第1章 相交线与平行线能力提升自测卷-2025-2026学年浙教版七年级数学下册

第1章 相交线与平行线能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列推理正确的是（   ） A．因为，所以和是对顶角 B．因为 ，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 3．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上．下列能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图是三位同学说明“三角形内角和为”的三种方案，在说明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（   ） 方案① 方案② 方案③ 过点作， 则，， 所以． 过点作， 则． 因为， 所以． 过点作，则． 因为，所以 A．方案①和方案② B．方案②和方案③ C．方案①和方案③ D．方案①、方案②和方案③ 7．如图，已知直线，把一直角三角形按如图所示方式摆放，其直角顶点在直线a上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，将三角形沿水平方向向左平移到三角形的位置．已知，，则的长是 ． 14．将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，．若，则 ． 15．如图，，则，，的大小关系是 ． 16．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 18．（8分）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，平分，，，那么平分吗？ 理由如下： 解：∵平分（已知） _______（______ _） （已知） ________（两直线平行，内错角相等） （等量代换） ∵________（已知） （两直线平行，内错角相等） ______ _（_______ ） ∴_______ （等量代换） ∴平分． 19．（8分）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 20．（8分）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 21．（10分）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 22．（10分）已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： (1)填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； (2)猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． 23．（10分）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 24．（10分）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 相交线与平行线能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 2．下列推理正确的是（   ） A．因为，所以和是对顶角 B．因为 ，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，对顶角，平行线的性质和垂直的性质，利用以上知识点对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵ 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，∴ 推理错误． B、∵ 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行，∴ 推理正确． C、∵ 如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行的前期条件是同一平面，而选项没有这个前提条件，∴ 推理错误． D、∵ 由，当时，不一定相等，∴ 推理错误． 故选：B． 3．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，又因为平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 故选：C． 4．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上．下列能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，对每个选项逐一进行分析． 【详解】解：A、与是内错角，若，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，符合题意； B、与，是同位角，但不能判定，不符合题意； C、与，既不是同位角，也不是内错角，所以不能判定，不符合题意； D、，与不是同旁内角，所以不能判定，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理，准确判断角之间的关系是否符合判定定理的要求． 6．如图是三位同学说明“三角形内角和为”的三种方案，在说明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（   ） 方案① 方案② 方案③ 过点作， 则，， 所以． 过点作， 则． 因为， 所以． 过点作，则． 因为，所以 A．方案①和方案② B．方案②和方案③ C．方案①和方案③ D．方案①、方案②和方案③ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）是解题的关键． 分别分析三个方案中用到的理论依据，判断是否有“两直线平行，同位角相等”，从而得出答案． 【详解】解：方案①：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ ． 方案②：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）， ∵ ， ∴ ． 方案③：∵ 过点作， ∴ （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ ． 综上，方案①和方案③没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据， 故选：． 7．如图，已知直线，把一直角三角形按如图所示方式摆放，其直角顶点在直线a上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质的应用；根据两直线平行，同位角相等得到，再结合，计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 8．如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 9．“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 故选：B． 10．如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确进行推理证明．根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 平分， ， ，所以结论①正确； ， ， ，所以结论②正确； ， ， ， ， 平分， ， ，所以结论③不正确； ， ， ，所以结论④正确； 故选：B． 11．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，过点作，则，先求出，同理可得：，得到规律，再代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ， ， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，将三角形沿水平方向向左平移到三角形的位置．已知，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， ． 故答案为：6． 14．将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，．若，则 ． 【答案】/15度 【分析】先根据三角板的特点可得，．根据平行线的性质可得，再根据即可求出的度数． 本题考查平行线的性质和三角板中的角度计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 15．如图，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作平行线是解题的关键； 分别过点C、D作，则，则，；由，由此即可求得三个角间的关系． 【详解】解：如图，分别过点C、D作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 16．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查图形的平移和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键．根据的平移过程，分为点E在上和点E在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：分类讨论：（1）如图，当点E在上时，过点C作， ∵由平移得到， ∴． ∵， ∴． ①当时， ∴设，则， ∴，． ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴设，则， ∴，． ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）当点E在外时，过点C作， ∵由平移得到， ∴． ∵， ∴.　 ①当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，余角，对顶角，以及角的和差计算等知识点． （1）根据垂直的意义得到，而，再由余角的定义即可求解； （2）由垂直的意义得到，根据角的和差结合对顶角得到，再由角平分线的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 18．（8分）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，平分，，，那么平分吗？ 理由如下： 解：∵平分（已知） _______（_______） （已知） ________（两直线平行，内错角相等） （等量代换） ∵________（已知） （两直线平行，内错角相等） _______（_______） ∴________（等量代换） ∴平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质进行证明即可． 【详解】解：∵平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） ∵（已知） （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∴（等量代换） ∴平分． 19．（8分）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 20．（8分）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 21．（10分）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由对顶角相等和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明，得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ∴， ∵平分， ， ， ． 22．（10分）已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： (1)填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； (2)猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用垂直的定义得以得到，然后利用角平分线的定义得到，然后利用平角的定义计算即可得到，再分别计算即可得到结果； （2）利用垂直的定义得以得到，然后利用角平分线的定义得到，然后利用平角的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（10分）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解即可． 【详解】解：存在． ①当时，如图1， ， ； ②当时，如图2， ， ， ； ③当时，如图3，过点作， ，， ， ，， ， ； ④当时，如图4， ， ， ； ⑤当时，如图5， ， ， ； 综上分析可知，的度数可能是或或或或． 24．（10分）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 1 学科网（北京）股份有限公司 $