天津市双菱中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

双菱中学2025-2026学年度第一学期高三年级二月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 5. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为22.以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四棱锥中，平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数_____________． 11. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 12. 若直线l:与抛物线:相切于点，则以点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的标准方程为_________________________． 13. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比赛，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为_____；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 14. 在中，，则__________；若为所在平面内的动点，且，则的取值范围是__________. 15. 设，函数．若在区间内恰有2个零点，则a的取值范围是____________． 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，，， （1）求角的大小； （2）求的值与的面积； （3）求的值． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 19. 已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前2n项和； （3）在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 20. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论在区间上的单调性； （3）设，证明：． 双菱中学2025-2026学年度第一学期高三年级二月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】84 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1） （2）， （3） 【17题答案】 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在， 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，设直线，直线， 由，消得到，得到，，所以， 由，消得到，得到，，所以， 故，， 所以， 故， （ii）由（i）知， 所以直线的方程为，整理得到， 所以直线过定点，定点为. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3）2646 【20题答案】 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：令数列的前项和为，且，数列满足， 当时，， 当时，， 则原不等式，等价于， 当时，，，成立， 当时，，即，即， 令，则， 又，所以， 则不等式，等价于，即证， 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 又，所以，即， 所以得证， 所以当时，成立，所以， 又当时，， 综上所述，成立，不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $