第三章 图形的平移与旋转 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第三章整合拔尖 知识体系构建 平移 概念。在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且 性质。相等：对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等 作图要点。平移方向、平移距离 旋转 概念。在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应 性质。点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角：对应线段相等，对应角相等 作图要点旋转中心、旋转方向、旋转角 图形的平移与旋转 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心 中心对称 两个图形成中心对称概念。对称 性质对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分 作图要点对称中心 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的 中心对称图形 概念。图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形 中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心 性质。平分 简单的图案设计 运用平移、旋转和轴对称设计简单的图案 91高频考点突破 考点一 识别图形的平移与旋转 称和1次旋转.其中，正确的是 (填序号). 典例1 如图，图形①经过 变化成图形 ②，图形②经过 变化成图形③，图形③ 经过 变化成图形④（填“平移”“旋转” 或“轴对称”). 考点二利用平移的性质计算 典例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将 ① ② ③ ④ (典例1图) △ABC沿射线BC方向平移得到△DEF,点A, [变式](2025·南京建邺期中)如图，A,B,C, B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD D,O均在格点上，△CDO是由△AOB经过两 次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的.有 下列变换方式：①1次旋转和1次平移；②2次 轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对 (典例2图) 66 第三章图形的平移与旋转 (1)若∠CAD=56°，求∠F的度数. 变式]如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转 (2)若BC=6cm,当AD=2CE时，求线段AD 后到达△ADE的位置，DE与AC,BC分别交 的长 于点O,F (1)若△ABC的周长为24，AD=6,AE=8,求 BC的长 (2)若∠BAC=72°，∠DAC=32°，求∠EFC的 度数. 变式](2025·松原长岭期中)如图，直线a仍， 直线c与分别直线a,b相交于点A,B.AC平分 ∠BAD,交直线b于点C,把△ABC沿着平行 线向右平移得到△DEF. (1)求证：∠BAD=2∠DFE. (2)若△ABC的周长是9cm,四边形ABFD的 周长是12cm,求平移的距离， 考点四识别中心对称图形 典例4(2025·徐州)传统纹样是中华传统文 化的一部分，具有独特的民族艺术风格.下列是 徐州出土的汉代玉器纹样，其中，既是轴对称图 形又是中心对称图形的是 () 考点三利用旋转的性质计算 A B. C D. 典例3如图，在△ABC中，∠BAC=90°， [变式]下列图形中，不是旋转对称图形的为 AC=8,BC=10,把△ABC绕点C按逆时针方 ,既是旋转对称图形又是中心对称图形 向旋转60得△DEC,连接AD,BD.求： 的为 ,旋转72°后能够与原图形完全重 (1)AD的长及∠BAD的度数 合的图形为 (填序号)， (2)△ABD的面积 ① 考点五与平移和旋转相关的作图 典例5如图，在平面直角坐标系中，先把 (典例3图) △ABC向右平移6个单位长度得到△A,B,C1, 然后把△A1BC1绕点B1按顺时针方向旋转 90得到△A2B1C2. 67 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 (1)分别在图中画出△A1B,C1和△A2B,C2· [变式]如图，在平面直角坐标系中，小正方形的 (2)图中的△A2BC2能否由△ABC绕着某 边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐 点P按顺时针方向旋转得到？如果能，请写出 标分别为A(一1,3)，B(一4,0)，C(0,0) 旋转中心点P的坐标，并说明如何旋转得到的； (1)将△ABC向上平移2个单位长度，再向右 如果不能，请说明理由。 平移6个单位长度后得到△A,BC1,画 出△A1B1C1. (2)作出与△ABC关于原点成中心对称 的△A2B2C. (3)△A2B,C通过旋转可以得到△A1B1C1,则 旋转中心点P的坐标为 y (典例5图) 综合素能提升 1.(2025·青岛)围棋是中华民族发明的博弈活 3.(2025·榆林子洲期末)如图，在平面直角坐 动.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图 标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 形，又是中心对称图形的是 ( (2,0),点A在x轴正半轴上，且AC=4,将 △ABC先绕点C按逆时针方向旋转90°，再 向左平移5个单位长度，则变换后点A的对 B 应点的坐标为 O C C D. (第3题) 2.(2025·武汉江汉期末)如 4.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 图，在△ABC中，AB= 网格中建立如图所示的平面直角坐标系，原 AC,∠BAC=40°，AD⊥ 点O及△ABC的顶点都在格点上. BC于点D.△ABC绕，点B D (第2题) (1)△ABC的面积为 按逆时针方向旋转得到 △FBE,点C的对应点E落在AD上，则 (2)将△ABC先向下平移2个单位长度，再 ∠CBF的度数是 ( ) 向右平移5个单位长度得到△A1B,C1,画 A.140°B.130°C.120°D.110° 出△A1B1C1. 68 第三章图形的平移与旋转 (3)将△ABC绕点B按逆时针方向旋转6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，画出旋转后得到的△A2BC2,并直接写 90°.线段EF是由线段AB平移得 出点A2,C2的坐标 到的，点F在边BC上，△EFD是 以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰 好在AC的延长线上.求证： (1)∠ADE=∠CFD. (2)CD=BF. (第4题) (第6题) 5.如图，将△ABC绕，点A按逆时针方 向旋转一个角度α，得到△ADE,点 B的对应点D恰好落在边BC上 且点A,B,E在同一条直线上. (1)求证：DA平分∠BDE. (2)若AC⊥DE,求旋转角a的度数. (第5题) 69'.∠HBF=∠EBF=60. 在△HBF和△EBF中， BH=BE, ∠HBF=∠EBF, BE=BF, .'.△HBF≌△EBF. .HF=EF. .HF=CH+CF=AE+CF, ∴.AE+CF=EF. (2)不成立，EF=AE一CF. 如图②，在AE上截取AQ=CF,连 接BQ. .AB⊥AD,BC⊥CD, ∴.∠A=∠BCF=90°. 在△BCF和△BAQ中， BC=BA, ∠BCF=∠A, CF=AQ, ∴.△BCF≌△BAQ. ∴.BF=BQ,∠CBF=∠ABQ. .∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE. .∠CBE+∠ABQ=60 .∠ABC=120°， .∠QBE=120°-60°=60°= ∠FBE. 在△FBE和△QBE中， BF=BQ, ∠FBE=∠QBE, BE=BE. .△FBE≌△QBE. .'EF=EQ. '.AE=EQ+AQ=EF+CF,即 EF=AE-CF. B E M H C D B D N E M ② (第8题) 第三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1轴对称平移旋转 [变式]③④ 典例2(1)：△ABC沿射线BC方 向平移得到△DEF, .AC∥DF,AD∥BF. ∴.∠ACB=∠F,∠ACB=∠CAD. .'.∠F=∠CAD=56 (2).△ABC沿射线BC方向平移 得到△DEF, .AD-BE-CF 设AD=xcm,则BE=CF=xcm, CE-AD-x cm. 1 ,BC=6cm,即BE+CE=6cm, ·x十2x=6,解得x=4,. ∴.AD=4cm. [变式](1)：ab, .∠DAC=∠ACB. :AC平分∠BAD. '.∠BAD=2∠DAC=2∠ACB. 由平移的性质，得∠ACB=∠DFE, .∠BAD=2∠DFE. (2)设平移的距离为xcm. 由平移的性质，得AC=DF,AD= CF=x cm, ,四边形ABFD的周长是12cm, .∴.AB+BC+CF+DF+AD= AB+BC+AC++2AD=12 cm. .'.9+2x=12,解得x=1.5. ∴.平移的距离为1.5cm. 典例3(1)：把△ABC绕点C按 逆时针方向旋转60°得△DEC, .DC=AC,∠ACD=60° .△ACD是等边三角形. .'.AD=AC=8,∠CAD=60° ∠BAC=90°， .∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°. (2)如图，作BF⊥AD于点F,则 ∠AFB=90°. 31 ∠BAC=90°，AC=8,BC=10, ∴.AB=√BC-AC=6. 由(1)得AD=8,∠BAD=30, .BF-AB=3. 1 S△Am=ZAD·BF=zX8X 3=12,即△ABD的面积为12. (典例3图) [变式](1)由旋转的性质，得AB= AD=6,AC=AE=8, .AB+AC=6+8=14. △ABC的周长为24， ∴.AB+AC+BC=24. .∴.BC=24-(AB+AC)=10. (2)∠BAC=72°，∠DAC=32°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC= 72°-32°=40°. 由旋转的性质可知，旋转角为40°， ∠C=∠E, ∴.∠CAE=40°. :∠COF=180°-∠EFC-∠C, ∠AOE=180°-∠CAE-∠E, 又∠COF=∠AOE, .180°-∠EFC-∠C=180°- ∠CAE-∠E. ∴.∠EFC=∠CAE=40°. 典例4B [变式]⑤①③②④ 典例5(1)如图，△A,B,C,和 △A2B1C2即为所求. (2)能。 如图，连接AA2,BB1,分别作线段 AA2,BB1的垂直平分线，相交于 点P,易知点P也在线段CC2的垂直 平分线上 .旋转中心点P的坐标为(2，一7). 把△ABC绕着点P按顺时针方向旋 转90°，即可得到△A2B,C2 y (典例5图) [变式](1)如图，△A,B,C即为 所求作 (2)如图，△A,B,C即为所求作. (3)(3,1). 0 [综合素能提升] 1.D 2.B解析：如图，连接CE.:AB= AC,∠ABC=∠ACB=2(180° ∠BAC)=2×(180-40)=70 :AD⊥BC,∴.BD=CD,即AD垂 直平分BC.,.BE=CE.△ABC 绕点B按逆时针方向旋转得到 △FBE,点C的对应点E落在AD 上，∴.BE=BC,∠FBE=∠ABC= 70°.，BE=CE=BC,∴.△BCE为 等边三角形.∴.∠CBE=60°. ∴.∠CBF=∠CBE+∠FBE=6O°+ 70°=130° B （第2题) 3.(一3,4)解析：.∠BCA=90° AC=4,'.将△ABC绕点C按逆时 针方向旋转90后，点A的对应点的 坐标为(2,4)..2一5=一3，即再向 左平移5个单位长度后，点A的对应 点的坐标为（一3,4） 4.(1)5.5. (2)如图，△A,B1C1即为所求作. (3)如图，△A,BC2即为所求作，点 A2的坐标为(0,0)，点C2的坐标为 (3,2) (第4题) 5.(1):将△ABC绕点A按逆时针 方向旋转一个角度a,得到△ADE,点 B的对应点D恰好落在边BC上， .∠ADE=∠B,AD=AB. .∠ADB=∠B. .∠ADE=∠ADB. '.DA平分∠BDE (2)设AC与DE交于点O. 由旋转，得AB=AD,∠BAD= ∠CAE=a,∠C=∠E, :AC⊥DE, ∴.∠AOE=90°. ∴.∠C=∠E=90°-a. AB=AD, ·∠ADB=∠B=(180 ∠BAD-2180-a)=90°-2. ,∠CAE是△ABC的一个外角， ∴.∠CAE=∠B+∠C. 六a=90°-2a+90°-a,解得 a=72 ∴.旋转角a的度数为72°. 6.(1)·△EFD是以EF为斜边的 等腰直角三角形， ∴.∠EDF=90°. '.∠ADE+∠ADF=90 32 ∠ACB=90, ∴.∠CFD+∠ADF=∠ACB=9O° .∠ADE=∠CFD. (2)如图，连接AE 线段EF是由线段AB平移得 到的， .易得AEBF,AE=BF .∴.∠DAE=∠ACB=90° ∴.∠DAE=∠FCD=90°. ,△EFD是以EF为斜边的等腰直 角三角形， .DE=FD. 在△ADE和△CFD中， ∠DAE=∠FCD, ∠ADE=∠CFD, DE=FD, .∴.△ADE≌△CFD .AE=CD. 又AE=BF, .CD=BF. B (第6题) 第四章 因式分解 1因式分解 1.D 方法归纳 判断因式分解的方法 对于因式分解应明确以下几 点：①因式分解是一种恒等变形： ②因式分解是把和的形式化为积 的形式的变形，即把多项式化为积 的形式：③积中的各因式都为整 式：④每个因式在指定范围内都不 能再分解，即分解彻底， 2.C3.①⑤4.a2+3ab+2b2= (a+b)(a+2b) 5.(1)原式=7.6×(7.6+2.4)= 7.6×10=76. (2)n2+n=n(n+1). 若n为奇数，则n十1为偶数：