精品解析：山西省晋中市太谷区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

太谷区2025-2026学年第一学期期末质量检测试题（卷） 七年级数学 （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，该鼓（鼓身上的金属忽略不计）从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 习总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧教育平台”，汇集了海量免费教育教学资源内容，为学生、家长、教师成长提供了学习的平台．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有人在平台上学习，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 关于整式的有关概念，下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是5 C. 0是单项式 D. 是五次三项式 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列说法错误的是（ ） A 也可用来表示 B. 与是同一个角 C. 图中共有三个角：，， D. 与是同一个角 7. 骐骥迎春至，万象启新程！假设中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》将以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，在欢乐吉祥、喜气洋洋氛围中，与全球华人相约除夕夜，共赴一场昂扬奋发、喜庆温暖、满屏新意的文化盛宴．小红想调查她所在学校学生对“骐骥”寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从该校各年级的每个班中随机抽取的学生 8. 《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（ ） A. 走路快的人和走路慢的人的速度比为 B. 可得方程： C. 的值为250 D. 可得方程： 9. 太谷区某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每位学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此调查属于普查 B. 本次调查的样本是300名学生 C. 选择“烹饪”这一类课程学生人数占被调查人数的 D. 该校名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 10. 如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是___________． 12. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“成”字所在面相对面上的汉字是_______． 13. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是__________． 14. 晋商大院的窗格，是刻在木上的算盘．横格如商路纵横，竖棂似银两码齐，连雕花里都藏着“诚信通四海”的暗语，让每一次推窗，都像翻开一页晋商的传奇．下列图案是曹家大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为___________个． 15. 一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简再求值：已知，，当，时，求的值． 18. 下面是小智同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：去分母，得．…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 （1）以上过程中，第三步的依据是___________；从第___________步开始出现错误，具体的错误原因是___________； （2）请你写出该方程的正确解答过程． 19. 已知：，（如图）． （1）求作：在内部作射线，使．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则___________． 20. 某商场销售古城牛奶标价为元/箱，九牛牧业牛奶标价为元/箱，学校决定在该商场购进这两种牛奶共箱为学生提供早餐，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：古城牛奶每箱售价比标价降低了，九牛牧业牛奶每箱按标价的折出售． （1）设学校购进古城品牌牛奶箱，请将表格补充完整； 品牌 购买单价/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 古城 ②___________ 九牛牧业 ①___________ ③___________ （2）如果该校此次购买两种品牌牛奶的总费用为元，那么该校此次购买了两种品牌牛奶各多少箱？ 21. 太谷区某中学开展《将“具身智能”的种子，播撒进中学课堂里》的社团活动．该社团为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动． 【收集数据】科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你使用智能软件的主要目的是___________．（单选） A．学习管理 B．健康管理 C．时间管理 D．其他问题 问题2：你每周使用智能软件的时间是___________分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表； 第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生使用智能软件主要目的的人数统计表 目的 人数累计 人数 正正正正正 正正 正正正 学生每周使用智能软件时间的频数分布直方图 （1）本次调查“问题2”中获取的数据是___________数据（选填“定性”或“定量”）； （2）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （3）该校共有名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数． （4）请根据上述统计图表，给该校同学们提出一个合理的建议． 22. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． （1），两点之间的距离为___________；与，两点距离相等的点对应的数为___________； （2）现有动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．经过秒， ①若点、点在数轴上的点处相遇，请你求出点对应的数是多少． ②经过秒，动点所表示的数为___________，动点所表示的数为___________，___________秒后动点与动点相距个单位长度． 23. 综合与探究 【问题情境】 我校七年级3班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则 _____，_____； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区2025-2026学年第一学期期末质量检测试题（卷） 七年级数学 （满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， 故选：A． 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，该鼓（鼓身上的金属忽略不计）从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，通过观察立体图形即可． 【详解】解：该鼓从正面看的形状图是， 故选：A． 3. 习总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧教育平台”，汇集了海量免费教育教学资源内容，为学生、家长、教师的成长提供了学习的平台．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有人在平台上学习，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 关于整式的有关概念，下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是5 C. 0是单项式 D. 是五次三项式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本概念，包括单项式的定义、系数、次数和多项式的次数，熟练掌握基本概念是解题的关键． 根据整式的概念，单项式包括单独的数字，多项式的次数由最高次项决定，逐一判断即可． 【详解】解：A：的系数应为，故A说法错误； B：次数为，故B说法错误； C：0是单项式，故C说法正确； D：中最高次数为3，是三次三项式，故D说法错误； 故选：C． 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并为，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 也可用来表示 B. 与是同一个角 C 图中共有三个角：，， D. 与是同一个角 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误； B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确； C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确； D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 7. 骐骥迎春至，万象启新程！假设中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》将以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，在欢乐吉祥、喜气洋洋的氛围中，与全球华人相约除夕夜，共赴一场昂扬奋发、喜庆温暖、满屏新意的文化盛宴．小红想调查她所在学校学生对“骐骥”寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校一个年级的学生 C. 随机抽取该校一部分女生 D. 分别从该校各年级的每个班中随机抽取的学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的可靠性，熟练掌握抽样调查的可靠性的定义进行求解是解决本题的关键． 应用抽样调查的可靠性进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、仅随机抽取一个班级，忽略其他班级差异，不能很好地反映总体的情况，故此选项不符合题意； B、仅随机抽取一个年级，忽略其他年级差异，不能很好地反映总体的情况，故此选项不符合题意； C、仅随机抽取一部分女生，存在性别偏差，不能很好地反映总体的情况，故此选项不符合题意； D、从各年级每个班随机抽取学生，覆盖全校所有层次，样本最代表总体，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（ ） A. 走路快的人和走路慢的人的速度比为 B. 可得方程： C. 的值为250 D. 可得方程： 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查行程问题中的追及问题，关键在于理解相同时间内速度比等于路程比，利用这个关系建立方程，通过分析各个选项与正确方程及计算结果的差异来判断对错．本题是行程问题中的追及问题，根据走路快的人和走路慢的人在相同时间内的步数关系来建立方程求解，需要判断各个选项的正确性． 【详解】解：选项A： 已知走路快的人走步，走路慢的人走步，相同时间内速度比等于路程比， ∴速度比为，该选项正确． 选项B： 设走路快的人走步，已知速度比为，那么在走路快的人走步的时间内，走路慢的人走的步数是步 ，而走路慢的人先走步， ∴应该是，变形为，而不是，该选项错误． 选项C： 根据方程，交叉相乘得，去括号得，移项可得，即，解得，该选项正确． 选项D： 设走路快的人走步，已知速度比为，根据时间 = 路程÷速度，两人所用时间相等，则，该选项正确． 故选：B． 9. 太谷区某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每位学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此调查属于普查 B. 本次调查的样本是300名学生 C. 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的 D. 该校名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图的知识，根据统计图获取信息是解题的关键．根据图中得到的信息依次进行判断即可． 【详解】解：随机抽取了本校300名学生进行调查，故此调查属于抽样调查，故选项A错误； 本次调查的样本是300名学生所选的课程，故选项B错误； 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的，故选项C错误； 该校1500名学生中选择“木工”这一类课程的人数为：，故选项D正确； 故选D． 10. 如图，点在线段上，点是的中点，，，在线段上取一点，使得，则线段的长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段和差计算，与线段中点有关的计算，正确理解题意理清线段之间的关系是解题的关键． 先根据线段的和差关系求出，由线段中点的定义即可求出，再根据线段之间的关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：，， ． ∵点是的中点， ． ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“成”字所在面相对面上的汉字是_______． 【答案】然 【解析】 【分析】本题主要考查正方体的展开图的性质，掌握正方体展开图的性质是解题关键．由正方体展开图的性质，得出“成”字所在面相对面上的汉字即可． 【详解】解：由正方体展开图的性质可得： “成”与“然”是相对面， “功”与“非”是相对面， “绝”与“偶”是相对面． 故答案为：然． 13. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是__________． 【答案】两点确定一条直线． 【解析】 【分析】根据直线的性质公理：两点可以确定一条直线进行解答． 【详解】解：把每一列最前和最后的课桌看做两个点， 这样做的道理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质公理，确定出两点是利用公理的关键，是需要熟记的内容． 14. 晋商大院的窗格，是刻在木上的算盘．横格如商路纵横，竖棂似银两码齐，连雕花里都藏着“诚信通四海”的暗语，让每一次推窗，都像翻开一页晋商的传奇．下列图案是曹家大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是找到图形的变化规律．由图形可知从第二个图案开始，每加一扇窗户，就增加个剪纸，据此规律便可计算出第个图形中剪纸的个数，进而即可求出第个图中剪纸的个数． 【详解】解：第一个图案为个剪纸； 第二个图案为个剪纸； 第三个图案为个剪纸； ； 第个图案所贴剪纸个数为个剪纸； 第个图中所贴剪纸个数为（个）， 故答案为：． 15. 一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“正方形纸板的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据有理数的乘法分配律计算即可； （2）先算乘方和化简绝对值，再算乘除，最后算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简再求值：已知，，当，时，求的值． 【答案】；21 【解析】 【分析】本题考查整式加减的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列式为，然后去括号、合并同类项化简，将已知数值代入计算即可． 【详解】解：，， ． 当时， 原式． 18. 下面是小智同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：去分母，得．…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 （1）以上过程中，第三步的依据是___________；从第___________步开始出现错误，具体的错误原因是___________； （2）请你写出该方程的正确解答过程． 【答案】（1）等式的基本性质；一；去分母时方程右边的1没有乘以12； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法应用，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据等式的性质解答即可； （2）根据一元一次方程的解法运算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：以上过程中，第三步的依据是等式的基本性质；从第一步开始出现错误，具体的错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以12； 故答案为：等式的基本性质；一；去分母时方程右边的1没有乘以12； 【小问2详解】 解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19. 已知：，（如图）． （1）求作：在内部作射线，使．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则___________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，角度计算，正确运用尺规作图是解此题的关键． （1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用角和差求解即可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ，， ， 故答案为：． 20. 某商场销售古城牛奶标价为元/箱，九牛牧业牛奶标价为元/箱，学校决定在该商场购进这两种牛奶共箱为学生提供早餐，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：古城牛奶每箱售价比标价降低了，九牛牧业牛奶每箱按标价的折出售． （1）设学校购进古城品牌牛奶箱，请将表格补充完整； 品牌 购买单价/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 古城 ②___________ 九牛牧业 ①___________ ③___________ （2）如果该校此次购买两种品牌牛奶的总费用为元，那么该校此次购买了两种品牌牛奶各多少箱？ 【答案】（1）见解析 （2）该校此次购买了古城品牌牛奶箱，九牛牧业牛奶箱 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据购买两种品牌牛奶的总费用为元列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：古城牛奶购买总价元； 九牛牧业牛奶单价为元/箱，购买总价元； 填表如下： 品牌 购买单价/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 古城 ② 九牛牧业 ① ③ 【小问2详解】解：根据题意得， 解得， ， 答：该校此次购买了古城品牌牛奶箱，九牛牧业牛奶箱． 21. 太谷区某中学开展《将“具身智能”的种子，播撒进中学课堂里》的社团活动．该社团为了解学生使用智能软件的情况开展了统计活动． 【收集数据】科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你使用智能软件的主要目的是___________．（单选） A．学习管理 B．健康管理 C．时间管理 D．其他问题 问题2：你每周使用智能软件的时间是___________分钟． 整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表； 第二步：将“问题2”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生使用智能软件主要目的的人数统计表 目的 人数累计 人数 正正正正正 正正 正正正 学生每周使用智能软件时间的频数分布直方图 （1）本次调查“问题2”中获取的数据是___________数据（选填“定性”或“定量”）； （2）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （3）该校共有名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数． （4）请根据上述统计图表，给该校同学们提出一个合理的建议． 【答案】（1）定量；（2）见解析；（3）人；（4）同学们每周使用智能软件的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，定性数据和定量数据的定义，用样本估计总体等知识点，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键． （1）根据定性数据和定量数据的定义解答即可； （2）先求出调查的总人数，再用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）用样本估计总体的方法解答即可； （4）根据每周使用智能软件的目的和使用时间的分布情况合理提建议即可． 【详解】解：（1）“问题2”中获取的数据是定量数据， 故答案为：定量； （2）总人数为（人）， 每周使用智能软件的时间在这一组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： ； （3）， 即使用智能软件主要用于“学习管理”的人数为人； （4）同学们每周使用智能软件的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率． 22. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． （1），两点之间的距离为___________；与，两点距离相等的点对应的数为___________； （2）现有动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．经过秒， ①若点、点在数轴上的点处相遇，请你求出点对应的数是多少． ②经过秒，动点所表示的数为___________，动点所表示的数为___________，___________秒后动点与动点相距个单位长度． 【答案】（1）， （2）①点对应的数是；②，，或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，以及数轴上两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用数轴上两点间的距离公式可求出，两点之间的距离，根据中点的距离公式求出点对应的数； （2）①由题意得，，当点、点在数轴上的点处相遇时，，据此列方程求解即可；②当运动时间为秒时，，，动点所表示的数为，动点所表示的数为，则，可列出关于的一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：点对应的数为，点对应的数为， ，与，两点距离相等的点对应的数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①由题意得，， 当点、点在数轴上的点处相遇时，， 即， 解得， ， 点对应的数是； ②由题意得，， 点对应的数为，点对应的数为， 动点所表示的数为，动点所表示的数为， ， ， 解得或， 即秒或秒后动点与动点相距个单位长度， 故答案为：，，或． 23. 综合与探究 【问题情境】 我校七年级3班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则 _____，_____； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求的大小． 【答案】（1）18，108；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，准确理解各个角之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可以计算出，； （2）由恰好是的平分线，可得，再因为，可证； （3）先由已知条件可得，再由平分，得到，最后根据，求得． 【详解】解：（1）∵三角板的直角边与重合， ∴， ∴， ； 故答案为：18，108； （2）∵恰好是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴也是的平分线； （3）∵，， 由条件可知， ∵平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $