精品解析：浙江省杭州市笕成中学2025--2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

杭州市笕成中学12月教学质量监测 九年级数学试题卷 一、选择题．（每小题3分，共10小题） 1. 若，则等于（　　） A. B. C. D. 2. 比例尺为的地图上，A，B两点间的图上距离为2厘米，则两地间的实际距离是（ ）千米 A. 0.2 B. 2 C. 20 D. 200 3. 下列说法不正确的是（ ） A. “在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B. “13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C. “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D. “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ） A. 若，抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴一定有两个交点 D. 图象与轴的交点坐标为 6. 给出下列说法：①如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；④平面上不共线的三点能确定一个圆，其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ④ 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　） A. y1+y2＞0 B. y1﹣y2＞0 C. a（y1﹣y2）＞0 D. a（y1+y2）＞0 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，且与关于直线对称，点G在边上，分别与，交于P，Q两点．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共6小题） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 12. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 13. 大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm． 14. 将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为_______． 15. 如图，点是的重心，过点作，交于点，连接，若的面积为1，则的面积为________． 16. 如图，点C在以为直径的半圆O上，，点F是的中点，平分交于点D，则______度；当时，则的长为______． 三、解答题．（8小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）若此抛物线与轴交于，两点，求的长． 18. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让计算机进行模拟摸球试验，每次摸出一个球后然后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸出黑球的次数 34 47 68 168 267 332 摸出黑球的频率 （1）根据上表数据，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　　（结果精确到 （2）估算袋中白球的个数为 　　个． （3）在（2）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 19. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 20. 请用函数知识解决问题：某超市销售一种饮料，每瓶进价为5元，售价在6元到10元之间（含6元，10元）．经市场调查表明，当售价在该范围内浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少50瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为200瓶．问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 21. 如图，是的直径，弦于点，连接， （1）求证：． （2）作于点，若的半径为，，求的长． 22. 如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． （1）将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出；（点与点是对应点） （2）设小正方形的边长为，在（1）的条件下，求点转过的路径的长度和扇形的面积；（结果保留） （3）在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 如图，内接于，是的直径，过点A的切线交的延长线于点D，E是上一点，点C，E分别位于直径异侧，连接，，，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）过点C作，垂足为点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市笕成中学12月教学质量监测 九年级数学试题卷 一、选择题．（每小题3分，共10小题） 1. 若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记“两内项之积等于两外项之积”，并用b表示出a是解题的关键． 2. 比例尺为的地图上，A，B两点间的图上距离为2厘米，则两地间的实际距离是（ ）千米 A. 0.2 B. 2 C. 20 D. 200 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例尺的定义计算即可； 【详解】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺=可得： ， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了比例尺的应用，准确计算是解题的关键． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. “在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B. “13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C. “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D. “某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义进行判断． 【详解】解：A、“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于必然事件，故本选项符合题意； B、“名同学至少有两名同学的出生月份是相同的”属于必然事件，故本选项不符合题意； C、“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件，故本选项不符合题意； D、“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 5. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ） A. 若，抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴一定有两个交点 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质．利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断． 【详解】解：对于， A、当，即时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意； B、当，即，则时，随的增大而增大，所以B选项不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，此时抛物线与轴没有公共点，，所以C选项不符合题意； D、当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，所以D选项符合题意． 故选：D． 6. 给出下列说法：①如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；④平面上不共线的三点能确定一个圆，其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，确定圆的条件，根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据垂径定理的推论对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断即可． 【详解】解：①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等，故不符合题意； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意； ③平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的两条弧，故不符合题意； ④平面上不共线的三点能确定一个圆，正确，符合题意； 故正确的结论是④， 故选：D 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 9. 已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　） A. y1+y2＞0 B. y1﹣y2＞0 C. a（y1﹣y2）＞0 D. a（y1+y2）＞0 【答案】C 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＞y2， 无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0， ②a＜0时，二次函数图象开口向下， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2， 无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0， 综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，关键要掌握根据二次项系数a的正负分情况讨论． 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在，边上，且与关于直线对称，点G在边上，分别与，交于P，Q两点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设，由折叠性质得，再推出，则四边形是菱形，得，根据平行线分线段成比例有；设，易得证明，得，则可求得结果． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，涉及的知识点较多，有一定的综合性，连接，证明四边形是菱形是解题的关键． 二、填空题．（每小题3分，共6小题） 11. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 12. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为______． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：240． 13. 大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点是的黄金分割点，且， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 14. 将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键；根据“左加右减，上加下减”的平移规律表示出平移后的解析式，把代入得出值即可． 【详解】解：∵将二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵得到的二次函数图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为： 15. 如图，点是的重心，过点作，交于点，连接，若的面积为1，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质．连接并延长交于点E，根据三角形重心可得，，从而可得，再利用平行线分线段成比例可得，进而可得，然后证明可得，从而可得，最后可求出的面积． 【详解】解：连接并延长交于点E，如下图： ∵点P是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点C在以为直径的半圆O上，，点F是的中点，平分交于点D，则______度；当时，则的长为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由为直径，可得，由F是的中点，可得，由平分，可得，可求，根据，计算求解即可；，连接，，则，，由，可得，，则，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，证明，则，据此计算求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识． 三、解答题．（8小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）若此抛物线与轴交于，两点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程得点、的坐标为，，从而可得的长． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 当时，， 解得，， 点、的坐标为，， ． 18. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让计算机进行模拟摸球试验，每次摸出一个球后然后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸出黑球的次数 34 47 68 168 267 332 摸出黑球的频率 （1）根据上表数据，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　　（结果精确到 （2）估算袋中白球的个数为 　　个． （3）在（2）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1） （2）2 （3） 画树状图为： 共有9种等可能得结果，其中他两次都摸出白球的结果数为4， 所以他两次都摸出白球的概率． 【解析】 【分析】本考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，掌握用树状图法或者列表法求解概率是解答本题的关键． （1）利用频率估计概率可估计从袋中摸出一个球是黑球的概率为； （2）袋中白球的个数为x个，根据概率公式得到，然后解方程即可； （3）画树状图展示所有9种等可能得结果，再找出他两次都摸出白球的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：根据上表数据，摸出黑球的频率在波动， 所以估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是（结果精确到； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设袋中白球的个数为x个， 根据题意得， 解得， 经检验为原方程的解， 所以估计袋中白球的个数为2个； 故答案为：2； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴，又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义证明，再根据相似三角形的判定定理证得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 20. 请用函数知识解决问题：某超市销售一种饮料，每瓶进价为5元，售价在6元到10元之间（含6元，10元）．经市场调查表明，当售价在该范围内浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少50瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为200瓶．问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 【答案】销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设总利润为元，销售价格定为每瓶元，则利润为元，即可得，再利用二次函数的性质即可作答． 【详解】设总利润为元，销售价格定为每瓶元，则利润为元， 由题意，得：， ， ， ， 当时，， 即销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元． 21. 如图，是的直径，弦于点，连接， （1）求证：． （2）作于点，若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，∵是直径， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理及其推论，正弦的定义，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂径定理以及垂径定理的推论即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 22. 如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． （1）将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出；（点与点是对应点） （2）设小正方形的边长为，在（1）的条件下，求点转过的路径的长度和扇形的面积；（结果保留） （3）在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使． 【答案】（1） 解：为所求作的三角形； ； （2）点转过的路径的长度为；扇形的面积为 （3） 解：点P即为所求作的点． ∵，，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，弧长公式和扇形面积． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求得的长，再利用弧长公式和扇形面积公式求解即可； （3）取格点D，连接交于点P，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 点转过的路径的长度； 点转过的扇形的面积； 【小问3详解】 略 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 如图，内接于，是的直径，过点A的切线交的延长线于点D，E是上一点，点C，E分别位于直径异侧，连接，，，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）过点C作，垂足为点F，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2） 证明：连接，， ∴，， ∴， ∵， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）可证，，再证，从而可证 ，即可求证； （2）连接，，可证是的垂直平分线，从而可得，可证，从而可得，可证，即可求证； （3）可证，从而可得，设的半径为，，则有，，从而可得，可求，再证，得，则，求得，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的基本性质，切线的性质，相似三角形的判定及性质，求正切值，线段垂直平分线的判定，等腰三角形判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质，会利用辅助未知数求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $