学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·提升卷（沪教版必修三第10章～第11章+选修一第3章：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 2、 选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13. [A] [B] [C] [D] 14. [A] [B] [C] [D] 15. [A] [B] [C] [D] 16 .[A] [B] [C] [D] 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 州 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 」 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分， 共54分.) 謀 杯 7 8. 9 10 ! 12. 箭 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16 1 题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。) 13.[A][B][C][D] 14.[A][B][C][D] 15.[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 幕 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题 18分，共78分.) 17.(14分) 请在各题数諧第区顾：年页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) E 02 G-B 请在各题聂警签惑内领)超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 0- 剂B 请在各题目的答题区域数铧管第蜘绝责边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) D A B D 请在各题目的答题数钠集箭页超共器负矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) E 请在各题目的数躯策顶答共超函黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三第10章~第11章+选修一第3章：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（热考）若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 3．（热考）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 4．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 5．（热考）已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 6．已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 7．（新情境）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 8．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 9．（新情境）＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________. 10．如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 11．如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 12．（新情境）我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 14．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 15．（新考法）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 16．如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 18．（14分）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 19．（14分）如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 20．（18分）在棱长为2的正方体中， 分别是，上的动点，    (1)若正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为______，并画出此时与正方体的截面； (2)求的最小值； (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置． 21．（新考法）（18分）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1 . 2. 3. 4. 5. 若，，则 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B A D B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为.……（6分） （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故.……（14分） 18．（14分） 【详解】(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面.……（7分） （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积.……（14分） 19．（14分） 【详解】(1)证明：因为平面，平面，则，， 又，则. 又为中点，则为中点，，又， 由余弦定理，， 由，可得, 又，平面， 所以平面；……（7分） （2）因为平面，，所以平面， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，设母线长为， 则, 又，则， 所以, 又, 在中，，故, 所以， 设点到平面的距离为， 则，解得.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 等价于同一顶点的三条棱与平面所成的角都相等， 再根据正方体的性质可知：三条棱与平面所成的角都相等， 作与平面平行的平面，截正方体的六条棱中点时的正六边形截面积最大，如图：    此时正六边形的边长为，所以最大截面面积为；……（4分） （2）是上的动点，由题意知，面是上的动点，面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面，       如图，当时最小，为等腰直角三角形，，其中， 则，则， 可得， 则， 故的最小值为．……（10分） （3）连接交于点，连接交于点， 平面，得，平面， 得平面，又因为平面，可得平面平面， 平面平面，过点作交于， 则平面，又因为平面，所以，    连接，可得平面平面， 又因为平面，所以，， 由二面角的定义可得为平面与平面所成的二面角，为平面与平面所成的二面角， 设，则， 当时，有 所以 而当时，， 上式仍然成立，类似的可以验证当时，上式也成立， 于是，当时，即点位于的中点时，取最小值为， 又，所以.……（18分） 21．（新考法）（18分） 【详解】（1）棱台的周长为， 正四面体的周长为， 由正四面体的性质，且截面底面， 均为全等的正三角形， 所以， 所以棱台周长为6．……（6分） （2）设球半径为， 因为为中点，所以所在小圆的半径为， 所在圆的半径为， 棱台高为正四面体高的一半，所以， 因为球心和上述两圆的圆心共线，所以球心到上下底面的和或差为， 于是， 解得，此时棱台的两个底面在球心的同侧．……（12分） （3）设平行六面体的棱长为， 底面平行四边形的面积，底面平行四边形的一个内角为． 下面证明存在符合条件的平行六面体． 由（1）的推导过程可知，棱台周长为定值6，故周长，于是棱长， 因为侧棱垂直于底面，所以高为，所以，于是． 因为底面是平行四边形，所以，所以， 由于正四面体的体积为，所以，于是， 所以方程有唯一锐角解 综上，存在棱长均为，底面面积，底面锐角内角为， 侧棱垂直于底面的平行六面体，使得周长和体积都等于棱台．……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三第10章~第11章+选修一第3章：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（热考）若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题知，解得，所以， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 3．（热考）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【答案】 【详解】设正方体的棱长为1，连接， 在正方体中，可得平面， 所以体对角线与平面所成角，即为， 在直角中，，所以, 所以体对角线与平面所成角的正切值是. 故答案为：. 4．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 即. 5．（热考）已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 【答案】若，，则 【详解】命题：以②、③为条件，①为结论； 证明：根据线面垂直的性质，若，则垂直于平面内的所有直线； 又，则的方向与平面内某条直线的方向相同，因此，该命题正确， 命题：以①、③为条件，②为结论； 该命题错误，反例：当时，仍有且，但在平面内，不满足，故无法推出该结论， 命题：以①、②为条件，③为结论； 该命题错误，反例：设，为平面内与垂直的直线，则且，但不垂直于平面，无法推出结论. 6．已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 【答案】 【详解】由题意可知，该水库在水位上升过程中的形状可视为一个棱台， 设棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为， 根据题设数据可得：，，， 根据棱台的体积公式 ，代入上述数据得： ， 取 ，则： ， 所以，增加的水量约为 . 7．（新情境）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 【答案】 【详解】上海在北纬至之间，地球半径， 纬线所在平面是与赤道平面平行的平面，纬度为的纬线所在平面与赤道平面的距离为， 因此，所求两平面的距离为。 故答案为： 8．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 【答案】 【详解】因为轴，所以的中，， 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以. 如图作于， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 9．（新情境）＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________. 【答案】 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接， ∵分别为的中点，则， ∴正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故答案为： 10．如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【答案】 【详解】取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以中，， 所以为等边三角形，即． 所以二面角的大小． 故答案为：． 11．如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即, 设，其中， 在中，由， 由余弦定理得， 设，则，可得， 再令，则，则， 设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为. 故答案为：. 12．（新情境）我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________． 【答案】 【详解】    设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为， 设底面中心为O，截面中心为，则， 所以，所以截面为的面积为． 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心O与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为， 这与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即． 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 【答案】B 【详解】由题意有：直线与平面相交，则平面内的直线与直线的关系有：相交或异面 因此内存在与直线垂直的直线，即B正确. 故选：B. 14．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面. 由正八面体的性质可知，，则，， 所以体积，表面积， 所以. 故选：A.    15．（新考法）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 16．如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为.……（6分） （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故.……（14分） 18．（14分）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 【详解】(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面.……（7分） （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积.……（14分） 19．（14分）如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】(1)证明：因为平面，平面，则，， 又，则. 又为中点，则为中点，，又， 由余弦定理，， 由，可得, 又，平面， 所以平面；……（7分） （2）因为平面，，所以平面， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，设母线长为， 则, 又，则， 所以, 又, 在中，，故, 所以， 设点到平面的距离为， 则，解得.……（14分） 20．（18分）在棱长为2的正方体中， 分别是，上的动点，    (1)若正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为______，并画出此时与正方体的截面； (2)求的最小值； (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置． 【详解】（1）由正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 等价于同一顶点的三条棱与平面所成的角都相等， 再根据正方体的性质可知：三条棱与平面所成的角都相等， 作与平面平行的平面，截正方体的六条棱中点时的正六边形截面积最大，如图：    此时正六边形的边长为，所以最大截面面积为；……（4分） （2）是上的动点，由题意知，面是上的动点，面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面，       如图，当时最小，为等腰直角三角形，，其中， 则，则， 可得， 则， 故的最小值为．……（10分） （3）连接交于点，连接交于点， 平面，得，平面， 得平面，又因为平面，可得平面平面， 平面平面，过点作交于， 则平面，又因为平面，所以，    连接，可得平面平面， 又因为平面，所以，， 由二面角的定义可得为平面与平面所成的二面角，为平面与平面所成的二面角， 设，则， 当时，有 所以 而当时，， 上式仍然成立，类似的可以验证当时，上式也成立， 于是，当时，即点位于的中点时，取最小值为， 又，所以.……（18分） 21．（新考法）（18分）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）棱台的周长为， 正四面体的周长为， 由正四面体的性质，且截面底面， 均为全等的正三角形， 所以， 所以棱台周长为6．……（6分） （2）设球半径为， 因为为中点，所以所在小圆的半径为， 所在圆的半径为， 棱台高为正四面体高的一半，所以， 因为球心和上述两圆的圆心共线，所以球心到上下底面的和或差为， 于是， 解得，此时棱台的两个底面在球心的同侧．……（12分） （3）设平行六面体的棱长为， 底面平行四边形的面积，底面平行四边形的一个内角为． 下面证明存在符合条件的平行六面体． 由（1）的推导过程可知，棱台周长为定值6，故周长，于是棱长， 因为侧棱垂直于底面，所以高为，所以，于是． 因为底面是平行四边形，所以，所以， 由于正四面体的体积为，所以，于是， 所以方程有唯一锐角解 综上，存在棱长均为，底面面积，底面锐角内角为， 侧棱垂直于底面的平行六面体，使得周长和体积都等于棱台．……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三第10章~第11章+选修一第3章：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（热考）若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 3．（热考）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 4．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 5．（热考）已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 6．已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 7．（新情境）已知上海地处东经至，北纬至之间.地球半径为6371.004km，则纬线所在两平面的距离是_________.（精确到0.001km） 8．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为________． 9．（新情境）＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________. 10．如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 11．如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 12．（新情境）我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 14．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 15．（新考法）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（   ） A． B． C． D． 16．如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 18．（14分）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 19．（14分）如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 20．（18分）在棱长为2的正方体中， 分别是，上的动点，    (1)若正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为______，并画出此时与正方体的截面； (2)求的最小值； (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的最小值，及此时点的位置． 21．（新考法）（18分）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．如图，已知正四面体的底面的边长为分别为棱上的点，平面平面，    (1)求棱台的周长； (2)若是侧棱的中点，和的顶点都在同一个球面上，求此球的半径； (3)已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $