几何图形初步：线段上的动点问题综合计算、角度综合计算问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

几何图形初步：线段上的动点问题综合计算、角度综合计算问题专项训练 几何图形初步：线段上的动点问题综合计算、角度综合计算问题专项训练 考点目录 线段上的动点问题综合计算 角度综合计算问题 考点一 线段上的动点问题综合计算 例1．（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 【答案】(1)4，6； (2)当时，；当时， (3)5． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点运动到点处，时，点从点处返回点， ∴ 当时，， 当时，（厘米）， 故答案为： 4，6． （2）解：由题意可知时，点C从点A运动到点B，，点C从点B处返回点A， ∴时，， 当点C从B运动到点A时，即时，； （3）解：当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， ∵D是线段的中点，E是线段的中点， ∴，， ∴． 例2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；②； (2)或或或； 【详解】（1）解：（1）①，， ∵，P、Q速度分别为、， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②， ∵， ∴， ∴； （2）∵． 设，则， ∴， ①当D在A点左侧时， ， ∴， ∴； ②当D在之间时， ， ∴， ∴（不成立）， ③当D在之间，且在中点的右侧时， ， ∴， ∴， ∴， ④当D在之间，且在中点的左侧时， ， ∴， ∴， ∴； ⑤当在的右侧时， ， ∴， ∴． 综上所述，的值为或或或； 故答案为：或或或； 例3．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想．点是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点．点分别表示数．请回答下列问题： 【初步探究】 （1）若，，则_____，的值为_____； （2）如图①，利用数轴思考探究，请用含，的式子表示； 【拓展应用】 （3）如图②，若，，动点，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向运动．点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．若点是的中点，点是的中点，求运动多长时间时，点之间的距离为3个单位长度？ 【答案】（1）3，5．（2）；（3）运动12秒或24秒时，点之间的距离为3个单位长度 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以， 所以． 故答案为：3,5； （2）由题意得． 因为点是线段的中点． 所以． 所以； （3）设运动时间为t秒，则点表示的数为，点表示的数为． 因为点是的中点，点是的中点， 所以点表示的数为，点表示的数为． 当点之间的距离为3个单位长度时，分为以下两种情况： 若点在点左侧，则， 解得； 若点在点右侧，则， 解得． 综上所述，运动12秒或24秒时，点之间的距离为3个单位长度． 例4．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为30，0，，动点P从B出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从A出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动． (1)【发现问题】若点P与Q同时出发，则点P运动______秒追上点Q； (2)【解决问题】若点P与Q同时出发，求点P运动多少时间，点P与Q的距离为10个单位长度? (3)【创新应用】点P在运动过程中，M为的中点，若，则此时点M所代表的数为______． 【答案】(1)8 (2)或 (3)25或40 【详解】（1）解：设运动时间为t（s），则点P表示的数为，点Q表示的数为， 令， 解得， 故答案为：8； （2）解：分两种情况： 第一种：点P在点Q的左侧，由（1）可知，， ∴， 解得； 第二种：点P在点Q的右侧，由（1）可知，， ∴， 解得； 故点P运动或时，点P与Q的距离为10个单位长度； （3）解：分两种情况： 第一种：点P在点A的左侧，则，， 由题意，得， 解得； 第二种：点P在点A的右侧，则，， 由题意，得， 解得； 经检验，均满足题意， 当时，点P对应的数为，故此时点M所代表的数为； 当时，点P对应的数为，故此时点M所代表的数为； 故答案为：25或40． 变式1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，，，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点” 【概念理解】 （1）一条线段的中点______这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； 【深入研究】 （2）如图2，点表示数，点表示数．若点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动，当点到达点时停止运动．设运动的时间为秒． ①点在运动的过程中表示的数为______（用含的代数式表示）； ②当点是线段的“二倍点”时，求值； ③当点从点的位置开始运动时，同时点从点的位置开始．以每秒2个单位长度的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）①；②或5或；③或或 【详解】解：（1）∵中点分得的两个小线段相等等于整条线段的一半， ∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）①∵点表示数，点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动， ∴点在运动的过程中表示的数为：； ②∵点是线段的“二倍点” ∴或或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述值可能是或5或； ③由题意可得，代表的数字是， ∴，，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述点是线段的“二倍点”时的值为：或或． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）数轴上、两点表示的数分别是，，且满足，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒．    (1)________，________； (2)如图1，当点在线段上时，若点为的中点，点为的中点，易知________； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若点为的中点，点为的中点，求线段的长； (4)若数轴上存在点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ①若，则点的“亲密点”在数轴上对应的数为________； ②若点是点的“亲密点”，且，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①1或；②或或或 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵数轴上、两点表示的数分别是，， ∴数轴上、两点表示的数分别是，， ∴， ∵当点在线段上时，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得数轴上、两点表示的数分别是，，， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒，且点在线段的延长线上， ∴，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ， 则； （4）解：①由（2）得数轴上、两点表示的数分别是，，， ∵，点到点的距离为， ∴数轴上点P表示的数为， 点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ∴， ∴， 即或， ∴点的“亲密点”在数轴上对应的数为1或； ②由（3）得， 则数轴上点P表示的数为， ∵记点到点的距离为， 即， ∵ ∴ ∵点到点的距离为， ∴或 ∴点的“亲密点”在数轴上对应的数为或， ∴或 ∴ ∵， ∴， 则或， 当时，得 解得； 当时，得 解得； 当时，得 解得； 当时，得 解得； 综上：的值为或或或． 变式3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且，若有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒． (1)写出数轴上点，所表示的数（用含的代数式表示）． (2)若点，分别从，两点同时出发，则点运动多少秒时，与点相距个单位长度？ (3)若为的中点，为的中点，当点在线段上运动的过程中，探索线段与线段的数量关系是_________．（请直接写出答案） 【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是 (2)点运动秒或秒时，与点相距个单位长度 (3)或 【详解】（1）解：点表示的数为，点在点的左边，且， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动， 点表示的数是． （2）解：由（1）可知，， 令，则有或， 或， 点运动秒或秒时，与点相距个单位长度． （3）解：或，理由如下： 当点在右侧时，如图， 为的中点，为的中点， ，， ， ，即 ． 当点在左侧时，如图， 为的中点，为的中点， ，， ， ，即 ． 综上，线段与线段的数量关系是 或 ． 故答案为： 或 ． 变式4．（25-26七年级上·广东广州·月考）综合与探究 如图，在数轴上有相距15个单位长度的两点，点A表示的数是，点C为线段上的一个动点．规定：当线段中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点C为线段的“奇分点”．    (1)当点C与数轴原点重合时，此时点C________（填“是”或“不是”）线段的“奇分点”． (2)动点C从点B出发，以每秒1.5个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒． ①在这个过程中，点C表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若动点D同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点C是线段的“奇分点”时，求运动时间． 【答案】(1)是 (2)① ②或或或 【详解】（1）解：当点与数轴原点重合时，，， ， 此时点是线段的“奇分点”． 故答案为：是； （2）解：①∵，点表示的数是， ∴点表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动， ∴在这个过程中，点表示的数是， 故答案为： ②∵点是线段的“奇分点”， ∴点在线段上， ∴，． 分情况讨论：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． ∵（秒）， ∴． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． 考点二 角度综合计算问题 例1．（25-26七年级上·上海静安·月考）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)若，为的3分位线，且，则 ． (2)如图2，点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的4分位线，． ①已知，，则 ；②若，当α变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不发生变化，过程见解析 (3)或 【详解】（1）解：由题可得：，且， ∴，； （2）解：由题意可得：， ①当时， 则，， ∵， ∴，， ∴． ②不会发生变化． 当时，，，， ， （3）解：设，则， ∵射线、分别是与的5分位线， ∴，， ∵， ∵、的位置不确定，所以分4种情况讨论： 当时，或， 当时， 设， 则，，， 又∵， ∴， ∴方程无解，不符合实际情况，舍去； 当时， 设， 则，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，或， 当时， 设， 则，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时， 设，则，，， 又∵， ∴， ∴方程无解，不符合实际情况，舍去； 综上所述：或． 例2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）已知为钝角，以为边画平分平分． (1)如图，当在内部时，若，求的度数； (2)当在外部时，请在备用图中补全图形，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若，且与互为补角，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)或 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ，， ； （2）解：或，理由如下： 当在外部时，分两种情况： 当在内部时，如图， ，平分平分， ，， ； 当在外部时，如图， ，平分平分， ，， ； 综上可知，或； （3）解：或．分情况讨论： 当在内部时，如图： 平分平分， ，， ； ，， ， 与互为补角， ， ， ，与为钝角矛盾， 这种情况不存在； 当在外部，在内部时，由（2）知， ，如图： ， ， ， 与互为补角， ， ， 解得； 当在外部，在外部时，由（2）知， ，如图： ， ， ， 与互为补角， ， ， 解得． 例3．（25-26七年级上·山西太原·月考）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______； (2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵射线为的5分位线， ∴，即，或，即； ∵射线为的5分位线， ∴，即，或，即， 当，时，则， ∵， ∴此时不满足题意； 当，时， 则， ∴， ∴； 当，时， 则， ∴； 当，时， 则， ∴此时不满足题意； 综上所述，或． 故答案为：或． 例4．（25-26七年级上·四川成都·月考）已知与共顶点，点在一条直线上，，为的平分线，为的平分线． (1)如图1，当、重合时，求的度数． (2)如图2，当时，若，求的度数． (3)如图3，当时，与之间有怎样的数量关系，并加以说明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【详解】（1）解：当重合时， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴； （3）解：．理由如下， 设，则， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴． 变式1．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）【问题背景】 已知，以为顶点，为一边顺次往外画两个锐角，和，并且，射线平分，射线平分．设． (1)如图1，若，求的值； 【问题推广】 (2)如图2，若是内的一条射线，且，试说明是否平分； 【拓展提升】 (3)随着的变化，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析； (3)不变，值为 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∴． （2）解：射线平分．理由如下： ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴射线平分． （3）解：的大小不发生变化，且的值为．理由如下： 如图1，由（2）可知，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴的大小不发生变化，的值为． 变式2．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，求的度数． (2)将三角板绕点O逆时针旋转至图3时，，求的度数． (3)如图2，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是多少秒？ 【答案】(1)； (2)； (3)旋转的时间是秒或秒． 【详解】（1）解：∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方， ∴， ∴； （2）解：由题意得，； （3）解：∵直线平分，， ∴， 当直线的反向延长线平分时，， ∵三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周， ∴直线平分时，旋转的时间是（秒）或（秒）， 答：旋转的时间是秒或秒． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图1，点O为线段上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在线段的下方． (1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使落在射线上（如图2），则线段由图1位置转动到图2位置，转动的角度为_____度； (2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使在的内部（如图3）．试求与度数的差? (3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：设直角三角板绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在直线恰好平分时，直接写出三角板绕点O旋转时间t的值． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【详解】（1）解：由图可知，转动的角为， 由题意可知，， 故答案为：； （2）解：由题意，可知，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 第一种：记初始位置为射线，当的延长线平分时，示意图如下， ∴， ∴， ∴， ， 故此时旋转时间； 第二种：记初始位置为射线，当平分时，示意图如下， 由第一种可知， ∴， 故旋转的角度为， ， 故此时旋转时间， 综上，三角板绕点O的旋转时间或． 变式4．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，将一个直角三角尺的直角顶点落在直线上，平分 (1)如图①，当点A，B在的同侧时，若，求的度数； (2)如图②，当点A，B在的异侧时，若，求的度数； (3)请直接写出图①、图②中与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当点A，B在的同侧时，；当点A，B在的异侧时， 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点A，B在的同侧时， ∵，平分， ∴， 又， ∴； 当点A，B在的异侧时， ∵，平分， ∴， 又， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何图形初步：线段上的动点问题综合计算、角度综合计算问题专项训练 几何图形初步：线段上的动点问题综合计算、角度综合计算问题专项训练 考点目录 线段上的动点问题综合计算 角度综合计算问题 考点一 线段上的动点问题综合计算 例1．（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图，线段，点C是线段上的一个动点，点C从点A出发，以每秒2个单位的速度从点A运动到点B，再从点B运动到点A，然后停止，设点C运动的时间为． (1)当时， ；时， ； (2)用含t的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设点D是线段的中点，E是线段的中点，点C从点A向点B运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由． 例2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 ． 例3．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想．点是数轴上不重合的两个点，且点在点的左边，点是线段的中点．点分别表示数．请回答下列问题： 【初步探究】 （1）若，，则_____，的值为_____； （2）如图①，利用数轴思考探究，请用含，的式子表示； 【拓展应用】 （3）如图②，若，，动点，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向运动．点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．若点是的中点，点是的中点，求运动多长时间时，点之间的距离为3个单位长度？ 例4．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为30，0，，动点P从B出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从A出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动． (1)【发现问题】若点P与Q同时出发，则点P运动______秒追上点Q； (2)【解决问题】若点P与Q同时出发，求点P运动多少时间，点P与Q的距离为10个单位长度? (3)【创新应用】点P在运动过程中，M为的中点，若，则此时点M所代表的数为______． 变式1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，，，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点” 【概念理解】 （1）一条线段的中点______这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； 【深入研究】 （2）如图2，点表示数，点表示数．若点从点的位置开始．以每秒3个单位长度的速度向点运动，当点到达点时停止运动．设运动的时间为秒． ①点在运动的过程中表示的数为______（用含的代数式表示）； ②当点是线段的“二倍点”时，求值； ③当点从点的位置开始运动时，同时点从点的位置开始．以每秒2个单位长度的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）数轴上、两点表示的数分别是，，且满足，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动秒．    (1)________，________； (2)如图1，当点在线段上时，若点为的中点，点为的中点，易知________； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若点为的中点，点为的中点，求线段的长； (4)若数轴上存在点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“亲密点”． ①若，则点的“亲密点”在数轴上对应的数为________； ②若点是点的“亲密点”，且，请直接写出的值． 变式3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且，若有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动的时间为秒． (1)写出数轴上点，所表示的数（用含的代数式表示）． (2)若点，分别从，两点同时出发，则点运动多少秒时，与点相距个单位长度？ (3)若为的中点，为的中点，当点在线段上运动的过程中，探索线段与线段的数量关系是_________．（请直接写出答案） 变式4．（25-26七年级上·广东广州·月考）综合与探究 如图，在数轴上有相距15个单位长度的两点，点A表示的数是，点C为线段上的一个动点．规定：当线段中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点C为线段的“奇分点”．    (1)当点C与数轴原点重合时，此时点C________（填“是”或“不是”）线段的“奇分点”． (2)动点C从点B出发，以每秒1.5个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒． ①在这个过程中，点C表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若动点D同时从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点C是线段的“奇分点”时，求运动时间． 考点二 角度综合计算问题 例1．（25-26七年级上·上海静安·月考）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)若，为的3分位线，且，则 ． (2)如图2，点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的4分位线，． ①已知，，则 ；②若，当α变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点A、O、B在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，请直接写出的度数． 例2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）已知为钝角，以为边画平分平分． (1)如图，当在内部时，若，求的度数； (2)当在外部时，请在备用图中补全图形，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若，且与互为补角，请直接写出的度数． 例3．（25-26七年级上·山西太原·月考）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． (1)如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则______； (2)如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则________． 例4．（25-26七年级上·四川成都·月考）已知与共顶点，点在一条直线上，，为的平分线，为的平分线． (1)如图1，当、重合时，求的度数． (2)如图2，当时，若，求的度数． (3)如图3，当时，与之间有怎样的数量关系，并加以说明． 变式1．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）【问题背景】 已知，以为顶点，为一边顺次往外画两个锐角，和，并且，射线平分，射线平分．设． (1)如图1，若，求的值； 【问题推广】 (2)如图2，若是内的一条射线，且，试说明是否平分； 【拓展提升】 (3)随着的变化，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 变式2．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，求的度数． (2)将三角板绕点O逆时针旋转至图3时，，求的度数． (3)如图2，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是多少秒？ 变式3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图1，点O为线段上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在线段的下方． (1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使落在射线上（如图2），则线段由图1位置转动到图2位置，转动的角度为_____度； (2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使在的内部（如图3）．试求与度数的差? (3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：设直角三角板绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在直线恰好平分时，直接写出三角板绕点O旋转时间t的值． 变式4．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，将一个直角三角尺的直角顶点落在直线上，平分 (1)如图①，当点A，B在的同侧时，若，求的度数； (2)如图②，当点A，B在的异侧时，若，求的度数； (3)请直接写出图①、图②中与之间的数量关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $