第十五章 轴对称 期末单元复习题-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 期末单元复习题 一、单选题 1．下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为点．若，则的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 7．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A．12 B．24 C．27 D．30 8．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 ． 12．如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，，连接与直线交于点F，若，则的长是 ． 13．如图，已知的外角，若是等腰三角形，则的度数为 ． 14．如图，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，将线段绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段，则的最小值为 ． 15．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点，平分．有下列四个结论：①；②；③：④若，则．其中正确的序号是 ． 三、解答题 16．如图，是边长为a的等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为E，延长到点Q，使，连接交于点D，求：线段的长（用含a的代数式表示）． 17．平面直角坐标系中，的位置如图所示： (1)顶点A关于x轴对称的点的坐标（_______，_______），顶点C先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标（_______，_______）； (2)将的纵坐标保持不变，横坐标分别乘得，请你直接画出图形； (3)在平面直角坐标系中有一点P，使得与全等，这样的P点有_______个（A点除外） 18．如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 19．中，，过点C作直线，点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，如图①，过点D作的垂线交直线于点E． (1)________（在横线上填“>”，“<”或“=”）； (2)若，，点D运动时间为t秒，当时，求出t的值； (3)如图②，若，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 20．在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 期末单元复习题- 2025-2026学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D C A B A D C 1．D 【分析】本题考查轴对称图形的识别．在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．根据关于x轴对称的两个点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的对称点为． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查角平分线的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点D作，根据角平分线的性质得出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质由题意可知米，，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可得米，这棵树在折断前的高度为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知米，，， 米， 这棵树折断前的高度为米． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 延长至点，使得，连接，由线段垂直平分线的性质，可得，作于点，由垂线段最短，可得，连接，由的面积，可得，即可得的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 作于点，则， ∴当点P，Q，M三点共线时，且时，即点H和点P重合时，取得最小值，即的长度， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了关于y轴对称的两点的坐标特征，掌握这一特征是关键． 若两点关于y轴对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此则可求得结果． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴ 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴的边长为24． 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，根据的周长为，求出，即可求得的周长． 【详解】解：根据题意得垂直平分， ，, 的周长， ， ， ，即的周长． 故选：D． 10．C 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：，故①错误； 平分， 到，的距离相等， ，故②正确； ，平分， 垂直平分 (三线合一)，故③正确； 与外角的平分线相交于点， 点到，的距离相等，点到，的距离相等， 点到，的距离相等， 点也位于的平分线上， ， 又， ， ，即，故④正确； 由④得， ， 平分，， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，②③④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查对称点的坐标之间的关系，根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点的横坐标一样，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点的横坐标一样，纵坐标互为相反数， 则点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 12．15 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由可证≌，可得，，由可证≌，可得即可求解． 【详解】解：过点E作于H， ，， ， ， ， ， ≌， ，， ，， ， ， 又，， ≌， ， . 故答案为：. 13．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，然后分三种情况讨论：；；，根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 14． 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，熟练应用全等三角形的性质及垂线段最短是解题的关键． 以为边作等边三角形，连接，，再过点作轴于，根据线段绕点逆时针旋转得线段，是等边三角形，可得，从而得到，根据“垂线段最短”知的最小值为的长，又，所以，从而得到，根据，可得，即可得到的最小值． 【详解】解：以为边作等边三角形，连接，，再过点作轴于，如图所示： ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 最小即为最小， 根据“垂线段最短”知的最小值为的长， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为： ． 15．①③④ 【分析】根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明，，可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明可对④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的角平分线， ∴，， 在和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16． 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 过P点作交于点N，证明是等边三角形，再证明，通过等量代换可得，即，即可做答． 【详解】解：过P点作交于点N， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 17．(1)4，，，3 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及平移的性质，全等三角形的性质： （1）根据轴对称的性质以及平移的性质解答即可； （2）根据轴对称的性质解答即可； （3）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴顶点A关于x轴对称的点的坐标， ∵点， ∴顶点C先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标； 故答案为：4，，，3 （2）解：∵的纵坐标保持不变，横坐标分别乘得， ∴与关于y轴对称， 如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求， 使得与全等，这样的P点有3个． 故答案为：3 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； （）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴平分， ∴， ∴． 19．(1)= (2)7 (3)、或 【分析】（1）先根据垂直的意义得出，再利用平角的意义得出，然后利用直角三角形的两个锐角互余得出，从而可得，再根据对顶角的性质得出，从而可得； （2）先利用证明，从而可得出，于是可得关于的方程求解； （3）当是以为腰的等腰三角形时，分，点E在C的下方（两种情况：、）、点E在C的上方（）3种情况，分别求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：=； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，点D运动时间为t秒， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：当点E在C的下方，时，如图， 则， ∵由（1）得，， ∴， ∴； 当点E在C的下方，时，如图， 则， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴； 当点E在C的上方，时，如图， 则， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 综上所述，的度数为、或． 【点睛】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，同(等)角的余(补)角相等的应用，垂线的定义理解，全等的性质和（）综合（或者），等腰三角形的定义，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20．（）；（）为等腰三角形，理由见解析；为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）先证明，则有，再证明为等边三角形，从而求解； （2）先证明，所以，则，根据平行线的性质可得，所以，从而有，然后通过等腰三角形的判定即可求解； 证明，则有，又，所以，根据平行线性质可得，所以，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； （2）为等腰三角形， 证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 如图，为等腰三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $