精品解析：陕西省榆林市子洲县2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题 -

陕西省榆林市子洲县2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．利用一元二次方程根的定义，将代入方程，得，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴． 故选：A． 2. 某领奖台的示意图如图所示，则该领奖台的主视图是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图；根据主视图是从几何体的正面观察得到的视图进行判断即可． 【详解】解：领奖台从正面看，右边最低，中间最高，故C符合题意． 故选：C． 3. 一个不透明的盒子中装有红色幸运星和黄色幸运星共50颗，这些幸运星除颜色不同外其余均相同．小明将盒子中的幸运星混匀后，随机从中摸出一颗幸运星，记录颜色后放回．通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5，估计盒子中红色幸运星的颗数为（ ） A. 25颗 B. 20颗 C. 15颗 D. 10颗 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用总数乘以频率即可得出答案． 【详解】解：∵摸出红色幸运星的频率稳定在0.5， ∴摸出红色幸运星的概率． 故估计盒子中红色幸运星的颗数为颗． 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，是解题的关键．通过计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 5. 如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的邻角互补，对角线平分一组对角，可得，，再由得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6. 已知正比例函数（m为常数，且）与反比例函数（n为常数，且）的图象交于、B两点，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目关键是熟知反比例函数的性质． 此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象关于原点对称，且点是其中一个交点， ∴点与点关于原点对称， 即点的坐标为， 故选：B． 7. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴=2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外发散形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影；手电筒作为点光源，光线从一点发出，投影线交于一点，属于中心投影． 【详解】解：∵手电筒的光源为点光源，光线从灯泡处向四周辐射，投影线均通过光源点， ∴形成的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若的长为2，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为， ∴，即， 解得． ∴故答案为：． 11. 为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年9月份改造绿化面积为，到了今年11月份改造绿化面积增加到，设该小区改造绿化面积的月平均增长率为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设月平均增长率为，从9月到11月经过两个月增长，根据增长前后面积关系列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理；先由勾股定理求出，再由矩形的性质得出、，再由中位线性质求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵在矩形中，，，，为、的中点，点E为边的中点， ∴，，为的中位线， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：12． 13. 如图，已知反比例函数的图象经过的斜边的中点C，点B在x轴负半轴上，点O为坐标原点，过点C作轴于点D，则的面积为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的性质和判定；由反比例函数得出，再由相似比为，即可求出的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 14. 如图，在中，，点D在边上，且，动点E在边上，连接、，若，当取最小值时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，延长到F，使得，连接，过点D作于G，可证明垂直平分，得到，则当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明，得到，则，当D、E、F三点共线时，，则，据此可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到F，使得，连接，过点D作于G， ∵中，， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当D、E、F三点共线时，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 通过移项和因式分解求解一元二次方程． 【详解】解：∵， ∴， 提取公因式，得， 即， ∴或， 解得：或． 16. 已知反比例函数（m为常数）的图象经过点，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．根据题意，把点代入反比例函数解析式，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．请以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别为点、、），使得与的相似比为． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查位似图形作图，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似比确定点、、的位置，依次连接得到即可． 【详解】解：如图，即为所求． 18. 如图，在中，E是边上的一点，连接．请你用尺规作图法在上找一点F，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作一个角与已知角相等，相似三角形的判定；由平行四边形性质得，进而得出，作，即可使得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴作，即可使得， 以点C为圆心以为半径画弧交于点G， 以点D为圆心，以为半径画弧，交于点M， 以点M为圆心以为半径画弧，两弧相交于点N， 连接并延长与交于点F，即为所求． 19. 如图，点E是正方形上方一点，连接、、、，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定；由正方形的性质可得，，再加上，即可证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 20. 2025年12月9日，神舟二十一号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动．小明和小亮对航天知识有着极大的兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们各自决定从“A．梦圆天路”“B．飞天英雄”“C．探秘太空”“D．巡天飞船”四个模块中随机选择一个进行学习（他们选择每个模块的可能性均相同，且相互之间不受影响）． （1）小明恰好选择“A．梦圆天路”模块进行学习的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法求出小明和小亮选择相同模块进行学习概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小明从“A．梦圆天路”“B．飞天英雄”“C．探秘太空”“D．巡天飞船”四个模块中选择，恰好选择“A．梦圆天路”模块进行学习的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 小明 小亮 A B C D A B C D ∴共有16种可能结果，其中小明和小亮选择相同模块进行学习的可能性有4种， ∴小明和小亮选择相同模块进行学习的概率为． 21. 如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟． （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 【答案】（1） （2）48分钟 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． （1）设，把，代入求解即可； （2）当时，求得y的值即可． 【小问1详解】 解：设， 把，代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该热水器连续排水的时间是48分钟． 22. “天下楼魁”石牌楼坐落于陕西省子洲县，是目前国内比较大型的石牌楼之一．小惠在周末利用所学知识测量了该石牌楼的高度（如图）．首先，小惠在点处用测角仪（高度忽略不计）测得；随后，小惠从点处沿方向移动米到达点处（即米），在点处竖立一根高为米的标杆，某一时刻，石牌楼在太阳光下的影子顶端和标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，米．已知点在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内，请你求出该石牌楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的应用，由题意可得是等腰直角三角形，即得，设米，则米，再根据解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设米，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴该石牌楼的高度为米． 23. 子洲黄芪以色鲜、味浓、质优闻名中国，有“东北参、子洲芪”的美誉．某特产专卖店购进一批子洲黄芪进行销售，进价为每盒200元．根据以往的销售经验，当每盒售价为350元时，每月可以卖出100盒，每盒的售价每提高5元，每月的销售量就会减少10盒，现该专卖店计划涨价销售．若该专卖店销售这种子洲黄芪想每月获利10200元，求每盒子洲黄芪的售价应上涨多少元？ 【答案】20元 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，设每盒子洲黄芪的售价上涨x元，根据销售变化关系列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每盒子洲黄芪的售价上涨元，则新售价为元，新销售量为盒，每盒利润为元， 根据题意可得， 整理得， 解得：或， 由于计划涨价销售，舍去， 故每盒子洲黄芪的售价应上涨20元． 24. 如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点，点C在x轴上，连接、，． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点B作轴于点D，求的长． 【答案】（1） （2）2或4 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握这些知识； （1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可； （2）证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵，轴于点D， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得或，经检验，符合题意， 综上，长为2或4． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，D、E分别是边、的中点，连接、、，与交于点G．求证：； 【结论应用】 （2）如图2，在四边形中，，，且，，连接，点E是中点，连接并延长交边于点F，交的延长线于点G，，求的长； 【问题解决】 （3）某市计划修建一座形状为矩形的大型公园（如图3）．E、F分别为边、的中点，在公园内修建三条步道：、、，在步道、上分别设置服务点G、休息点H，点G、H分别为、的中点，连接、，沿、修建石板小路，、相交于点K，将四边形区域规划为儿童游乐区．已知儿童游乐区的面积为2平方千米，求矩形公园的面积．（步道、石板小路的宽度及服务点、休息区的大小均忽略不计） 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）16平方千米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，三角形的面积计算，三角形的中线平分三角形的面积； （1）证明可得，进而可得，从而证明； （2）先证明得到，，，再证明可得从而求出，最后利用即可得出结果； （3）利用（1）的结论和三角形中线平分三角形面积的性质可求出，再利用，即可求出矩形公园的面积． 【详解】解：（1）证明：∵D、E分别是边、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）连接，如图所示： ∵点G、H分别为、的中点， ∴由（1）得， 设，, ∵四边形的面积为2平方千米， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴平方千米， ∵H为的中点， ∴平方千米， ∵四边形是矩形，且E、F分别为边、的中点， ∴, ， ， ∵， ∴， ∴， ∴平方千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省榆林市子洲县2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 某领奖台的示意图如图所示，则该领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的盒子中装有红色幸运星和黄色幸运星共50颗，这些幸运星除颜色不同外其余均相同．小明将盒子中的幸运星混匀后，随机从中摸出一颗幸运星，记录颜色后放回．通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5，估计盒子中红色幸运星的颗数为（ ） A. 25颗 B. 20颗 C. 15颗 D. 10颗 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正比例函数（m为常数，且）与反比例函数（n为常数，且）的图象交于、B两点，则点B的坐标是（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 10. 已知五边形五边形，且五边形与五边形面积比为，若的长为2，则的长为______． 11. 为迎接文明城市的验收，开展“新农村”建设，某小区今年9月份改造绿化面积为，到了今年11月份改造绿化面积增加到，设该小区改造绿化面积的月平均增长率为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，连接，若，，则的周长为______． 13. 如图，已知反比例函数的图象经过的斜边的中点C，点B在x轴负半轴上，点O为坐标原点，过点C作轴于点D，则的面积为_____． 14. 如图，在中，，点D在边上，且，动点E在边上，连接、，若，当取最小值时，长为______． 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数（m为常数）的图象经过点，求m的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．请以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别为点、、），使得与的相似比为． 18. 如图，在中，E是边上的一点，连接．请你用尺规作图法在上找一点F，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，点E是正方形上方一点，连接、、、，．求证：． 20. 2025年12月9日，神舟二十一号航天员乘组圆满完成第一次出舱活动．小明和小亮对航天知识有着极大的兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们各自决定从“A．梦圆天路”“B．飞天英雄”“C．探秘太空”“D．巡天飞船”四个模块中随机选择一个进行学习（他们选择每个模块的可能性均相同，且相互之间不受影响）． （1）小明恰好选择“A．梦圆天路”模块进行学习概率是______； （2）请用画树状图法或列表法求出小明和小亮选择相同模块进行学习的概率． 21. 如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟． （1）求y与x之间函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 22. “天下楼魁”石牌楼坐落于陕西省子洲县，是目前国内比较大型的石牌楼之一．小惠在周末利用所学知识测量了该石牌楼的高度（如图）．首先，小惠在点处用测角仪（高度忽略不计）测得；随后，小惠从点处沿方向移动米到达点处（即米），在点处竖立一根高为米的标杆，某一时刻，石牌楼在太阳光下的影子顶端和标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，米．已知点在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内，请你求出该石牌楼的高度． 23. 子洲黄芪以色鲜、味浓、质优闻名中国，有“东北参、子洲芪”的美誉．某特产专卖店购进一批子洲黄芪进行销售，进价为每盒200元．根据以往的销售经验，当每盒售价为350元时，每月可以卖出100盒，每盒的售价每提高5元，每月的销售量就会减少10盒，现该专卖店计划涨价销售．若该专卖店销售这种子洲黄芪想每月获利10200元，求每盒子洲黄芪的售价应上涨多少元？ 24. 如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点，点C在x轴上，连接、，． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点B作轴于点D，求的长． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，D、E分别是边、的中点，连接、、，与交于点G．求证：； 【结论应用】 （2）如图2，在四边形中，，，且，，连接，点E是的中点，连接并延长交边于点F，交的延长线于点G，，求的长； 【问题解决】 （3）某市计划修建一座形状为矩形的大型公园（如图3）．E、F分别为边、的中点，在公园内修建三条步道：、、，在步道、上分别设置服务点G、休息点H，点G、H分别为、的中点，连接、，沿、修建石板小路，、相交于点K，将四边形区域规划为儿童游乐区．已知儿童游乐区的面积为2平方千米，求矩形公园的面积．（步道、石板小路的宽度及服务点、休息区的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $