列出正确的代数式计算并根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）由题意可得，然后求解即可解答；解得：； （2）由题意可得，则，当时，R有最大值4，再求出I的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得：． ∴电路中的总电阻为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，R有最大值， ∴， ∴当时，电流表读数的最小值为． 7．（1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式              第一步                          第二步                                 第三步                                      第四步 【答案】（1）；（2）①三；②； 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后合并即可； （2）根据分式的运算法则即可求解； 根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件，将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）第三步开始出现错误； 故答案为：三； ． ∵ ∴当时，原式 8．已知为整式，，化简后，． (1)求整式； (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，分式的化简求值； （1）先计算分式的除法运算，再与结果比较可得的结果； （2）先解一元二次方程得到方程的解，再结合分式有意义的条件把代入化简后的代数式计算即可. 【详解】（1）解： ， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵分式有意义， ∴，，，， 当时， 原式. 9．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 【答案】①；，0 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算以及代数求值，根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：这个解答从第①步开始出现错误； 原式 当时，原式． 10．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．” (1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？ (2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【答案】(1)小明的解法：①错误；小红的解法：②错误 (2) 【分析】此题考查了异分母分式减法，分子化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母；     小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误． （2）解：原式                                                                   ；     当时，原式． 模拟预测 B 、能力提升练 A 、基础分点练 C 、综合与实践 学科网（北京）股份有限公司 $