解一元一次方程、一次方程与实际应用问题、一次方程与数轴动点问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

解一元一次方程、一次方程与实际应用问题、一次方程与数轴动点问题专项训练 解一元一次方程、一次方程与实际应用问题、一次方程与数轴动点问题专项训练 考点目录 解一元一次方程 一次方程与实际应用问题 一次方程与数轴动点问题 考点一 解一元一次方程 例1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）解下列方程： (1)； (2)． 例2．（25-26七年级上·山西太原·月考）解方程： (1) (2)． 例3．（25-26七年级上·河南濮阳·月考）解下列方程 (1)； (2)． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）解方程 (1)； (2)． 变式2．（25-26七年级上·福建福州·月考）解方程： (1) (2) 变式3．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）解方程： (1)； (2)． 考点二 一次方程与实际应用问题 例1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）列方程解应用题 (1)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．合伙人数，物品的价格分别是多少？ (2)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，该服装的进价是多少元/件？ 例2．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 例3．（25-26七年级上·陕西延安·期末）某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支元，售价为每支元．每天的销售数量以支为标准，每天售出超出支的部分记为正，不足支的部分记为负．该文具店记录了天该钢笔的销售情况如下表： 第天 第天 第天 第天 第天 每天售出的数量与标准数量的差（支） (1)求该文具店这天出售这种钢笔的总利润； (2)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案：（顾客只能选择其中一种方案） 方案一：若购买数量不超过支，每支元；若超过支，则超过部分每支降价元； 方案二：每支均打九折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买支该种钢笔作为奖品，当购买多少支钢笔时，这两种方案价格相同． 例4．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）春节期间，某手工店推出一种买大号中国结赠送小号中国结的营销策略：赠送小号中国结的个数比买大号中国结个数的2倍少1个．为节约成本，该店准备根据出售大号中国结和赠送小号中国结的总数量，估算编织时所需绳子长度，再购进绳子并全部用于编织这部分大、小号中国结． 信息一：编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳； 信息二：某工厂出售编织大、小号中国结的绳子，每米标价4元，该工厂给出两种购买绳子的方案： 线上 线下 优惠方案 不超过时，每米按标价九折销售；超过时，每米按七折销售． 不超过时，每米减0.18元；超过时，不超过部分仍享受每米减0.18元的优惠，超过部分每米按标价六五折销售． (1)若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为 个，求此时大、小号中国结共需用绳多少米（用含x的代数式表示）； (2)若该手工店购进绳子，求编织多少个大号中国结； (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织多少个大号中国结？请你根据编织大号中国结个数的情况，直接写出该手工店最优惠的购买方案． 变式1．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为实现“安全舒适”目标，某电动车商城购进了一批安全头盔和挡风被进行销售，安全头盔的售价是45元/个，挡风被的售价是30元/个，并提供了两种优惠方案（规定顾客一次只能选择一种方案）： 方案一：买一个安全头盔送一个挡风被； 方案二：安全头盔和挡风被都按售价的付款． 小张计划一次性从该商城为自家电动车专卖店采购100个安全头盔和个挡风被． (1)分别用含的代数式表示小张按方案一和方案二购买所需的钱数；（结果化为最简） (2)当小张购买多少个挡风被时，按方案一和方案二所需的钱数相同？ 变式2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）赤峰市出租车的收费标准是：起步价（3千米以内，包括3千米）6元，路程超过3千米的部分，每千米收费元． (1)若小明想乘坐出租车去距离家2千米的学校，他应付车费 元；若假期他想乘坐出租车去距离赤峰市区90千米的美林谷滑雪，应付车费 元； (2)若他支付的车费是39元，请你算出他乘坐出租车的路程． 变式3．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）某超市先后以每千克元和每千克元的价格两次共购进苹果千克，且第二次付款是第一次付款的倍． (1)求第一次购进苹果多少千克？ (2)该超市以每千克元的标价销售这批苹果，售出千克后，受市场影响，把剩下的苹果打8折全部售出．求该超市销售这批苹果共获得的利润是多少？（总利润销售总额总成本） 变式4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）年第九届亚洲冬季运动会于年月日至日在哈尔滨举行，印有吉祥物“滨滨”和“妮妮”的卫衣在市场畅销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”卫衣各件，其中印有“滨滨”卫衣每件的进价比印有“妮妮”卫衣的进价少元，购进两种卫衣共花费元． 利用方程解决下列问题： (1)求商场购进两种样式卫衣的进价分别是多少元？ (2)在销售过程中，印有“滨滨”卫衣每件售价是元，很快全部售出；印有“妮妮”图案的卫衣每件按进价加价销售，销售件后，恰逢元旦假期，商场搞促销活动，决定打折出售剩余的印有“妮妮”图案的卫衣，两种样式的卫衣全部售出后共获利元，求的值． 考点三 一次方程与数轴动点问题 例1．（25-26七年级上·北京·月考）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“平稳点”． (1)如图1，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，，，三点_____（填“是”或“不是”）“平稳点”； (2)在（1）的条件下，点表示的数是，且，，三点是“平稳点”，求的值； (3)如图2，点在点的左侧，点表示的数是，点表示的数是（其中、是正整数）．若，，三点是“平稳点”．其中线段，线段，且满足，直接写出所有满足条件的的值． 例2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，所表示的数为，且满足，点所表示的数为． (1)的值为_____，的值为_____； (2)动点从点出发，往数轴右边以每秒个单位的速度运动，动点从点出发往数轴右边以每秒个单位的速度运动． ①点运动到点需要_____秒，点运动到点需要_____． ②在运动过程中点所表示的数为，且的值为，_____． ③设点、运动时间为秒，当，距原点的距离相等时，求_____． 例3．（25-26七年级上·广东惠州·期中）【自主探究】 （1）数轴上表示数与的两点之间的距离是___________，数轴上表示数与的两点之间的距离是____________； （2）设数轴上两点分别表示数，则两点之间的距离用表示为_______________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与___________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与______________的两点之间的距离； （4）若动点分别从和同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______________，点表示的数为___________； ②当为何值时，两点之间的距离为？ 例4．（25-26七年级上·陕西延安·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来．如图，，两点在数轴上对应的数分别用，12表示．甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度／秒，乙的速度为3个单位长度／秒，设运动的时间为秒． (1)求，两点的距离； (2)若甲、乙都向左运动，当为何值时，甲在乙的右侧，且甲、乙之间的距离是5个单位长度？ 变式1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k倍映射点”．已知在数轴上，O为原点，点A，点B表示的数分别为，． (1)若点B是点A关于原点O的“k倍映射点”，则________；若点C是点A关于点B的“倍映射点”，则________； (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点D．当线段运动几秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点”？ (3)若点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“5倍映射点”，记为，作点B关于点Q的“5倍映射点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）问题背景：在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常可使一些复杂问题变得容易解决． 【问题解决】阅读以下材料，并解决问题． 如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到点处时，点对应的数为20；再向左移动，当点移动到点处时运动停止，点对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表．） （1）求出木棒的长度的值； （2）求出图中点和点表示的数各是多少； （3）若木棒以每秒的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟． 【拓展应用】借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ （4）请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 变式3．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，分别向右以3个单位长度、5个单位长度匀速运动，同时动点R从点C出发，向左以2个单位长度匀速运动．是否存在某一时刻，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右侧，且线段的长为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，设运动时间为秒． (1)求点表示的数； (2)求当为何值时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解一元一次方程、一次方程与实际应用问题、一次方程与数轴动点问题专项训练 解一元一次方程、一次方程与实际应用问题、一次方程与数轴动点问题专项训练 考点目录 解一元一次方程 一次方程与实际应用问题 一次方程与数轴动点问题 考点一 解一元一次方程 例1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 例2．（25-26七年级上·山西太原·月考）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（25-26七年级上·河南濮阳·月考）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原方程可化为 ． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式2．（25-26七年级上·福建福州·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 考点二 一次方程与实际应用问题 例1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）列方程解应用题 (1)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．合伙人数，物品的价格分别是多少？ (2)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，该服装的进价是多少元/件？ 【答案】(1)合伙人数是，物品的价格是钱 (2) 【详解】（1）解：设合伙人数为， 依题意，得， 解方程得：，即合伙人数为， 故物品的价格为：（钱）． 答：合伙人数是，物品的价格是钱． （2）解：设该服装的进价是元， 依题意得：， 解得：． 答：该服装的进价是元/件． 例2．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 【答案】(1)9人生产手套，6人生产玩偶 (2)打8折 【详解】（1）解：设人生产手套，则人生产玩偶： ，即， 解得， ， 答：9人生产手套，6人生产玩偶． （2）解：成本100元，标价元，目标利润即售价120元： 折扣． 答：打8折． 例3．（25-26七年级上·陕西延安·期末）某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支元，售价为每支元．每天的销售数量以支为标准，每天售出超出支的部分记为正，不足支的部分记为负．该文具店记录了天该钢笔的销售情况如下表： 第天 第天 第天 第天 第天 每天售出的数量与标准数量的差（支） (1)求该文具店这天出售这种钢笔的总利润； (2)该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案：（顾客只能选择其中一种方案） 方案一：若购买数量不超过支，每支元；若超过支，则超过部分每支降价元； 方案二：每支均打九折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买支该种钢笔作为奖品，当购买多少支钢笔时，这两种方案价格相同． 【答案】(1) 元 (2) 支 【详解】（1）解：根据题意可知：（元）， 答：该文具店这天出售这种钢笔的总利润为元； （2）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 当两种方案购买的价格相同时，有， 解得， 答：当购买钢笔支时，这两种方案价格相同． 例4．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）春节期间，某手工店推出一种买大号中国结赠送小号中国结的营销策略：赠送小号中国结的个数比买大号中国结个数的2倍少1个．为节约成本，该店准备根据出售大号中国结和赠送小号中国结的总数量，估算编织时所需绳子长度，再购进绳子并全部用于编织这部分大、小号中国结． 信息一：编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳； 信息二：某工厂出售编织大、小号中国结的绳子，每米标价4元，该工厂给出两种购买绳子的方案： 线上 线下 优惠方案 不超过时，每米按标价九折销售；超过时，每米按七折销售． 不超过时，每米减0.18元；超过时，不超过部分仍享受每米减0.18元的优惠，超过部分每米按标价六五折销售． (1)若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为 个，求此时大、小号中国结共需用绳多少米（用含x的代数式表示）； (2)若该手工店购进绳子，求编织多少个大号中国结； (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织多少个大号中国结？请你根据编织大号中国结个数的情况，直接写出该手工店最优惠的购买方案． 【答案】(1)；此时大、小号中国结共需用绳米 (2)编织12个大号中国结 (3)当上述两种购买绳子的方案花费一样多时，可以编织72个大号中国结；当编织大号中国结个数小于72个时，选择线上购买方案；当编织大号中国结个数等于72个时，选择线上、线下购买方案均可；当编织大号中国结个数大于72个时，选择线下购买方案 【详解】（1）解：若该手工店出售x个大号中国结，那么赠送小号中国结的个数为； 此时大、小号中国结共需用绳． 答：此时大、小号中国结共需用绳米． （2）解：由题意得． ． 答：编织12个大号中国结； （3）解：设该手工店共购买绳子， 当时， 线上售价为：． 线下售价为：． ． ∴选择线上购买方案； 当，两种购买绳子的方案花费一样多时， ． 即． ． 此时． ． 综上所述： 当编织大号中国结个数小于72个时，选择线上购买方案； 当编织大号中国结个数等于72个时，选择线上、线下购买方案均可； 当编织大号中国结个数大于72个时，选择线下购买方案． 变式1．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为实现“安全舒适”目标，某电动车商城购进了一批安全头盔和挡风被进行销售，安全头盔的售价是45元/个，挡风被的售价是30元/个，并提供了两种优惠方案（规定顾客一次只能选择一种方案）： 方案一：买一个安全头盔送一个挡风被； 方案二：安全头盔和挡风被都按售价的付款． 小张计划一次性从该商城为自家电动车专卖店采购100个安全头盔和个挡风被． (1)分别用含的代数式表示小张按方案一和方案二购买所需的钱数；（结果化为最简） (2)当小张购买多少个挡风被时，按方案一和方案二所需的钱数相同？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)350 【详解】（1）解：根据题意可得： 方案一：购买所需的钱数为元； 方案二：购买所需的钱数为元； （2）解：由（1）可得： ， 解得， 答：当小张购买350个挡风被时，按方案一和方案二所需的钱数相同． 变式2．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）赤峰市出租车的收费标准是：起步价（3千米以内，包括3千米）6元，路程超过3千米的部分，每千米收费元． (1)若小明想乘坐出租车去距离家2千米的学校，他应付车费 元；若假期他想乘坐出租车去距离赤峰市区90千米的美林谷滑雪，应付车费 元； (2)若他支付的车费是39元，请你算出他乘坐出租车的路程． 【答案】(1)6； (2)25千米 【详解】（1）解：根据题意得，起步价（3千米以内，包括3千米）6元， 若小明乘坐了2千米，他应付车费为起步价6元， 若小明乘坐了90千米，应付车费为：元， 故答案为：6；； （2）解：设他乘坐出租车的路程为x千米 由于他支付的费用是39元，且， 则， 根据题意列方程为： 解得， 因此，若他支付的费用是39元，他乘坐出租车的路程为25千米． 变式3．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）某超市先后以每千克元和每千克元的价格两次共购进苹果千克，且第二次付款是第一次付款的倍． (1)求第一次购进苹果多少千克？ (2)该超市以每千克元的标价销售这批苹果，售出千克后，受市场影响，把剩下的苹果打8折全部售出．求该超市销售这批苹果共获得的利润是多少？（总利润销售总额总成本） 【答案】(1)千克 (2)元 【详解】（1）解：设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进千克， 解得：， ∴第一次购进350千克； （2）解：，即第二次购进450千克 元． ∴该超市销售这批苹果共获得的利润是元． 变式4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）年第九届亚洲冬季运动会于年月日至日在哈尔滨举行，印有吉祥物“滨滨”和“妮妮”的卫衣在市场畅销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”卫衣各件，其中印有“滨滨”卫衣每件的进价比印有“妮妮”卫衣的进价少元，购进两种卫衣共花费元． 利用方程解决下列问题： (1)求商场购进两种样式卫衣的进价分别是多少元？ (2)在销售过程中，印有“滨滨”卫衣每件售价是元，很快全部售出；印有“妮妮”图案的卫衣每件按进价加价销售，销售件后，恰逢元旦假期，商场搞促销活动，决定打折出售剩余的印有“妮妮”图案的卫衣，两种样式的卫衣全部售出后共获利元，求的值． 【答案】(1)印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元 (2) 【详解】（1）解：设印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元， 根据题意得， 解得， ， 答：印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元； （2） 整理得， 解得， ． 考点三 一次方程与数轴动点问题 例1．（25-26七年级上·北京·月考）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“平稳点”． (1)如图1，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，，，三点_____（填“是”或“不是”）“平稳点”； (2)在（1）的条件下，点表示的数是，且，，三点是“平稳点”，求的值； (3)如图2，点在点的左侧，点表示的数是，点表示的数是（其中、是正整数）．若，，三点是“平稳点”．其中线段，线段，且满足，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)不是 (2)或或 (3)或或 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 三条线段互不相等， ，，三点不是“平稳点”； 故答案为：不是； （2）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， ，，三点是“平稳点”， 当时， 可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 整理可得：或(不成立)， 当时， 解得：； 综上所述，当或或时，，，三点是“平稳点”； （3）解：点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段， ， 线段， 点表示的数是或， ①当点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是时， 可得：， 若，则， 可得：， 整理得：， 是正整数，，， ， 可得：， ， ， ， 解得：； 若，则，不成立； 若，则，不成立； ②当点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是时， 可得：， 若，则， 可得：或(不成立)， 则有， 整理得：， 是正整数，，， 当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 若，则，不成立； 若，则，不成立； 综上所述，的值为或或． 例2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，所表示的数为，且满足，点所表示的数为． (1)的值为_____，的值为_____； (2)动点从点出发，往数轴右边以每秒个单位的速度运动，动点从点出发往数轴右边以每秒个单位的速度运动． ①点运动到点需要_____秒，点运动到点需要_____． ②在运动过程中点所表示的数为，且的值为，_____． ③设点、运动时间为秒，当，距原点的距离相等时，求_____． 【答案】(1)， (2)①，；②或；③和 【详解】（1）解：，且，， ，， 解得，． 答：，． （2）解：①点从到的距离：，则所需时间为秒， 点从到的距离：，则所需时间为秒． 答：，． ②，而， 点不可能在之间， 分情况讨论： 当时：，解得； 当时：，解得． 答：或． ③运动秒后，点的位置为，点的位置为， ，距原点的距离相等，则， 当，即，解得， 当，即，解得． 综上，或． 答：和． 例3．（25-26七年级上·广东惠州·期中）【自主探究】 （1）数轴上表示数与的两点之间的距离是___________，数轴上表示数与的两点之间的距离是____________； （2）设数轴上两点分别表示数，则两点之间的距离用表示为_______________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与___________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与______________的两点之间的距离； （4）若动点分别从和同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______________，点表示的数为___________； ②当为何值时，两点之间的距离为？ 【答案】（1），；（2）；（3），；（4）①，，②或 【详解】解：（1）数轴上表示数与的两点之间的距离是，数轴上表示数与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）用，表示，两点之间的距离是， 故答案为：； （3）的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离； 故答案为：，； （4）①依题意，秒时，点表示的数为；点表示的数为， 故答案为：；； ②，两点之间的距离为， 依题意，， 解得：或． 例4．（25-26七年级上·陕西延安·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来．如图，，两点在数轴上对应的数分别用，12表示．甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度／秒，乙的速度为3个单位长度／秒，设运动的时间为秒． (1)求，两点的距离； (2)若甲、乙都向左运动，当为何值时，甲在乙的右侧，且甲、乙之间的距离是5个单位长度？ 【答案】(1) (2)当时，甲在乙的右侧，且甲、乙之间的距离是5个单位长度 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别用，12表示， ∴，两点的距离为； （2）解：由题意可得：甲表示的数为，乙表示的数为， 由题意可得：， 解得：， ∴当时，甲在乙的右侧，且甲、乙之间的距离是5个单位长度． 变式1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k倍映射点”．已知在数轴上，O为原点，点A，点B表示的数分别为，． (1)若点B是点A关于原点O的“k倍映射点”，则________；若点C是点A关于点B的“倍映射点”，则________； (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点D．当线段运动几秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点”？ (3)若点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“5倍映射点”，记为，作点B关于点Q的“5倍映射点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当线段运动秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点” (3)当点Q运动时，存在最小值，为 【详解】（1）解：∵点B是点A关于原点O的“k倍映射点”， ∴， 解得：； ∵点C是点A关于点B的“倍映射点”， ∴, 解得：； （2）解：设线段运动秒，，，其中点对应的数是， ∵点D是点A关于点O的“倍映射点”， ∴， ∴， 解得：， 故当线段运动秒时，点D是点A关于点O的“倍映射点”； （3）解：∵作点A关于点Q的“5倍映射点”，记为，作点B关于点Q的“5倍映射点”，记为． ∴，， ∴ ， ∵点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合）， ∴当点位于、两点之间时，的值最小为， 故当点Q运动时，存在最小值，为． 变式2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）问题背景：在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常可使一些复杂问题变得容易解决． 【问题解决】阅读以下材料，并解决问题． 如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到点处时，点对应的数为20；再向左移动，当点移动到点处时运动停止，点对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表．） （1）求出木棒的长度的值； （2）求出图中点和点表示的数各是多少； （3）若木棒以每秒的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟． 【拓展应用】借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ （4）请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）小明现在岁，爷爷现在岁 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：， 即木棒的长度的值为； （2）由题意可得：点表示的数为， 点表示的数为； （3）∵木棒以每秒的速度运动， ∴从运动开始到结束共需要秒钟； （4）点表示小明现在的年龄，点表示爷爷现在的年龄，如图所示： ， 由题意可得：， ∴（岁），（岁）， 故小明现在岁，爷爷现在岁． 变式3．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，分别向右以3个单位长度、5个单位长度匀速运动，同时动点R从点C出发，向左以2个单位长度匀速运动．是否存在某一时刻，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，30，10， (2)经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4 (3)秒或秒 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解方程得，， ∴， ∴数轴上点A、B、C表示的数分别为，30，10； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设运动时间为m秒， 由题意得，运动m秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 当点R为P、Q的中点时，则， 解得； 当点P为R、Q的中点时，则， 解得； 当点Q为P、R的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，所有满足条件的时间为秒或秒． 变式4．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右侧，且线段的长为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，设运动时间为秒． (1)求点表示的数； (2)求当为何值时，． 【答案】(1)点表示的数为； (2)当为或时，． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点在点的右侧，且线段的长为， ∴点表示的数为； （2）解：由题意可知：点表示的数为，点表示的数为， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动， ∴点表示的数，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当为或时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $