1图形的平移与旋转寒假预习必备讲义(知识点梳理+题型精析)2025-2026学年北师大版八年级数学下册(济南专用)

1图形的平移与旋转解析版 知识清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 知识清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 一.生活中的平移现象 1.（23-24济南商河八下期中0226）下列生活现象中，属于平移的是（    ）． A．钟摆的摆动 B．拉开抽屉 C．足球在草地上滚动 D．投影片的文字经投影转换到屏幕上 【答案】B 【分析】根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案． 【详解】A选项：为旋转，故A错误； C选项：滚动，故C错误； D选项：缩放，投影，故D错误． 只有B选项为平移． 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状大小和方向，注意平移是沿着一条直线方向移动，熟练运用平移的性质是解答本题的关键． 二.利用平移的性质求解 2.（25济南历下三模0425）如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平移的性质，利用平移的性质，可得出，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵将沿边所在的直线向右平移得到，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：D． 3.（23-24济南高新八下期中0426）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 4.（23-24济南槐荫八下期中0826）如图，将沿直线向右平移后到达的位置，连接,若的面积为10，则的面积为(    ) A．5 B．6 C．10 D．4 【答案】A 【分析】根据平移的性质可得AB=BD=CE，再由三角形的面积计算公式求解即可. 【详解】由平移得，AB=BD=CE，CE∥BD， 根据“等底等高，面积相等”得，S△ABC=S△BDC=S△CBE， ∵△ACD的面积为10， ∴S△CBE=S△ACD=5. 故选A. 【点睛】此题主要考查了平移的性质，注意掌握性质的运用是解题的关键. 5.（23-24济南长清八下期中0926）如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质及含30度角的性质，图形的平移，根据题意作出相应图形，然后求解是解题关键． 根据等腰三角形和含的直角三角形的性质得点的坐标为，作轴于点，则，所以，所以，可知将是向右平移了2个单位长度，根据平移法则即可求出答案． 【详解】解：，，点为的中点， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点，如图，作轴于点， ， ， ， 将是向右平移了2个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 6.（24-25济南平阴八下期末1425）如图，将周长为的沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到， ，，； 又， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 7.（24-25济南商河八下期末1525）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据图形平移的性质得出，故可得出，，进而可得出，据此可得出结论． 【详解】解：沿着方向平移到的位置， ，，， ∴， ，， ， ∵， 故答案为：． 8.（24-25济南钢城七下期末1925）如图，平移后得到 (1)，，求的度数； (2)若，，求平移的距离． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了平移的性质． （1）根据平移的性质得到，，根据三角形内角和计算即可； （2）根据平移的性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：将平移得到， ，， ， ； （2）沿方向平移得到， ， ，， ． 平移的距离为7． 9.（22-23济南莱芜七上期末2126）入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造，管道改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）．    (1)求改造前原有管道的长度是多少？ (2)求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）算出改造后管道长度，然后用改造前的长度减去改造后的长度即可求出结果． 【详解】（1）解：， 答：改造前原有管道的长度为； （2）解：根据图形可知，， ， 根据勾股定理得：， 改造后A、B之间的管道长度减少了： ， 答：改造后A、B之间的管道长度减少．    【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，平移的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 三.利用平移解决实际问题 10.（24-25济南钢城实验八上期中0326）如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，则草坪的面积为（　　）平方米．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移，长方形的面积，把路平移到边上，可得长是米，宽是米的长方形，根据长方形的面积计算公式计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：把路平移到边上，可得长是米，宽是米的长方形， ∴长方形的面积是（平方米）， 故选：． 11.（23-24济南槐荫八下期中1326）某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】192 【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：地毯的长度至少为：0.8+1.6=2.4（米）； ※2.4×2×40=192（元）． 答：铺设梯子的红地毯至少需要2.4米，花费至少192元． 故答案为：192 【点睛】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键． 12.（23-24济南天桥八下期中1326）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】利用平移道路的方法得出草地的长、宽，即可得到面积． 【详解】解：由平移得到，草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为， 故答案为：200． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题的关键． 四.旋转综合题几何变换 13.（22-23济南商河八下期末0924）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质可求AB＝2，由旋转的性质可得AB＝AB'，∠BAB'＝60°，可得△ABB'是等边三角形，由图中阴影部分的面积＝S△AB'B即可得答案． 【详解】过A作AD⊥B′B， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝， ∴AB＝AC＝2， ∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置， ∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°， ∴△ABB'是等边三角形， ∴B′B=AB=2， ∵AD⊥B′B， ∴BD=B′B=1， ∴AD==， ∴图中阴影部分的面积＝S△AB'B=B′B·AD＝， 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质及等边三角形的判定与性质，正确得出对应边、对应角与旋转角是解题关键. 14.（22-23济南市中八下期末0526）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了(    )    A．75° B．45° C．60° D．15° 【答案】C 【分析】首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角. 【详解】根据题意△ABC是等边三角形 可得B点旋转后的点为C 旋转角为 故选C. 【点睛】本题主要考查旋转角的计算，关键在于根据重合点来确定旋转角. 五.平移作图 15.（23-24济南历下七下期中2125）如图，在直角坐标系中． (1)请写出各点的坐标； (2)求出的面积； (3)将向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，画出图形，并写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用网格求三角形的面积，作图—平移，平移的性质，熟练掌握平移的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． （1）直接由图即可得出各点的坐标； （2）利用割补法进行计算即可得出的面积； （3）先根据平移的性质画出三角形，再由图读出点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得： ； （2）解：如图， ； （3）解：如图，三角形即为所求， 由图可得：． 16.（24-25济南章丘八上期末模拟2426）对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ． (2)①将线段进行“型平移”后得到线型，，，中，在线段上的点是 ． ②若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，求t的取值范围． ③已知点，，M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，且的最小值保持不变，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或；③ 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，解答的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象法解决问题． （1）根据题中定义求解即可； （2）①可画出图形进行判断；②根据图形，可分与y轴有公共点和与x轴有公共点两种情况得到临界值，则可求得的取值范围；③根据网格特点，得到点在线段上时满足条件，根据题中定义求解即可． 【详解】（1）解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：如图，将线段进行“型平移”后得到线型，，，中，在线段上的点是， 故答案为：； ②由图知，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点， , 解得，； 若线段进行“t型平移”后与x轴有公共点，则 解得，， 综上，满足条件的t的取值范围为或； ③如图， 根据网格特点，，当点在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时． 六.根据旋转的性质说明线段或角相等 17.（23-24济南高新八下期中0726）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质及三角形内角和定理解题即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上， ∴, ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，能够熟练运用性质求角度是解题关键． 18.（23-24济南章丘八下期中0826）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角． 19.（24-25济南章丘八下期中0525）如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 20.（24-25济南钢城七下期末2025）如图，，将向右平移3个单位长度，然后再向平移1个单位长度，可以得到．    (1)的面积是 ； (2)画出平移后的， 并写出的坐标； (3)画出绕点C 顺时针旋转后得到的， 并写出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换． （1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据平移的性质作图，即可得出答案； （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：的面积是， 故答案为：5； （2）如图，即为所求；    由图得，； （3）如图，即为所求．    由图得，． 21.（24-25济南市中八下期末2125）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：    (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】(1)作图见解析；， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求作三角形；   ，． （2）解：如图，即为所求作三角形；    （3）解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为．    【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 七.求绕某点非原点旋转90度的点的坐标 22.（24-25济南钢城实验八上期中0926）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（    ） A．(0，0) B．(0，﹣1) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2) 【答案】D 【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转．解题的关键是理解两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 23.（24-25济南钢城新兴路中学八上期中0825）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　） A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4） 【答案】B 【分析】对应点的连线段的垂直平分线的交点，即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求，， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 24.（24济南历下三模1426）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转，得到四边形，则点C的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的旋转变换．根据旋转的性质作出旋转后的图形，即可得出点C的对应点的坐标． 【详解】解：如图，四边形即为所作， 点的坐标是， 故答案为：． 25.（23济南历下三模1426）如图，若将绕点按顺时针方向旋转，得到，那么点B的对应点的坐标是        【答案】 【分析】根据旋转的性质作出旋转后的图形，即可得出点B的对应点的坐标． 【详解】如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，      则点B的对应点的坐标是， 故答案是． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的旋转变换，熟练掌握旋转的性质，正确作出旋转后的图形是解题的关键． 八.根据旋转的性质求解 26.（25济南商河二模1425）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 27.（23-24济南槐荫八下期中1226）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则 度． 【答案】47 【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：∵秋千旋转了86°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点， ∴ ∴ 故答案为：47． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 28.（23-24济南历城八下期中1525）如图，在中，，将将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质，可得，，，易得，根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理可得，再结合可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 29.（23-24济南商河八下期中2426）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）结合旋转的性质和等边三角形的性质可知，，由“”可证，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，再结合等边三角形的性质可推导，在中由勾股定理即可获得答案． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， ，， ∴是等边三角形， ， 又， ， 在中，． 30.（23-24济南天桥八下期中2126）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，   是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图2中，连接，   ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 31.（24-25济南钢城实验八上期中2426）如图，在等边中，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转后得到，连接． (1)猜想的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长； (3)求证：． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)19 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得进而可得，旋转，即可求得答案； （2）根据（1）的结论可得，，结合已知条件即可求得的周长； （3）根据旋转的性质可得，进而可得，又，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】（1）∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴,， ， 是等边三角形； （2） ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 的周长为； （3） ，是等边三角形， ,， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 九.求绕原点旋转90度的点的坐标 32.（22-23济南槐荫八下期中1426）如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意作轴，轴，证即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的坐标为 故答案为：． 33.（22-23济南平阴八下期中1526）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案． 【详解】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 一十.成中心对称 34.（24-25济南钢城新兴路中学八上期中0625）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由于、关于点对称，则，，化简整理即可． 【详解】解：设由于、关于点对称， 可知：，， 解得：，， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于一点成中心对称的问题；掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键． 一十一.中心对称图形的识别 35.（25-26济南莱芜区陈毅中学9上第二次月考0425）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：四个选项中的图形都是轴对称图形，但只有选项C还是中心对称图形； 故选：C． 36.（24-25济南钢城七下期末0125）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．以下四幅图分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 一十二.求关于原点对称的点的坐标 37.（22-23济南槐荫八上期中0426）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于原点对称的点的横坐标坐标都互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点是， 故选：D． 【点睛】此题考查了对称点问题关于轴对称的点的横坐标相等纵坐标互为相反数关于轴对称的点的横坐标互为相反数纵坐标相等关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数． 38.（23-24济南实验初级中学八上期末模拟1226）点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的问题，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 39.（24-25济南钢城实验八上期中1126）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查关于原点对称的点，解题的关键是记住关于原点对称横纵坐标都互为相反数． 一十三.已知两点关于原点对称求参数 40.（22-23济南章丘八上期中1131）已知点P（a，b）是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简|a-b|+|b-a|的结果是（　 　） A． B．2a C． D．0 【答案】A 【分析】根据第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数判断出a、b的正负情况，然后根据绝对值的性质计算即可得解． 【详解】∵点P(a,b)是平面直角坐标系中第二象限内的点， ∴a<0，b>0， ∴|a−b|+|b−a|=b−a+b−a=2b−2a. 故选A. 【点睛】考查每个象限点的坐标特征以及绝对值的化简，掌握绝对值的化简方法是解题的关键. 41.（24-25济南长清八上期末模拟11226）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 则， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 一十四.画已知图形关于某点对称的图形 42.（24-25济南历下八下期末2025）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均在格点上． (1)画出与关于点O成中心对称的； (2)平移，使其和能拼成一个矩形，画出平移后对应的三角形，并直接写出平移的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，5 【分析】本题主要考查了绘制轴对称图形和中心对称图形、图形的平移，勾股定理，牢记轴对称和中心对称的定义、图形平移的性质是解题的关键． （1）是由顶点，，所确定，根据中心对称的定义，找到顶点的对应点，，，顺次连接点，，，所得图形即为； （2）平移后，当点与点重合，点与点重合时，四边形为矩形，平移的距离为对应点的连线的线段长度，据此可求得答案． 【详解】（1）解：是由顶点，B，C所确定，找到顶点的对应点，，，顺次连接点，，，所得图形即为，如图所示： （2）如图所示，平移后，当点与点重合，点与点重合时，四边形为矩形，平移的距离为：． 43.（24-25济南市中八下期末2025）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 44.（23-24济南高新八下期中2026）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标； (3)可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3)， 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【详解】（1）如图所示，点的坐标为 ． （2）如图所示， ． （3）可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 45.（23-24济南商河八下期中2126）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形顶点叫作格点），的顶点均在格点上，且，，，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：    (1)的面积为___________； (2)作，使它与关于坐标原点O成中心对称． (3)在x轴上作一点P，使得的值最小． 【答案】(1)2.5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）用割补法求三角形的面积即可； （2）先作出各顶点关于原点成中心对称的对应点，再描点即可； （3）作点C关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P即可． 【详解】（1）解： （2）解：如图，即为所求    （3）解：如图，点P即为所求，   ． 【点睛】本题考查了中心对称变换，轴对称，割补法求面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 27 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 1图形的平移与旋转原卷版 知识清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 知识清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点1：生活中的平移现象 1.（23-24济南商河八下期中0226）下列生活现象中，属于平移的是（    ）． A．钟摆的摆动 B．拉开抽屉 C．足球在草地上滚动 D．投影片的文字经投影转换到屏幕上 考点2：利用平移的性质求解 2.（25济南历下三模0425）如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2 3 4 3.（23-24济南高新八下期中0426）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）   A．2 B． C．3 D．5 4.（23-24济南槐荫八下期中0826）如图，将沿直线向右平移后到达的位置，连接,若的面积为10，则的面积为(    ) A．5 B．6 C．10 D．4 5.（23-24济南长清八下期中0926）如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5 6 7 6.（24-25济南平阴八下期末1425）如图，将周长为的沿射线方向平移后得到，则四边形的周长为 ． 7.（24-25济南商河八下期末1525）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于 ． 8.（24-25济南钢城七下期末1925）如图，平移后得到 (1)，，求的度数； (2)若，，求平移的距离． 9.（22-23济南莱芜七上期末2126）入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造，管道改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）．    (1)求改造前原有管道的长度是多少？ (2)求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？ 考点3：利用平移解决实际问题 10.（24-25济南钢城实验八上期中0326）如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，则草坪的面积为（　　）平方米．   A． B． C． D． 11 12 13 11.（23-24济南槐荫八下期中1326）某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 元． 12.（23-24济南天桥八下期中1326）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 考点4：旋转综合题几何变换 13.（22-23济南商河八下期末0924）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 13 14 14.（22-23济南市中八下期末0526）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了(    )   A．75° B．45° C．60° D．15° 考点5：平移作图 15.（23-24济南历下七下期中2125）如图，在直角坐标系中． (1)请写出各点的坐标； (2)求出的面积； (3)将向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，画出图形，并写出点的坐标． 16.（24-25济南章丘八上期末模拟2426）对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ． (2)①将线段进行“型平移”后得到线型，，，中，在线段上的点是 ． ②若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，求t的取值范围． ③已知点，，M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，且的最小值保持不变，请直接写出t的取值范围． 考点6：根据旋转的性质说明线段或角相等 17.（23-24济南高新八下期中0726）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 17 18 19 18.（23-24济南章丘八下期中0826）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． 19.（24-25济南章丘八下期中0525）如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 20.（24-25济南钢城七下期末2025）如图，，将向右平移3个单位长度，然后再向平移1个单位长度，可以得到．    (1)的面积是 ； (2)画出平移后的， 并写出的坐标； (3)画出绕点C 顺时针旋转后得到的， 并写出点的坐标． 21.（24-25济南市中八下期末2125）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：    (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 考点7：求绕某点非原点旋转90度的点的坐标 22.（24-25济南钢城实验八上期中0926）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（    ） A．(0，0) B．(0，﹣1) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2) 22 23 24 23.（24-25济南钢城新兴路中学八上期中0825）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　） A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4） 24.（24济南历下三模1426）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转，得到四边形，则点C的对应点的坐标是 ． 25.（23济南历下三模1426）如图，若将绕点按顺时针方向旋转，得到，那么点B的对应点的坐标是        25 26 27 考点8：根据旋转的性质求解 26.（25济南商河二模1425）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 27.（23-24济南槐荫八下期中1226）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则 度． 28.（23-24济南历城八下期中1525）如图，在中，，将将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为 ．    29.（23-24济南商河八下期中2426）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 30.（23-24济南天桥八下期中2126）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 31.（24-25济南钢城实验八上期中2426）如图，在等边中，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转后得到，连接． (1)猜想的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长； (3)求证：． 考点9：求绕原点旋转90度的点的坐标 32.（22-23济南槐荫八下期中1426）如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为 ． 32 33 33.（22-23济南平阴八下期中1526）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 考点10：成中心对称 34.（24-25济南钢城新兴路中学八上期中0625）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点11：中心对称图形的识别 35.（25-26济南莱芜区陈毅中学9上第二次月考0425）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 36.（24-25济南钢城七下期末0125）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．以下四幅图分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B．C．D． 考点12：求关于原点对称的点的坐标 37.（22-23济南槐荫八上期中0426）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是(　　) A． B． C． D． 38.（23-24济南实验初级中学八上期末模拟1226）点关于原点的对称点的坐标为 ． 39.（24-25济南钢城实验八上期中1126）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 考点13：已知两点关于原点对称求参数 40.（22-23济南章丘八上期中1131）已知点P（a，b）是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简|a-b|+|b-a|的结果是（　 　） A． B．2a C． D．0 41.（24-25济南长清八上期末模拟11226）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 ． 考点14：画已知图形关于某点对称的图形 42.（24-25济南历下八下期末2025）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均在格点上． (1)画出与关于点O成中心对称的； (2)平移，使其和能拼成一个矩形，画出平移后对应的三角形，并直接写出平移的距离． 43.（24-25济南市中八下期末2025）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 44.（23-24济南高新八下期中2026）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标； (3)可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 45.（23-24济南商河八下期中2126）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形顶点叫作格点），的顶点均在格点上，且，，，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：    (1)的面积为___________； (2)作，使它与关于坐标原点O成中心对称． (3)在x轴上作一点P，使得的值最小． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $