精品解析：四川省泸州市龙马潭区五校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期龙马潭区五校联考九年级期末质量检测试题 数学 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题有12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数顶点解析式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中抽到红桃 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 12道选择题全选C，会正确3道 D. 任意作一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查必然事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 必然事件是指一定会发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、从一副扑克牌中抽到红桃是随机事件； B、打开电视正在播放新闻是随机事件； C、12道选择题全选C，会正确3道是随机事件，不一定发生； D、三角形内角和定理规定任意三角形的内角和等于，则任意作一个三角形，其内角和一定为，这是必然事件， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则以及完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算正确，符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及完全平方公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键． 5. 一元二次方程配方变形为，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过将配方后的方程展开，与原方程比较常数项，直接求解n的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴展开得， 即， ∵配方后的方程为， ∴得， 故选：A． 6. 如图，圆锥的底面半径为，高 为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 7. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．通过计算方程的判别式，根据无实数根的条件判别式小于零，求解m的取值范围，并选择符合该范围的选项，即可作答． 【详解】解：∵方程 无实数根， ∴判别式 ， 解得， 观察选项中，只有，符合条件， 故选：A 8. 如图，为的切线，为切点，的延长线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．连接，与相切于点B，得到，根据条件得到的度数，然后用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴． 故选：C． 9. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这块矩形田地的长为x步，再由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意设这块矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得． 故选A． 10. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为 ，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在 中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在 中， 即， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为 故选：C． 11. 如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于对称轴对称， ， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴， 解得：， 当都在对称轴左边时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当分别在对称轴两侧时， ∵ ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或， 故选：B． 12. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的衍生点定义、直线过定点问题及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，正确理解衍生点的定义是解题的关键． 将直线方程化为含参数的形式，求出定点坐标，衍生点即为该定点，从而得方程的两个根，再利用根与系数的关系求b和c． 【详解】解：直线可化为， 则， 解得， 即 ， 由于直线恒过定点， 则不论为何值，衍生点M始终在该直线上， 即衍生点M的坐标为， 则方程的两个根为 、， 由根与系数的关系，得： ， 则， 即， 故选：D． 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，共20分） 13. 把多项式因式分解的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，并由方程解的定义得到，然后将所求代数式变形为代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即。 又∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得。 ∴==== ． 故答案为：2021． 16. 如图所示，点E是正方形内一点，把 绕点C顺时针旋转至 位置， ，则在旋转过程中线段 所扫过的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 根据旋转的性质得，再根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由旋转的性质得：， ， 在旋转过程中线段 所扫过的面积是， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段 上，，则线段 的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段 有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段 有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（每小题8分，共16分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂的运算． 分别计算零指数幂，化简绝对值，化简二次根式，计算立方根和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，在中，E是的中点， 的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则 ，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ， ∴． 四、解答题（每小题10分，共30分） 20. 随着通信技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、更便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”的调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为_________． （2）请将条形统计图补充完整． （3）若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名． （4）某天，甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】（1）100，108° （2）见解析 （3）600名 （4） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数； （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图； （3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计2500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可； （4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：100，． 【小问2详解】 解：使用短信的人数：；使用微信的人数：， 条形统计图补充图如图： 【小问3详解】 解：名． 答：喜欢用“微信”进行沟通的学生有名． 【小问4详解】 如图所示：列出树状图如下： 所有情况共有9种等可能情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体． 21. 已知关于 的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于 的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵关于 的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 22. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； （3）求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 【答案】（1） （2）周销售单价定为80元，见解析 （3）这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价为90元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，把，代入可得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：由题可得：， 整理得：， 解得：， ， ∵， ∴， ∴ ． 即周销售单价定为80元； 【小问3详解】 解：设周销售利润为w元， 则：， 即当周销售单价为90元时，这种绿茶最大周利润为1800元． 五、解答题（每小题12分，共36分） 23. 如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里． （1）求观测点B与C点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间． 【答案】（1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时． 【解析】 【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解； （2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）过C作CE⊥AB于E， 由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25， 在Rt△ACE中， AE=CE=AC=25=25(海里)， 在Rt△BCE中， BC=2CE=50(海里)，BE==25 (海里)， ∴观测点B与C点之间的距离为50海里； （2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F， ∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°， ∴四边形BFCE为矩形， ∴CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)， 在Rt△CDF中，CF=25 (海里)，DF=55(海里)， ∴CD=70(海里)， 救援船到达C点需要的最少时间为(小时)． ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 24. 如图，在中，，点D在边上， ．经过A、B、D三点．连接并延长交于点E，连接 ， 与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证： ； （3）若， ，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图所示： 在中，， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是的直径， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 证明：在中， ， 由（1）得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是的直径， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质、垂径定理、矩形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质、垂径定理、矩形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）连接 ，由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，进而问题可求证； （2）由（1）得： ，则由题意易得 ，然后可得 ，进而问题可求证； （3）延长交 于点H，由题意易得 ， ，然后可得四边形 为矩形，则有 ，设的半径为r，则： ， ，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交 于点H， ∵， ， ∴垂直平分 ， ∴ ， ， ∵为的切线， ∴ ， ∵ 为的直径， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∴， 设的半径为r，则： ， ， 在 中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线关系式； （2）已知P是直线 下方抛物线上一动点，连接 ，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线 上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 （3）存在，点N的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的关系式； （2）连接 ，设P点坐标，根据，可得，然后利用二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值； （3）分情况进行解答并利用菱形的性质即可求出点N的坐标． 【小问1详解】 解：将，两点代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线关系式， 【小问2详解】 连接 ， 对于抛物线， 当时，可有 ，即， 又∵，， ∴， 设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时， ，此时P的坐标为． 【小问3详解】 存在， 此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线， ∴，连接 ，可得， 设直线 解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以直线 解析式为， ①当 为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时， 过点作轴于点G， 设，则，，， ∴， 解得（舍去），或， ∴，； ②当 为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，； ③当 为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取 的中点K，过点K作 ，交于点M， ∴， 设直线 的表达式为：，把，代入可得， 解得 ∴直线 的表达式为：， ∵直线与直线 垂直，且过 的中点， ∴直线的表达式为：， 联立，解得， ∴， ∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、四边形的面积、菱形的存在性等，分类讨论思想；利用数形结合思想和分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期龙马潭区五校联考九年级期末质量检测试题 数学 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题有12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中抽到红桃 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 12道选择题全选C，会正确3道 D. 任意作一个三角形，其内角和为 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方变形为，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，圆锥的底面半径为，高 为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程没有实数根，则m的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，为的切线，为切点，的延长线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦 长，轮子的吃水深度为 ，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 11. 如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，共20分） 13. 把多项式因式分解的结果是_____． 14. 若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 15. 已知 ，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 16. 如图所示，点E是正方形内一点，把 绕点C顺时针旋转至 位置， ，则在旋转过程中线段 所扫过的面积是______． 17. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 三、解答题（每小题8分，共16分） 18. 计算：． 19. 如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 四、解答题（每小题10分，共30分） 20. 随着通信技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、更便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”的调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为_________． （2）请将条形统计图补充完整． （3）若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名． （4）某天，甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 21. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 22. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； （3）求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 五、解答题（每小题12分，共36分） 23. 如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里． （1）求观测点B与C点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间． 24. 如图，在中，，点D在边上， ．经过A、B、D三点．连接并延长交于点E，连接，与 交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证： ； （3）若， ，求的半径． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线关系式； （2）已知P是直线下方抛物线上一动点，连接 ，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $