2026年中考数学第一轮复习一战成名 专题二 代数式与整式

2026年中考数学第一轮复习一战成名（山西卷） 第一章 数与式 专题二 代数式与整式（解析版） 命题点1 列代数式 1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 2．（2021·山西·中考真题）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为 元． 【答案】1.08a 【详解】试题分析：根据题意得：a•（1+20%）×90%=1.08a；故答案为1.08a． 考点：列代数式． 3．（2025·山西阳泉·二模）山西平遥古城是著名世界文化遗产，其城墙某段修复工程中，工人师傅用青砖砌墙第1层（底层）用了200块砖，第2层用196块砖，第3层用192块砖，第4层用了188块砖…以此类推，若城墙共砌了15层，则第15层用了 块砖． 【答案】 【分析】题目主要考查规律探索及列代数式，理解题意，列出代数式求解即可． 【详解】解：∵1层（底层）用了200块砖，第2层用196块砖，第3层用192块砖，第4层用了188块砖， ∴第n层用了块砖， ∴第15层用了的砖为：， 故答案为：． 4．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．      【答案】/ 【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，因此得到当连接结构数为n时，总长度为． 【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为， ∴当连接结构数为1时，总长度为， 当连接结构数为2时，总长度为， 当连接结构数为n时，总长度为， 故答案为：． 5．（2024·山西阳泉·三模）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价为元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券，则张先生实际支付的费用是 元． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 张先生实际支付的费用是：元， 故答案为：． 6．（2025·山西中考适应性）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 【答案】(1)元；元 (2)当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据方案一省钱，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：方案一的费用是元， 方案二的费用是（元）； （2）解：令， 解得， 答：当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱． 命题点2 代数式求值 7．（2024山西中考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由题意可以得到的值，然后代入所求代数式即可得解． 【详解】解：由题意可得： ， ∴， ∴ =2×2+2022=2026， 故选D ． 【点睛】本题考查代数式的综合应用，熟练掌握一元二次方程根的意义、已知式子的值求代数式的值的方法是解题关键 ． 8．（2022·山西晋中·一模）在解这一问题“若代数式的值是8，则代数式的值为多少？”的时候，我们可以算出，然后再将变形为，然后将“”代入即可求出的值为-7，这个解题过程体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．整体思想 C．转化思想 D．分类讨论思想 【答案】B 【分析】根据题意可知将代数式整体代入，即可求得答案． 【详解】解：将“”代入即可求出的值为-7，这个解题过程体现的数学思想是整体思想． 故选B 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入思想，理解题意是解题的关键． 9．（2021·山西太原·二模）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是0或8时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出x＝8时y的值，再将x＝0、y＝﹣2代入y＝2x+b可得答案． 【详解】解：∵当x＝8时，y＝6﹣8＝﹣2， ∴当x＝0时，y＝﹣2，代入y＝2x+b得， 2×0+b＝﹣2， 解得：b＝﹣2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是求出对应的函数值． 10．（2024·山西大同·二模）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值．将整理得，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 11．（2022·山西·一模）若，则的值为 ． 【答案】-2 【分析】根据，可求出，即，再整体代入即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查运用完全平方公式进行运算．利用整体代入的思想是解题关键． 12．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 【答案】(1)伪；见解析 (2)16两 (3)见解析 【分析】（1）计算时，的值，根据四位数字，确定对应的欢子解答即可． （2）根据银票的密押为“仁安仁昌”，得到对应的四位数字是3732，于是得到，求得，结合银票金额在50两以内且为整数，解答即可． （3）答案不唯一，只要能增加保密性即可． 本题考查了求代数式的值，求平方根，熟练掌握求代数式的值，平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：由材料可知，银票金额为1240两，则. 当时，. 对照汉字与数字对应关系得到这张银票的密押为“兴诚昌吉”，这与“兴忠仁吉”不符， 故该银票为假. （2）银票金额在50两以内， . 由汉字与数字对应关系得到“仁安仁昌”对应的数字为3732， . 解得． 由材料可知且为整数， 这张银票金额的末两位数为16. 银票金额在50两以内， 这张银票的金额是16两. （3）答案不唯一，例如，在密押中增加一个汉字确定银票金额是几位数. 命题点3 规律探索 13．（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．观察对应的模型中，可知，碳原子的个数多1个， 氢原子的个数多2个，从而找到规律． 【详解】解：在甲烷的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为4个，， 在乙烷的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为6个，， 在丙烷的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为8个，， 在丁烷的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为10个，， ∴碳原子个数为，氢原子的个数为个， 故选：B． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是 根． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】解：观察图形，得 摆第1个图案用了15根火柴，即， 摆第2个图案用了22根火柴，即， 摆第3个图案用了29根火柴，即， 则摆第n个图案需要用根火柴． 故答案为：． 15．（2025·山西临汾·三模）蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”．如图，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形……按此规律，第n个图中小正六边形的个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探索．根据题意找出规律，列出第n个图形中有个小正六边形． 【详解】第1个图中有4个小正六边形，； 第2个图中有7个小正六边形，； 第3个图中有10个小正六边形，； ……； 按此规律， 第n个图中小正六边形的个数是． 故答案为：． 16．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律．先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， …… 则第个图形，正三角形的个数为： 故答案为：． 17．（2025·山西太原·一模）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律． 【详解】解：第1个图案有4个正方形，即， 第2个图案有7个正方形，即， 第3个图案有10个正方形，即， …… 以此类推，第个图案有个正方形， 故答案为：． 18．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵： 第1个点阵对应的等式为； 第2个点阵对应的等式为； 第3个点阵对应的等式为； 第4个点阵对应的等式为；⋯ 请按以上规律写出第n个点阵对应的等式： （用含n的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．根据前面的等式的规律得到第n个点阵图中点的个数共有个，它有从1开始的n个连续奇数的和，即可得出结论． 【详解】解：第n个点阵对应的等式：． 故答案为：． 19．（2025·山西·一模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有8个小圆圈，第③个图形中一共有15个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示数字变化的规律，根据已知图形，找出数字变化的规律，根据规律列出代数式即可． 【详解】解：观察图形得： 第①个图形有个小圆圈， 第②个图形有个小圆圈， 第③个图形有个小圆圈， … 第n个图形有个小圆圈， 故答案为：． 20．（2023·山西·模拟预测）有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 命题点4 整式及其运算 21．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 22．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 23．（2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误． 故答案为C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键． 24．（2018·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2 C．2a2•a3=2a6 D． 【答案】D 【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断． 【详解】A、（-a3）2=a6，此选项错误； B、2a2+3a2=5a2，此选项错误； C、2a2•a3=2a5，此选项错误； D、(，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则． 25．（2017·山西·中考真题）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：A．原式=1，所以A选项的计算正确； B．原式==4，所以B选项的计算错误； C．原式=，所以C选项的计算正确； D．，所以D选项的计算正确． 故选B． 考点：有理数的除法；合并同类项；整式的除法；零指数幂． 26．（2011·新疆乌鲁木齐·中考真题）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A项幂的乘方和积的乘方，本选项正确， B项为合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故本选项错误， C项为同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选型错误， D项为同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误． 故选择A． 27．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 28．（2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 29．（2022·山西·中考真题）下列运算正确的是【   】 A． B． C．a2a4=a8 D．（﹣a3）2=a6 【答案】D 【详解】根据算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的概念分别作出判断： A．=2，故本选项错误；B．2+不能合并，故本选项错误； C．a2a4=a6，故本选项错误；D．（﹣a3）2=a6，故本选项正确．故选D． 30．（2012·山西·中考真题）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣． 【答案】x2﹣5，﹣2． 【分析】应用整式的混合运算法则进行化简，最后代入x值求值． 【详解】解：原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣5． 当x=﹣时，原式=（﹣）2﹣5=3﹣5=﹣2． 命题点5 因式分解 31．（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 32．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故答案为： 33．（2017·山西·中考真题）（1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）-1；（2） ． 【详解】试题分析：（1）原式第一项利用有理数的乘方定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用平方差公式化简，合并即可得到结果． 试题解析：（1）原式= =1﹣2=-1； （2）原式= =． 考点：实数的运算；完全平方公式；平方差公式；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 34．（2025·山西晋城·三模）计算： (1)； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂及括号里的有理数加法运算，再计算有理数乘法运算，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算及分解因式，涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂、有理数乘法运算法则、有理数加减运算法则、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式等知识，熟记相关公式及运算法则是解决问题的关键． 35．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 6．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 7．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 【详解】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 9．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 11．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键． 12．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且． （1）若a，b是整数，则的长是 ； （2）若代数式的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据图象表示出PQ即可； （2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个矩形的面积都是5， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． 13．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到，由所给条件得到，整体代入，即可得到结果． 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 14．（2021·四川乐山·中考真题）已知，求、的值． 【答案】的值为4，的值为-2 【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案． 【详解】， ∴， ∴， 即． ∴， 解得： ∴的值为4，的值为． 【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 1．（2019·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】1 【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算． 【详解】解：原式 将代入原式 【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变. 2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 3．（2020·贵州毕节·中考真题）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______； （2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； （3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）大长方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可． （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为， 故答案为：； （2）如图（3）中，，，， ∴, ∵, ∴； （3）如图（4）， ∵，，，垂足分别为点，，， ∴， ∴， ∵AB=AC， ∴CH=OM+ON 即． 【点睛】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等通过分析、推理和计算． 4．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 1．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握作差比较法是解题的关键． 2．已知，，求代数式的值． 【答案】－4 【分析】先将代数式因式分解，再代入求值． 【详解】 故代数式的值为． 【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算． 3．【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可． 【详解】原式 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 6．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 7．已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值． 【答案】2x2﹣2xy=28． 【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论． 【详解】∵x2﹣y2=12， ∴（x+y）（x﹣y）=12， ∵x+y=3①， ∴x﹣y=4②， ①+②得，2x=7， ∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解本题的关键. 8．因式分解：a3－9a 【答案】 【分析】先提公因式a，再套用平方差公式. 【详解】解：原式= = 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． C 、综合与实践 模拟预测 B 、能力提升练 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习一战成名（山西卷） 第一章 数与式 专题二 代数式与整式 命题点1 列代数式 1．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 2．（2021·山西·中考真题）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为 元． 3．（2025·山西阳泉·二模）山西平遥古城是著名世界文化遗产，其城墙某段修复工程中，工人师傅用青砖砌墙第1层（底层）用了200块砖，第2层用196块砖，第3层用192块砖，第4层用了188块砖…以此类推，若城墙共砌了15层，则第15层用了 块砖． 4．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．      5．（2024·山西阳泉·三模）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价为元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券，则张先生实际支付的费用是 元． 6．（2025·山西中考适应性）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 命题点2 代数式求值 7．（2024山西中考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（2022·山西晋中·一模）在解这一问题“若代数式的值是8，则代数式的值为多少？”的时候，我们可以算出，然后再将变形为，然后将“”代入即可求出的值为-7，这个解题过程体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．整体思想 C．转化思想 D．分类讨论思想 9．（2021·山西太原·二模）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是0或8时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山西大同·二模）若，则的值为 ． 11．（2022·山西·一模）若，则的值为 ． 12．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 命题点3 规律探索 13．（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）如图所示是由一些火柴摆成的图案：摆第1个图案用了15根火柴，摆第2个图案用了22根火柴，摆第3个图案用了29根火柴……按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个图案需要用的火柴是 根． 15．（2025·山西临汾·三模）蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能造成牢固的“蜜蜂窝”．如图，“蜜蜂窝”的表面是多个小正六边形．可从中抽象出如下规律：第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形……按此规律，第n个图中小正六边形的个数是 （用含n的代数式表示）． 16．（2025·山西吕梁·模拟预测）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 17．（2025·山西太原·一模）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为 （用含的代数式表示）． 18．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵： 第1个点阵对应的等式为； 第2个点阵对应的等式为； 第3个点阵对应的等式为； 第4个点阵对应的等式为；⋯ 请按以上规律写出第n个点阵对应的等式： （用含n的等式表示）． 19．（2025·山西·一模）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有8个小圆圈，第③个图形中一共有15个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为 ． 20．（2023·山西·模拟预测）有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 命题点4 整式及其运算 21．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2020·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2018·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2 C．2a2•a3=2a6 D． 25．（2017·山西·中考真题）下列运算错误的是（ ） A． B． C． D． 26．（2011·新疆乌鲁木齐·中考真题）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 27．（2023·山西·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（2021·山西·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（2022·山西·中考真题）下列运算正确的是【   】 A． B． C．a2a4=a8 D．（﹣a3）2=a6 30．（2012·山西·中考真题）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣． 命题点5 因式分解 31．（2025·山西·中考真题）因式分解： ． 32．（2025·山西吕梁·二模）将多项式因式分解可得 ． 33．（2017·山西·中考真题）（1）计算：． （2）分解因式：． 34．（2025·山西晋城·三模）计算： (1)； (2)分解因式：． 35．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 6．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 7．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 9．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 10．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 11．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 12．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且． （1）若a，b是整数，则的长是 ； （2）若代数式的值为零，则的值是 ． 13．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 14．（2021·四川乐山·中考真题）已知，求、的值． 1．（2019·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 3．（2020·贵州毕节·中考真题）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______； （2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； （3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：． 4．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 1．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 2．已知，，求代数式的值． 3．【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中． 6．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 7．已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值． 8．因式分解：a3－9a B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $