精品解析：安徽省宣城市皖东南初中四校 2025-2026学年八年级上学期1月期末联考数学试题

2025-2026学年度第一学期期末模拟练习 八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图象一定经过点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 6. 如图，在中，点分别在边上，是的中点，与相交于点，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 7. 如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 7 8. 如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两车同时出发 B. 乙车的速度为 C. 乙车出发时，追上了甲车 D. 当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 10. 如图，在平面直角坐标系中，，是等腰三角形，，点D与点E分别是与上的中点，点P是线段上的一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是_____． 12. 如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 13. 如图，在中，，，垂直平分交于点，，则_____． 14. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 15. 如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 三、解答题（共55分） 16. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且直线轴，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）通过平移，使移动到原点的位置，画出平移后的 （3）在中有一点，则经过以上两次变换后点的对应点的坐标为          ． 18. 如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式组的解集． 19. 如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． （1）求证：△△． （2）若，，求的度数． 20. 端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 21. 综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末模拟练习 八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点所在位置，通过判断点的横纵坐标符号确定象限即可． 【详解】解：∵， ∴，即横坐标为正； 又∵纵坐标为， ∴点 在第四象限． 故选：D． 2. 小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。已知两边为和，第三边c需满足，解得，检查选项，只有C满足条件，即可作答． 【详解】解：设第三边为， ∵两根、的木棒， ∴， 解得， 四个选项，唯有在这个范围内， 故选：C． 3. 如图，若，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 根据两个三角形全等可得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】，， ， ， ； 故选． 4. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是． 故选：B． 5. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图象一定经过点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解． 【详解】解：对于A：∵当时，，∴图象经过点，正确； 对于B：∵，∴y随x的增大而减小，正确； 对于C：∵，解得，∴当时，，故错误； 对于D：当时，则有；当时，则有，即， ∴与x轴交点为，与y轴交点为， ∴三角形面积，正确； 故选C． 6. 如图，在中，点分别在边上，是的中点，与相交于点，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和同高不等底的三角形面积关系，根据三角形中线平分三角形面积，可得，再由，求出即可． 【详解】解：由是的中点，， ∴， 由， ∴， 故选：C． 7. 如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 8. 如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 过点作、、的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为， ∵是的三条角平分线， ∴． ∵的面积为，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两车同时出发 B. 乙车的速度为 C. 乙车出发时，追上了甲车 D. 当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，是等腰三角形，，点D与点E分别是与上的中点，点P是线段上的一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，连接，由题意得垂直平分，推出两点关于对称，，当三点共线时，取得最小值；求出直线的解析式即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴两点关于对称， ∴； ∴当三点共线时，取到最小值； ∵点D是的中点，, ∴; 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴点P的坐标是； 故选：D 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 12. 如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，，垂直平分交于点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、三角形外角的性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 先利用垂直平分线的性质求出，，再运用三角形外角的性质求出，最后通过所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点，，， ∴，． ∵是的外角， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 14. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】解：①如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ②如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 15. 如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点E在线段上和点E在线段上两种情况，分别分成两种情况求解即可． 【详解】解：①点E在线段上，点E与点A重合时此时，当时，，则，不符合题意，舍去； 点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； ②当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； 当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ． 综上，当为3或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（共55分） 16. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且直线轴，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的性质，根据不同的情形求解点的坐标是解题的关键． （1）根据轴的已知条件，利用平行时横坐标相同求出a的值，进而即可得到点P的坐标； （2）根据点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等的已知条件，列出方程求解a的值即可． 【小问1详解】 解：∵直线轴，，， ∴解得， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∵点P在第二象限， ∴，， ∴， 解得， ∴a的值为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）通过平移，使移动到原点的位置，画出平移后的 （3）在中有一点，则经过以上两次变换后点的对应点的坐标为          ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移变换和轴对称变换作图，根据网格结构作出对应点的位置解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的； （2）依据移动到原点O的位置，即可得到平移的方向和距离，进而得到平移后的△； （3）依据轴对称的性质以及平移的性质，即可得到两次变换后点P的对应点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点经过第一次变换后的点的坐标为，经过第二次变换后的对应点的坐标为． 故答案为：． 18. 如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）直线为，直线； （2）3； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． 【小问2详解】 解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 19. 如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． （1）求证：△△． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在△和△中， ， △△； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据，可得，利用证明△△即可； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△△， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 20. 端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲粽子每个的进价为2元，乙粽子每个的进价为3元 （2）①W与m的函数关系式为 ②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为266元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种粽子的进价为x元，则乙种粽子的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲种粽子的进价为2元，则乙种粽子的进价为3元； 【小问2详解】 解：①设购进甲中粽子m个，则购进乙粽子个，根据题意得： ， ∴W与m的函数关系式为：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得， ∴（m为正整数）． 即W与m的函数关系式为（m为正整数）； ②由①可知，，，m为正整数， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时． ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元． 21. 综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）； （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $