期末综合复习压轴题专题训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册期末综合复习压轴题专题训练（附答案） 1．学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 （1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁； （2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁． 2．（1）填空：____________； （2）阅读，并解决问题：分解因式 解：设，则原式 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ① ② 3．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 4．定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 5．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 6．某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵元，且用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格； (2)果农准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于株按原售价付款不优惠，超过株每株按原售价五折优惠请帮助果农判断购买哪种芒果苗更省钱． (3)果农计划购买甲、乙两种芒果苗共株调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？ 7．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 8．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 9．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 10．为了解七、八年级学生对消防知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：，B：，C：，D：，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 59.66 八年级 85.2 91 91.76 八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____________________________________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） (3)若该校七年级有760名学生参加测试，八年级有720名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 11．将两个等腰直角与如图放置，，，． (1)如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数； (2)当绕着点顺时针旋转至如图2时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； (3)当绕着点顺时针旋转至如图3时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为668时，直接写出点到的距离． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 13．如图①，，，． (1)、相交于点M． ①求证：， ②用含α的式子表示的度数； (2)如图②，P，Q分别是、的中点，连接、，，判断的形状，并加以证明； (3)如图③，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，则_______． 14．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 15．在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，，，点，分别在边，上，点为中点． (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长． 18．在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 19．如图，是的中线，，交于点，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 20．如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 参考答案 1．解：（1）=（73+80+82+83）÷4=79.5， ∵80.25＞79.5， ∴应选派甲； （2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5， =（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4， ∵79.5＜80.4， ∴应选派乙． 2．解：（1）a2+6a+9=(a+3)2， 故答案为9，3； （2）①， 设，则原式 ； ②， 设， . 【点睛】本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键． 3．（1）．（2）；（3）见解析. 【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可； （2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）； （2）； （3）原式 ． ∵为正整数， ∴为正整数． ∴代数的值一定是某个整数的平方． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 4．(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 5．(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 6．（1）解：设甲种芒果苗每株元，则乙种芒果苗每株， 根据题意可得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解， 则元， 甲果苗的单价为元，乙果苗的单价为元； （2）解：设果农购买芒果苗株，买甲果苗费用为，乙果苗费用为， ， 则， ， 即，， 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量超过株时，买乙果苗省钱； 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量少于株时，买甲果苗省钱； 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量等于株时，买甲或乙果苗一样钱； （3）解：设果农计划购买甲芒果苗共株，则买乙果苗株，总费用为元， 由于没有超过株， 则， 即， 甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于， ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值为元， 购买甲果苗株．乙果苗株时费用最低为元． 7．解：(1)用面积和差计算得：； 用长方形面积公式计算得：； 可得等式为：； (2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示： 根据面积公式可得，； (3) （2）中拼成的长方形周长为66，则， 解得，， ∴，即， 图1中小长方形的面积为24，则， 则， ； 拼成的长方形面积是266． 8．（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解： ， ； ， ． 9．（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得 ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴ ，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴ ，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 10．(1)，， (2)八年级学生的成绩更好，理由见解析 (3)估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有516人 【分析】本题考查扇形统计图，用样本估算总体平均数，中位数，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可 （2）根据平均数、中位数及方差的意义求解即可 （3）用七、八年级的学生数分别乘以样本中优秀人数所占比例，再求和即可 【详解】（1）解：七年级成绩的众数分，八年级、登记学生人数为（人），则其成绩的中位数（分） 等级人数所占百分比为． 故答案为：，，． （2）八年级学生的成绩更好，理由如下（写出一条理由即可） 七、八年级学生在此次知识测试中成绩的平均数均相同，都是分，八年级学生在此次知识测试中成绩的中位数分高于七年级在此次知识测试中成绩的中位数分（答案不唯一） （3）（人） 答：估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有516人． 11．(1) (2)见解析 (3)点A到的距离是 【分析】（1）由，，，得，由，得，则，所以． （2）延长到点，使，连接，可证明，得，，所以，，可证明，进而证明，得，因为，所以． （3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，则，作交的延长线于点，可求得，，，于是得，求得，则点到的距离是． 【详解】（1）解：如图1，，，， ， 点、、三点共线， ， ，， ， ， ， 的度数是． （2）证明：如图2，延长到点，使，连接， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：点到的距离是， 理由：如图3，延长到点，使，连接，则， 点是线段的中点， ， ， ， ， 由（2）得， ， ， 过点A作交的延长线于点， ，，，，， ，，， ， ， 解得， 点到的距离是． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．(1) (2)或，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）线段沿轴向右平移个单位，根据“右加左减”原则计算即可； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）根据坐标平移的规律，将线段沿x轴向右平移12个单位长度，纵坐标不变，横坐标加，即，． 故，． （2）解：①当点P在点D右边时，如图，过点M作， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ②当点P在点D左边时， 同理可得， ∴， 即， 故三个角的关系为或． （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①点P在点A右边，N在正半轴时， 可得， 设，则， ∴， ∴， ∴； N在负半轴时，点C在的下方时， 可得， 设， ∴， ∴， ∴； ②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接， 可得， 设， ∴， ∴， ∴， 故P点的坐标为或或． 【点睛】本题围绕平面直角坐标系中的平移变换展开，综合考查以下知识点：平面直角坐标系与点的平移，平行线的性质与判定，三角形面积计算，分类讨论思想；解题的关键点在于：平移坐标的确定，角度关系的转化，面积公式的应用，分类讨论的实施；易错点在于：平移坐标错误，角度关系推导错误，面积计算错误，分类讨论遗漏． 13．(1)①见解析；②； (2)为等腰三角形，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）①由“”可证，可得； ②由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）将绕着点逆时针旋转得到，连接，，根据旋转的性质得到，，，可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）①证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图1，， ， ， ， ； （2）解：为等腰三角形，理由如下： 如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． （3）解：如图，将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 14．(1) (2)C (3)①能，②能，需要走1352步． 【分析】本题考查新定义，平面内点的坐标，实数的运算；能够准确理解题意，找到马移动的向量规律，利用实数的运算进行求解是解题的关键． （1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”坐标为； 故答案为：． （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 故答案为：能； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 如图马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）. 15．(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，难度较大，涉及平行四边形性质、平行线性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运用是解决问题的关键． 16．(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 17．(1)， (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）设交于，由，点为中点，得，，根据，即得，，由，可得，故； （2）延长到，是，连接，由是的中位线，得，证明，即得，再证明，可得； （3）由，得，，分两种情况：当在延长线上时，由勾股定理可得；当在线段上时，可得． 【详解】（1）解：，，理由如下： 设交于，如图： ，点为中点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，理由如下： 延长到，是，连接，如图： 为中点，为中点， 是的中位线， ， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，，； （3）解：， ，， 设， 则由勾股定理得，， 解得：， 当在延长线上时，如图； ， 为中点， ， ， ； 当在线段上时，如图： ， 为中点， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查三角形中的旋转变换，涉及三角形的全等判定与性质，勾股定理的应用，三角形中位线定理的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形； （2）过点作于点，作于点，连接，，由角平分线的性质得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，进而得出结论； （3）由平行四边形的性质得出，由（2）得出，过作于，连接，由直角三角形的性质得出，，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由勾股定理得出即，解方程即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点，作于点，连接，， 平分，， ，， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）四边形是平行四边形， ， 由（2）得：， ， 如下图，过点作于，连接，   ， ， ， ，， ， ，， ， 在中， 由勾股定理得：即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．（1）3，3；（2）3；（3）见解析，定值为3 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形和中位线性质，通过构造全等三角形转化线段求解定值． （1）利用三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合等边三角形三边相等，求出、、的长度，进而计算的值． （2）根据等边三角形性质（三线合一等）和角的关系，得出平分，再利用特殊角度求出，结合线段关系计算的值． （3）通过在上构造点，使，利用全等三角形的判定证明和，将、、进行转化，从而证明为定值并求出该定值． 【详解】（1）∵点、、分别为边、、的中点，是等边三角形，边长为， ∴，，， ∴， 故答案为：3，3； （2）为等边三角形，点为中点， ， ， ， 为等边三角形， ， 即平分， ， ； （3）如图，在上取点，使 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $