精品解析：内蒙古自治区乌海市2025-2026学年九年级上学期期末学业质量调研数学试卷

2025-2026学年度九年级第一学期学业质量调研试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3.答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列各事件是，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和必然事件，解题的关键是掌握一定会发生的是必然事件，有可能发生，也有可能不发生的是随机事件，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意； B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意； C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 3. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 5. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：由图可知二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 在第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号． 6. 如图，是的切线，B为切点，连接，．若，，，则的长度是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， · 在中，， ∵， ∴在中，， 故选：C． 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 二、填空题：本大题共有4小题，每道小题各3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 10. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长． 11. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移过后的抛物线表达式为， 故答案为：． 12. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握弧长计算公式，圆周角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，则有，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为； 故答案为． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 解方程：．（请用两种方法进行解答） 【答案】，方法见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键： 方法1：把方程两边同时加上1进行配方，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 方法2：先把常数项移到方程左边，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：方法1：， ， ， ， 解得； 方法2：， ， ， 或， 解得． 14. 为弘扬传统文化，某校举办中小学生知识竞赛活动、某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 m 24 14 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中m＝______． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）12 （2）600 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查统计表和扇形统计图、根据样本所占比估计总量、概率的求解，掌握相关计算公式和概率的求解方法是解题的关键． （1）根据等级的人数以及所占百分比求出抽取的总人数，即可求出的值； （2）用1400乘以成绩为等级的学生人数的占比即可得结果； （3）根据画树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， ． 故答案为：12． 【小问2详解】 解：由题意得，（人）， 若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种， （甲、乙两人同时被选中）． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； （2）请计算出在（1）的运动过程中扫过的扇形面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，勾股定理，求图形扫过的面积，熟知扇形面积公式和旋转的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接、C即可； （2）根据题意可得扫过的扇形面积即为扇形的面积，利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再根据扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即所求； 【小问2详解】 解：由题意得，扫过的扇形面积即为扇形的面积， 由网格的特点和勾股定理可得， 由旋转的性质可得， ∴扫过的扇形面积． 16. 如图，一幅长、宽的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为． （1）竖彩条的宽度为______（用含有的代数式表示）； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【答案】（1） （2）竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，求解即可． （2）根据题意分别表示出长方形图案面积，三条彩条所占面积，即可列出一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为， ∴， ∴竖彩条宽度为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意可得：长方形图案面积为，三条彩条所占面积是， ∵图案中三条彩条所占面积是图案面积的， ∴， 解得：，， ∵， 故不合题意，舍去， ∴， ∴，， 答：竖彩条的宽度为，横彩条的宽度为． 17. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【答案】（1），， （2）抛物线和的顶点坐标分别为，；抛物线的表达式为；抛物线的表达式为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式． （1）由矩形的性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，则矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的边长，， ∴，，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，得， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，得， 解得； 则抛物线的表达式为． 18. 如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． （1）连接，求证：； （2）连接，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，第（1）问通过连接构造直角三角形，利用直径所对的圆周角为直角和等腰三角形性质证明；第（2）问通过证明，利用同位角相等判定两直线平行是解题的关键． （1）连接，由三角形为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接，，由三角形与三角形全等，得到，进而得到三角形为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； 【小问1详解】 证明：连接， 在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期学业质量调研试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3.答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列各事件是，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为 2. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 3. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，是切线，B为切点，连接，．若，，，则的长度是（ ） A. 3 B. C. D. 4 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共有4小题，每道小题各3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 已知关于x方程的一个根是，则它的另一个根是________． 10. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________． 11. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为_______． 12. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点D，E，则的长度为______． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 解方程：．（请用两种方法进行解答） 14. 为弘扬传统文化，某校举办中小学生知识竞赛活动、某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 m 24 14 10 根据统计图表中信息解答下列问题： （1）表中m＝______． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 15. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； （2）请计算出在（1）的运动过程中扫过的扇形面积． 16. 如图，一幅长、宽的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．设横彩条的宽度为． （1）竖彩条的宽度为______（用含有的代数式表示）； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 17. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 18. 如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． （1）连接，求证：； （2）连接，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $