辽宁省五校2025-2026学年高二上学期期末考试数学学科试题

2025-2026学年度上学期期末考试高二年级数学试卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线与的斜率存在，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. （ ） A. 126 B. 84 C. 70 D. 56 3. 双曲线的离心率和渐近线方程分别为（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（ ） A. 14 B. 26 C. 38 D. 48 7. 在长方体中，，动点在表面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 8. “埙”（图1）是中国传统吹奏乐器之一，音色朴拙抱素独为地籁，在世界原始艺术史上占有重要的地位.一款“埙”的外轮廓上部是半椭圆，下部是半圆.上部分半椭圆的方程为，下部分半圆的方程为（图2），外轮廓线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，点是半圆上的动点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有36种 B. 课程“御”和“书”、“数”都不相邻的不同排法共有288种 C. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 D. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有480种 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，点是准线上的点，则（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 若直线经过点，则以为直径的圆与准线相切 C. 若，则直线经过定点 D. 若和都和抛物线相切，则直线经过定点 11. 空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（ ） A. 若点在直线上，则 B. 平面和所成角的余弦值等于 C. 点到平面的距离为 D. 若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有___________种. 13. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于2，点到直线的距离等于3，若满足条件的直线恰有2条，则实数的取值范围是___________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足，直线和直线分别和椭圆交于点和点（点，和点不同），若，则椭圆的离心率等于___________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中所有奇数项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项是第几项？ 16. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的动点，且的最小值为1，过点的直线交抛物线于两个不同的点，点，直线平分. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的斜率； （3）求外接圆的面积. 18. 棱锥中，，且平面，过点的平面与侧棱分别交于点，且四边形为菱形. （1）求证：平面； （2）求线段的长； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，圆心的轨迹为，斜率为的动直线与轨迹相交于不同的两点，坐标原点为. （1）求轨迹的方程； （2）若中点的横坐标等于1，求面积的最大值，并求出取最大值时的值； （3）若以为直径的圆经过点，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标. 2025-2026学年度上学期期末考试高二年级数学试卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】24 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1）存在，2 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，则， 因为，所以，即， 又，平面， 所以平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，面积的最大值为 （3） 由，所以， 即， 即，所以， 所以或. 因为直线不经过点，所以， 所以直线为， 直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $