精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学10月月考 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 2. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值． 解答：解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2， 由抛物线的定义知： |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8． 故选C． 3. 若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　) A. (－2,1) B. (－1,2) C. (－∞，0) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】A 【解析】 【详解】∵过点和的直线的倾斜角为钝角 ∴直线的斜率小于0，即. ∴ ∴ 故选A. 4. 已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　） A. ﹣1 B. C. 或﹣2 D. ﹣1或﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【详解】根据两直线平行的公式可得，故 解得 故选：A． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知，代入椭圆方程可知 考点：椭圆性质 6. 若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【详解】题意可得圆心到直线的距离小于半径1，从而可得，进而可得结论． 【解答】因为直线与圆有两个公共点， 所以圆心到直线距离小于半径1，即， 所以， 所以， 所以点在圆外， 故选：B． 7. 椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点、，利用点差法可求得的值. 【详解】设点、，由已知可得，， 上述两个等式相乘得， 由已知可得，两式作差得， 所以，. 故选：D. 8. 如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等边三角形的特点，用表示出，再结合即可计算出双曲线的离心率. 【详解】因为且是等边三角形， 所以，， 由双曲线的定义可知：， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 9. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆与双曲线有相同焦点得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，利用面积公式求结论． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同焦点，得到，即． 不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② ①2②2得， 所以， ①2②2得， 所以， 又，故， 所以， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故选：A． 10. 设双曲线的左､右焦点为，若双曲线右支上存在点P，使得，，成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，由，，成等差数列可得，结合即可得到关于离心率的不等式，从而得解. 【详解】设，则，，所以， 又P在右支上，所以，即，所以离心率. 故选：A. 二、多选题（共4小题，每小题5分，多选错选不得分，少选得2分） 11. 下列说法错误的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B；由可判断C；计算出端点处的斜率结合图形可判断D 【详解】对于A：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， 此时直线方程为，故A错误； 对于B：直线可变形为，由解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C：当倾斜角时，无意义，故C错误； 对于D：直线即，经过定点， 当直线经过点时，斜率为， 当直线经过点时，斜率为， 由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误； 故选：ACD 12. 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为（ ） A. B. － C. 4＋ D. 4－ 【答案】CD 【解析】 【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，由△ABC为等边三角形可得，利用点到直线距离公式求a. 【详解】设圆心C到直线AB的距离为d， ∵圆的方程为(x－1)2＋(y－a)2＝4 ∴ 圆心C(1,a)，圆的半径为2，CA=CB=2， 又△ABC等边三角形，∴， 由圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离， ∴ ∴ a＝4±， 故选：CD． 13. 已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（ ） A. 椭圆的焦点坐标为， B. 椭圆的长轴长为4 C. 直线方程为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出、，即可判断A、B，设，，利用点差法求出直线的斜率，即可得到直线方程，从而判断C，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可判断D； 【详解】解：由椭圆方程，所以，，所以，故， 所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误； 因为，所以椭圆的长轴长为，故B正确； 设点，，则，两式相减可得， 整理得，因为点是线段的中点，且， 所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确； 由，得， 所以，，所以，故D正确． 故选：BCD 14. 加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 【答案】CD 【解析】 【分析】由结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为，宽为，由基本不等式判断D. 【详解】由题意可知，则椭圆C的离心率为，故A错误； 当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为宽为， 所以椭圆C的蒙日圆的半径为，即椭圆C的蒙日圆方程为，故C正确，B错误； 设长方体R的长为，宽为，则，长方形R的面积为， 当且仅当时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确； 故选：CD 三、填空题（共4小题，每题5分） 15. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在轴上可得. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，得. 故答案为： 16. 椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可得，结合椭圆的定义可得，进而可以求出结果. 【详解】由，可知，，所以， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ，由椭圆的定义知，则 ∴. 故答案为：7 17. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数a的值为___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】由圆可知圆心为，半径为2， 要使圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离为1， 所以，解得. 故答案为：. 18. 椭圆的焦点为、，点为这个椭圆上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据是钝角推断出，代入坐标求得和的不等式关系，求得的范围． 【详解】设，则，， 是钝角，， ， ， ， ， ，解得． 故答案为：． 四、解答题（共4小题，每小题15分） 19. 求下列各曲线的标准方程． （1）长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆方程； （2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程． （3）已知点，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知即可求出，，，进而可以求解； （2）由双曲线的方程即可求出左顶点的坐标，进而求出抛物线的焦点坐标，即可求解． （3）先根据题意可知正好为圆的半径，而，进而可知．根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以、为焦点的椭圆，根据、求得，，进而求得，答案可得． 【小问1详解】 由已知可设椭圆方程为，则，， 解得，，则， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 双曲线的标准方程为：， 则，，则， 故抛物线的焦点坐标为， 设抛物线的标准方程为， 则，解得， 故抛物线的方程为； 【小问3详解】 如图所示，则，，， 即且， 即动点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设其方程为，则，，， 则动点的轨迹方程为． 20. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点． （1）若点到直线的距离为，，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，又点，则的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，利用两点间的距离公式进行求解即可． （2）根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为到准线的距离，进行求解即可． （3）由椭圆的定义得到，进而将转化为，经分析当，，三点共线时，最小，从而可求出结果． 小问1详解】 抛物线的焦点坐标， 到准线的距离，则， 则，当、、共线时，取等号， 所以的最小值为． 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当垂直于直线时，取等号，所以最小值为4． 【小问3详解】 设椭圆左焦点为. 由椭圆的定义知，所以， 因此， 所以，当，，三点共线时，取等号， 又，因此， 所以，因此的最小值为6. 21. 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，． （1）求此椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设焦距，从而求解椭圆的标准方程；（2）将代入椭圆的方程，得，由，得到，再由韦达定理得到，，利用平面向量化简，列出方程，即可求解的值． 试题解析：（1）设焦距为, 椭圆的方程为 ． （2）将代入椭圆的方程，得, 又直线与椭圆有两个交点，所以, 解得．设, 则, 若以为直径的圆过点，则, 即,而, 则 , 解得,满足． 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理化简运算是解答的关键，试题运算量大，思维难度深，属于中档试题． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（Ⅰ）方程为，准线为；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为，即可求出，得出抛物线方程和准线； （Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得，表示出中点，由题可得，由建立关系可求. 【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为， 抛物线与椭圆右焦点重合，，即， 故抛物线C的方程为，准线为； （Ⅱ）设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，可得， 则，可得， 设，， 设中点为，则，， 为以P为顶点的等腰三角形，则， 则，整理可得， ，则，解得或， 故直线的斜率的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学10月月考 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ） A. B. C. D. 2. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　) A. (－2,1) B. (－1,2) C. (－∞，0) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 4. 已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　） A. ﹣1 B. C. 或﹣2 D. ﹣1或﹣2 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 A. B. C. D. 6. 若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 7. 椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 9. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 设双曲线的左､右焦点为，若双曲线右支上存在点P，使得，，成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，多选错选不得分，少选得2分） 11. 下列说法错误的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 直线和以，为端点线段相交，则实数的取值范围为 12. 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为（ ） A. B. － C. 4＋ D. 4－ 13. 已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（ ） A. 椭圆的焦点坐标为， B. 椭圆的长轴长为4 C. 直线的方程为 D. 14. 加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 三、填空题（共4小题，每题5分） 15. 已知方程表示焦点在轴上椭圆，则实数的取值范围是__________. 16. 椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________． 17. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数a的值为___________； 18. 椭圆的焦点为、，点为这个椭圆上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是________． 四、解答题（共4小题，每小题15分） 19. 求下列各曲线的标准方程． （1）长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆方程； （2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程． （3）已知点，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程． 20. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点． （1）若点到直线距离为，，求的最小值； （2）若，求最小值． （3）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，又点，则的最小值． 21. 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，． （1）求此椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C方程及其准线方程； （Ⅱ）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $