培优点03：爪形结构与分角定理+张角定理【知识梳理+题型归纳】讲义-2026届高三数学二轮复习

2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点03：爪形结构与分角定理+张角定理】 【知识拓展】 1.三点共线的向量表示 (1)若、共线，则存在唯一实数，使. (2)、为平面的一组基向量，点在直线上的充要条件是存在唯一一组实数、，使且. 2.定比分点的向量公式 在平面上任取一点，设，，若，则. （特别地，当时，即为线段的中点，则有）. 三角形的等分点：在中，是上的点，且（），则（也叫“爪形结构”）. 3.张角定理与分角定理 (1)张角定理 证明如下： 由，得： 两边同除以得： (2)分角定理 在中，是上（异于）或其延长线上的一点，则有： 证明如下： 由，且，，得： 化简得： 由，，得，故. 4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理 (1)梅涅劳斯定理 已知直线交三边所在直线于D、E、F三点，则有： 证明如下： 设，，，，则有，，.① 因为D、E、F三点共线，所以. 又因为，从而.② 当①代入②，可得： 即： 注意到，且两两方向不同，故有： 由可知，将其代入，整理可得，即： (2)塞瓦定理 已知点为内任意一点，AO、BO、CO的延长线分别交边BC、CA、AB于F、E、D，则有： 证明如下： 设，，，. 因为C、O、E三点共线，有，.① 所以.② 将①代入②， 即有， 注意到B、O、F三点共线，A、O、D三点共线， 所以，且. 整理可得，即. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：定比分点的向量表示】 （2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .经典例题例题    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 【规律方法总结】 核心依据教材中定比分点的向量定义，若点分有向线段所成的比为（即，），则向量表示式为，其中为平面内任意一点.该公式是核心，需牢记“分点系数之和为1”的特征. 技巧要点：一是明确的正负含义，当在线段上时，（内分点）；当在线段的延长线或反向延长线上时，（外分点），可结合教材中内分点、外分点的实例理解符号规律.二是灵活运用“基底转化”思想，若题目中无明确原点，可选取合适的基底（如、），将目标向量用基底表示，再代入定比分点向量公式.三是利用“系数和为1”的性质快速验证向量表达式的正确性，这是考试中判断某点是否为定比分点的常用快捷方法.四是当时，即为中点向量公式，此为定比分点向量公式的特殊情形，也是教材重点和考试高频考点，需单独强化记忆与应用. （25-26高二上·贵州遵义·期中）在中，，，，与交于，若，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设，且，由和三点共线，得到和，列出方程组，求得，得到，结合，求得，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，且，则，如图所示， 因为三点共线，则存在实数使得， 又因为三点共线，则存在实数使得 所以，则 ，解得， 所以，且 因为，可得 ，解得， 所以， 因为，所以. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ．小试牛刀2 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 【热点题型2：定比分点求长度】 （2025·河北张家口·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.经典例题例题 (1)求； (2)若的外接圆面积为，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的性质及同角三角函数基本关系将条件化为，然后利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解； （2）由正弦定理可得，由余弦定理及得 ，利用及向量的线性运算得，结合数量积的运算律，利用向量模的运算公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； （2）由的外接圆面积为，得外接圆半径为1，由正弦定理得， 由余弦定理及得，， 化简得，解得（负根舍去），从而， 因为，所以， ，所以 ， 故的长是. 【规律方法总结】 核心方法基于定比分点的比例关系与距离公式，结合教材中两点间距离公式推导而来.设点分的比为，则长度比例关系为，这是求长度的核心关联式. 技巧要点：一是明确长度比与的绝对值对应，与的正负无关，需区分“向量比”与“长度比”的差异，避免符号干扰.二是当已知线段总长或某一段长度时，可通过建立方程求解未知长度，即若（内分点），则，同理可推导外分点的长度关系.三是结合坐标法应用，若已知、坐标，可先由定比分点坐标公式求出点坐标，再用两点间距离公式计算长度，坐标法是考试中最常用的实操方法，需熟练掌握定比分点坐标公式，与距离公式的结合运用.四是注意外分点时长度的叠加关系，避免因线段延长导致长度计算错误. （2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C （2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.小试牛刀3 （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． 【热点题型3：爪形结构之中线】 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．经典例题例题 (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【规律方法总结】 爪形结构中线问题的核心是教材中的“中线向量公式”，若为的中线（即为中点），则中线向量公式为，该公式是破解爪形结构中线问题的基础，本质是定比分点向量公式中的特殊情况. 技巧要点：一是将中线向量公式拓展到多中线场景，若存在多条中线，可通过向量叠加表示三角形的重心向量，重心满足，且，这是考试高频考点.二是利用中线向量公式进行“向量分解与合成”，在爪形结构中，可将非中线向量转化为中线向量与其他基础向量的组合，简化运算.三是结合数量积应用，若需计算中线相关的数量积，可先通过中线向量公式将目标向量用已知边向量表示，再代入数量积公式计算.四是注意中线与三角形面积的关联，中线将三角形分成面积相等的两部分，可辅助解决与面积相关的爪形结构问题. （2026·陕西西安·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有.小试牛刀1 (1)求角A； (2)若D为BC中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换对题目所给等式进行化简，即可得解； （2）运用中线向量定理得，两边平方后，再运用基本不等式以及三角形的面积公式，即可得解. 【详解】（1）， ， 又因为， 故 ， 整理得， ，，， ，. （2）由题意知， 则， ，， （当且仅当时等号成立），， 面积的最大值为. （25-26高三上·四川广安·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若是边的中点，，，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； （2）由是的中点，则， 则 即，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 【热点题型4：爪型结构之角平分线】 （2025·浙江·一模）已知的角的对边是且.经典例题例题 (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. （2）不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 【规律方法总结】 核心依据角平分线定理与向量表示，角平分线定理（教材重点定理）：在中，若为的角平分线，交于，则，结合定比分点向量公式可推导角平分线的向量表示. 技巧要点：一是角平分线的向量表示，若、为单位向量，则（为参数），其中、分别为、的单位向量；非单位向量时，可表示为，该公式精准体现角平分线的比例特征，考试中常直接应用.二是利用角平分线定理确定定比分点的值，即，再代入定比分点相关公式求解向量或长度.三是爪形结构中，角平分线向量可作为“角相等”的向量转化工具，通过向量方向与长度比例，建立已知与未知向量的关联.四是注意角平分线与三角形内切圆的关联，内心为三条角平分线的交点，内心向量公式（简化为，其中，，，为任意点），是考试进阶考点，需结合角平分线性质记忆. （2025·四川遂宁·二模）在中，内角所对的边分别是且.小试牛刀1 (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，求得的面积，再由，结合面积公式，化简求得的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，又， 利用余弦定理，可得， 因为，所以， 所以的面积为， 又因为的角平分线交于点， 所以， 可得， 整理得. （2025·安徽·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理，再由三角恒等变形得，结合角的范围即可求解； （2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值. 【详解】（1）根据题意， 则由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， ，则， 解得； （2）令，，则. 又，则四边形为菱形，为的角平分线. ， ， ，即， 由余弦定理可得：， 即，解得， 所以. 【热点题型5：张角定理与分角定理求角】 （2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得 ， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 【规律方法总结】 张角定理：在平面内，点在直线外，若被平分或分角为、，则，当时，即为角平分线情形下的张角定理，可视为角平分线定理的三角拓展.分角定理：在中，若分为、，交于，则，是角平分线定理的一般形式. 技巧要点：一是张角定理的适用条件为“一点对两线段的张角被分”，解题时需先明确张角的构成与分角大小，再代入公式，公式中各线段为点到顶点的距离，角度为张角及其分角，需注意角度的三角函数值符号（三角形内角度均为锐角或钝角，正弦值均为正）.二是分角定理可与正弦定理结合使用，分角定理中的比例关系可通过正弦定理推导（在与中分别应用正弦定理，再两式相除），考试中常需联动两者求解角的大小或线段比例.三是求角时，可通过张角定理或分角定理建立含所求角的三角函数方程，结合三角函数的基本关系（如）、诱导公式化简求解，注意所求角的范围需结合三角形内角和（）确定.四是避免角度混淆，需精准区分分角与张角的对应关系，公式中的线段与角度需一一对应，不可错位代入. （2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解. 【详解】，则，设，则， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得， 所以，所以， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以或（舍去），又，所以， 所以. 故选：C （2025·全国·模拟预测）已知的周长为，，的平分线交于，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理及余弦定理求解即可. 【详解】由于平分，，所以， 由正弦定理可得，则； 因为的周长为6，， 所以设，， 由余弦定理得，解得， 所以， 故选：C. 【热点题型6：梅涅劳斯定理与塞瓦定理的应用】 如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，．设AN与BM交于点P，用向量表示 　　 ．经典例题例题 【分析】先根据相似三角形求出点P在线段AN上的具体位置，再根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算法则，求解即可． 【解答】解：如图所示，取OM的中点Q，连接QN， 因为M是OA的三等分点，所以， 又N是OB的中点，所以QN∥MB， 所以△APM～△ANQ， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算与基本定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【规律方法总结】 梅涅劳斯定理（适用于共线点问题）：若一条直线与的三边、、（或其延长线）分别交于点、、，则；逆定理同样成立，可用于判断三点共线.塞瓦定理（适用于共点线问题）：在内任取一点，直线、、分别交对边于、、，则；逆定理可用于判断三条直线共点. 技巧要点：一是明确两大定理的核心差异，梅涅劳斯定理针对“截线与三角形三边（或延长线）”的共线点问题，塞瓦定理针对“三角形内一点与三边”的共点线问题，解题时先判断题型类型，再选择对应定理，避免混淆.二是处理线段比例时，需注意线段的方向，若截线与三角形边的延长线相交，对应线段比例为负，实际应用中可先取绝对值计算，再结合图形判断符号，考试中多以三角形内截线或内点为主，比例多为正值.三是两大定理的逆定理是考试高频考点，常用于证明三点共线或三线共点，证明时需先构造符合定理条件的图形（如作辅助截线、找内点），再验证比例乘积为1.四是结合其他定理联动应用，梅涅劳斯定理可与定比分点结合，塞瓦定理可与角平分线定理、中线性质结合，解决复杂的线段比例与共点、共线问题，解题关键是找准比例关系的切入点，将复杂图形拆解为符合定理的基本图形.五是牢记定理的适用范围，梅涅劳斯定理的截线可在三角形外，塞瓦定理的点可在三角形外（此时对应线段比例符号需调整），需结合图形灵活 在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使得OM：OA＝1：5，ON：OB＝1：4，设线段AN与BM交于点P，记，用表示向量．小试牛刀1 【分析】可由平面向量基本定理以及向量共线定理即可求解． 【解答】解：如图，由题可知，， 在△OAN中，设， 在△OBM中，设， 所以可得，解得， 所以． 【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题． 点M、N分别是△OAB的边OA、OB上的点，，，小试牛刀2 （1）若M、N分别是OA、OB的中点，线段AN与BM的交点为P，试用，表示； （2）若||：||＝1：4，||：||＝1：5，线段AN与BM交于点Q，试用，表示． 【分析】（1）利用重心的性质即可得出； （2）利用向量共线定理和共面向量定理即可得出． 【解答】解：（1）由题意知，P为△OAB的重心，则； （2）设， 依题，又B、M、Q三点共线，∴4x+y＝1…① 同理，又A、N、Q三点共线，∴x+5y＝1…② 由①、②解得，， 所以． 【点评】本题考查了三角形的重心的性质、向量共线定理和共面向量定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 2．（2025·广东江门·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为，且角的平分线交边于，且， 所以， 即， 又，所以，所以、， 由余弦定理， 所以，即. 故选：B 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】+由三角函数知识结合正弦定理可得，，据此可得答案. 【详解】由题，且为锐角，则 ，又， 则，. . 由正弦定理，， ， 则，则. 故选：B    4．（2025·全国·模拟预测）在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式，结合三角形内角平分线定理、余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则. 设，因为平分， 所以， 因此有.，其中，由余弦定理可知： ①， ②， 由①，②可知，故. 故选：D 5．（25-26高二上·广东汕头·月考）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理表示出，然后利用平面向量基本定理求得，，从而求得，即，利用余弦定理求出，即可求解． 【详解】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为 ，所以， 所以，解得， 所以，得 ， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以 ． 故选：A 6．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出. 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，，， 由正弦定理得， 所以， 故选：D． 7．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 8．（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先角化边得出，在结合余弦定理求分别求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值. 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若的面积时，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理得，由的面积得，解出的值，由已知可和，再结合向量的数量积运算可求得. 【详解】在中， 由余弦定理得，所以， 由，得，又，解得， 因为，所以， 所以， 所以，所以. 故选：A. 二、解答题 11．（2025·河南·模拟预测）在中，角所对的边分别为. (1)求； (2)点在边上，平分，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值； （2）应用角平分线结合得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，则. （2）因为， 所以， 即， 由余弦定理得， 所以， 解得，或（舍去）， 所以，即的周长为. 12．（2025·江苏宿迁·三模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 【答案】(1) (2)①的周长为,② 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角. （2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得，可得为等边三角形，进而求得周长； ②根据余弦定理求. 【详解】（1）由， 可得，，即， 即，又， 则，即. （2）①因为，所以. 由余弦定理：， 则，即，则， 所以，即为等边三角形， 则的周长为. ②由，所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以. 13．（2025·四川巴中·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)若，点在边上，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合三角恒等变换公式化简计算即可得； （2）借助向量及模长与数量积关系可得与、有关等式，再利用余弦定理表示出、，利用可得与、有关等式，结合计算即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得，， 因为，所以，即， 又因为，所以，故； （2）由知，， 则有， 即，化简得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，则， 则，化简得， 则，即，则（负值舍去）， 所以. 14．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）已知条件结合余弦定理，求出，可得； （2）根据角平分线性质得，结合余弦定理解出的值，由三角形面积的分割关系列出等式，求解的长度. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，因为，所以； （2）因为，所以， 因为BD平分，所以，即， 由（1）知，，解得，， 因为，所以， 整理得 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点03：爪形结构与分角定理+张角定理】 【知识拓展】 1.三点共线的向量表示 (1)若、共线，则存在唯一实数，使. (2)、为平面的一组基向量，点在直线上的充要条件是存在唯一一组实数、，使且. 2.定比分点的向量公式 在平面上任取一点，设，，若，则. （特别地，当时，即为线段的中点，则有）. 三角形的等分点：在中，是上的点，且（），则（也叫“爪形结构”）. 3.张角定理与分角定理 (1)张角定理 证明如下： 由，得： 两边同除以得： (2)分角定理 在中，是上（异于）或其延长线上的一点，则有： 证明如下： 由，且，，得： 化简得： 由，，得，故. 4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理 (1)梅涅劳斯定理 已知直线交三边所在直线于D、E、F三点，则有： 证明如下： 设，，，，则有，，.① 因为D、E、F三点共线，所以. 又因为，从而.② 当①代入②，可得： 即： 注意到，且两两方向不同，故有： 由可知，将其代入，整理可得，即： (2)塞瓦定理 已知点为内任意一点，AO、BO、CO的延长线分别交边BC、CA、AB于F、E、D，则有： 证明如下： 设，，，. 因为C、O、E三点共线，有，.① 所以.② 将①代入②， 即有， 注意到B、O、F三点共线，A、O、D三点共线， 所以，且. 整理可得，即. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：定比分点的向量表示】 （2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .经典例题例题    【规律方法总结】 核心依据教材中定比分点的向量定义，若点分有向线段所成的比为（即，），则向量表示式为，其中为平面内任意一点.该公式是核心，需牢记“分点系数之和为1”的特征. 技巧要点：一是明确的正负含义，当在线段上时，（内分点）；当在线段的延长线或反向延长线上时，（外分点），可结合教材中内分点、外分点的实例理解符号规律.二是灵活运用“基底转化”思想，若题目中无明确原点，可选取合适的基底（如、），将目标向量用基底表示，再代入定比分点向量公式.三是利用“系数和为1”的性质快速验证向量表达式的正确性，这是考试中判断某点是否为定比分点的常用快捷方法.四是当时，即为中点向量公式，此为定比分点向量公式的特殊情形，也是教材重点和考试高频考点，需单独强化记忆与应用. （25-26高二上·贵州遵义·期中）在中，，，，与交于，若，则 .小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ．小试牛刀2 【热点题型2：定比分点求长度】 （2025·河北张家口·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知.经典例题例题 (1)求； (2)若的外接圆面积为，且，，求的长. 【规律方法总结】 核心方法基于定比分点的比例关系与距离公式，结合教材中两点间距离公式推导而来.设点分的比为，则长度比例关系为，这是求长度的核心关联式. 技巧要点：一是明确长度比与的绝对值对应，与的正负无关，需区分“向量比”与“长度比”的差异，避免符号干扰.二是当已知线段总长或某一段长度时，可通过建立方程求解未知长度，即若（内分点），则，同理可推导外分点的长度关系.三是结合坐标法应用，若已知、坐标，可先由定比分点坐标公式求出点坐标，再用两点间距离公式计算长度，坐标法是考试中最常用的实操方法，需熟练掌握定比分点坐标公式，与距离公式的结合运用.四是注意外分点时长度的叠加关系，避免因线段延长导致长度计算错误. （2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A．2 B．4 C． D． （2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.小试牛刀3 （1）证明：； （2）若，求. 【热点题型3：爪形结构之中线】 （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．经典例题例题 (1)若，求； (2)若，求． 【规律方法总结】 爪形结构中线问题的核心是教材中的“中线向量公式”，若为的中线（即为中点），则中线向量公式为，该公式是破解爪形结构中线问题的基础，本质是定比分点向量公式中的特殊情况. 技巧要点：一是将中线向量公式拓展到多中线场景，若存在多条中线，可通过向量叠加表示三角形的重心向量，重心满足，且，这是考试高频考点.二是利用中线向量公式进行“向量分解与合成”，在爪形结构中，可将非中线向量转化为中线向量与其他基础向量的组合，简化运算.三是结合数量积应用，若需计算中线相关的数量积，可先通过中线向量公式将目标向量用已知边向量表示，再代入数量积公式计算.四是注意中线与三角形面积的关联，中线将三角形分成面积相等的两部分，可辅助解决与面积相关的爪形结构问题. （2026·陕西西安·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有.小试牛刀1 (1)求角A； (2)若D为BC中点，且，求面积的最大值. （25-26高三上·四川广安·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若是边的中点，，，求的面积； 【热点题型4：爪型结构之角平分线】 （2025·浙江·一模）已知的角的对边是且.经典例题例题 (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【规律方法总结】 核心依据角平分线定理与向量表示，角平分线定理（教材重点定理）：在中，若为的角平分线，交于，则，结合定比分点向量公式可推导角平分线的向量表示. 技巧要点：一是角平分线的向量表示，若、为单位向量，则（为参数），其中、分别为、的单位向量；非单位向量时，可表示为，该公式精准体现角平分线的比例特征，考试中常直接应用.二是利用角平分线定理确定定比分点的值，即，再代入定比分点相关公式求解向量或长度.三是爪形结构中，角平分线向量可作为“角相等”的向量转化工具，通过向量方向与长度比例，建立已知与未知向量的关联.四是注意角平分线与三角形内切圆的关联，内心为三条角平分线的交点，内心向量公式（简化为，其中，，，为任意点），是考试进阶考点，需结合角平分线性质记忆. （2025·四川遂宁·二模）在中，内角所对的边分别是且.小试牛刀1 (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. （2025·安徽·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 【热点题型5：张角定理与分角定理求角】 （2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 张角定理：在平面内，点在直线外，若被平分或分角为、，则，当时，即为角平分线情形下的张角定理，可视为角平分线定理的三角拓展.分角定理：在中，若分为、，交于，则，是角平分线定理的一般形式. 技巧要点：一是张角定理的适用条件为“一点对两线段的张角被分”，解题时需先明确张角的构成与分角大小，再代入公式，公式中各线段为点到顶点的距离，角度为张角及其分角，需注意角度的三角函数值符号（三角形内角度均为锐角或钝角，正弦值均为正）.二是分角定理可与正弦定理结合使用，分角定理中的比例关系可通过正弦定理推导（在与中分别应用正弦定理，再两式相除），考试中常需联动两者求解角的大小或线段比例.三是求角时，可通过张角定理或分角定理建立含所求角的三角函数方程，结合三角函数的基本关系（如）、诱导公式化简求解，注意所求角的范围需结合三角形内角和（）确定.四是避免角度混淆，需精准区分分角与张角的对应关系，公式中的线段与角度需一一对应，不可错位代入. （2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． （2025·全国·模拟预测）已知的周长为，，的平分线交于，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【热点题型6：梅涅劳斯定理与塞瓦定理的应用】 如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，．设AN与BM交于点P，用向量表示 　　 ．经典例题例题 【规律方法总结】 梅涅劳斯定理（适用于共线点问题）：若一条直线与的三边、、（或其延长线）分别交于点、、，则；逆定理同样成立，可用于判断三点共线.塞瓦定理（适用于共点线问题）：在内任取一点，直线、、分别交对边于、、，则；逆定理可用于判断三条直线共点. 技巧要点：一是明确两大定理的核心差异，梅涅劳斯定理针对“截线与三角形三边（或延长线）”的共线点问题，塞瓦定理针对“三角形内一点与三边”的共点线问题，解题时先判断题型类型，再选择对应定理，避免混淆.二是处理线段比例时，需注意线段的方向，若截线与三角形边的延长线相交，对应线段比例为负，实际应用中可先取绝对值计算，再结合图形判断符号，考试中多以三角形内截线或内点为主，比例多为正值.三是两大定理的逆定理是考试高频考点，常用于证明三点共线或三线共点，证明时需先构造符合定理条件的图形（如作辅助截线、找内点），再验证比例乘积为1.四是结合其他定理联动应用，梅涅劳斯定理可与定比分点结合，塞瓦定理可与角平分线定理、中线性质结合，解决复杂的线段比例与共点、共线问题，解题关键是找准比例关系的切入点，将复杂图形拆解为符合定理的基本图形.五是牢记定理的适用范围，梅涅劳斯定理的截线可在三角形外，塞瓦定理的点可在三角形外（此时对应线段比例符号需调整），需结合图形灵活 在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使得OM：OA＝1：5，ON：OB＝1：4，设线段AN与BM交于点P，记，用表示向量．小试牛刀1 点M、N分别是△OAB的边OA、OB上的点，，，小试牛刀2 （1）若M、N分别是OA、OB的中点，线段AN与BM的交点为P，试用，表示； （2）若||：||＝1：4，||：||＝1：5，线段AN与BM交于点Q，试用，表示． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·广东江门·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A．3 B． C． D．2 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东汕头·月考）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若的面积时，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、解答题 11．（2025·河南·模拟预测）在中，角所对的边分别为. (1)求； (2)点在边上，平分，若，求的周长. 12．（2025·江苏宿迁·三模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 13．（2025·四川巴中·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)若，点在边上，，求的面积. 14．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $