精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

初二质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将下列长度的三根木棒首尾顺次相接，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列分别代表“立春”、“芒种”、“大雪”、“小满”标识，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（ ） A. 8 B. C. 0 D. 8或 5. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若等腰三角形两边长分别为3，7，则其周长为13或17 B. 三角形三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 C. 若为完全平方式，则的值为3 D. 若分式中的，的值同时扩大为原来的2倍，则此分式的值扩大为原来的4倍 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 10. 如图，中，，点为边上一点，过点作于点，为延长线上的一点，连接交于点，若为中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 上海某公司发布消息称已经成功研发出了的光刻机，可用科学记数法表示为__________． 12. 如图，在△ABC中，∠C=40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于_______. 13. 如图，已知，添加一个条件______，使．（填一个即可） 14. 若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 15. 若，则的值为___________． 16. 如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为___________． 三、解答题（满分69分） 18. 计算与因式分解 （1）计算： （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中． （4）因式分解：． 19. 解分式方程：． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向右平移7个单位长度，请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标___________； （2）在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标__________； （3）观察可知与成轴对称，请画出对称轴直线，并写出直线与轴交点的坐标__________． 21. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年；某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元，超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同，求每个灯笼和每副春联的进价． 22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； （2）运用得到公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 23. 综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． （1）_________，_________； （2）如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出值； （3）如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点坐标为_________； （4）若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二质量监测数学试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将下列长度的三根木棒首尾顺次相接，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形； B、，不满足条件，无法组成三角形； C、，不满足条件，无法组成三角形； D、，，，均满足条件，能组成三角形； 故选：D． 2. 下列分别代表“立春”、“芒种”、“大雪”、“小满”标识，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念进行判断即可，熟练掌握寻找对称轴，对称轴两侧部分折叠后可重合的图形是轴对称图形是解决此题的关键． 【详解】解：A．“立春”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．“芒种”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．“大雪”标识是轴对称图形，故此选项符合题意； D．“小满”标识不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法和乘法，积的乘方以及分式的乘方，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据相关运算对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（ ） A. 8 B. C. 0 D. 8或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可． 【详解】解：原式， 由结果不含的一次项，得到， 解得：． 故选：A． 5. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图－基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则的周长， 故选：C． 6. 如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，结合角平分线求出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若等腰三角形的两边长分别为3，7，则其周长为13或17 B. 三角形三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 C. 若为完全平方式，则的值为3 D. 若分式中的，的值同时扩大为原来的2倍，则此分式的值扩大为原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系和等腰三角形的定义可判断选项A；根据角平分线的性质定理可判断选项B；根据完全平方式可判断选项C；根据分式的基本性质可判断选项D． 【详解】解：A、等腰三角形两边长为3和7，若腰为3，则，不满足三角形三边关系，故周长不能为13；若腰为7，则，，周长为17，故A错误． B、根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知三角形三条角平分线交于一点，这点到三边距离相等，故B正确． C、为完全平方式，则其形式为，即，，故C错误． D、原分式为，x和y扩大2倍后为，分式的值不变，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，角平分线的性质定理，完全平方式，分式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 9. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 10. 如图，中，，点为边上一点，过点作于点，为延长线上的一点，连接交于点，若为中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作交于点，根据，得出，根据，得出，则，证出，再证明，得出，，则，故①正确；根据等腰三角形的性质得出，则，从而得出，故②正确；根据已知条件不能说明，故不能证明，故③错误；当点在边上运动时，也随之变化，由不变，可知也随之变化， 可判断④，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵在中，， ， ， ， ， ， ∵为中点， ∴， 又， ， ，， ∴，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 不能说明， 故不能证明，故③错误； 当点在边上运动时，也随之变化，由不变，可知也随之变化， ∴不一定垂直，故④错误； 综上，正确的是①②， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 上海某公司发布消息称已经成功研发出了的光刻机，可用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于的非小数，用科学记数法写成的形式，其中，是正整数，等于原数中第一个非0数字前面所有的个数（包括小数点前面的）． 12. 如图，在△ABC中，∠C=40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于_______. 【答案】220º 【解析】 【分析】根据平角的性质与三角形外角的性质即可求解. 【详解】如图，∠2=∠3+∠C，又∠1=180°-∠3， ∴∠1+∠2=180°-∠3+∠3+∠C=180°+40°=220º 【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知外角的性质. 13. 如图，已知，添加一个条件______，使．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据已知，，故只需要添加第三边对应相等或者夹角相等即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； ∵，， ∴当时，， 故答案为：或． 14. 若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 【答案】30或6 【解析】 【分析】该题考查了三角形的高线、中线、面积计算，分为当高在的内部时，当高在的外部时，分别求解即可． 【详解】解：如图1，当高在的内部时， 则， ∵是中线， ， ； 如图2，当高在的外部时， 则， ∵是中线， ， ． 综上所述，的面积为30或6． 故答案为：30或6． 15. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确计算是解题的关键．由已知条件 可得 ，即 ．将所求分式的分子和分母分别用 和 表示，代入化简即可． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ，即 ． 所求分式的分子为 ， 分母为 ． 所以 ． 故答案为：. 16. 如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标规律探究，等边三角形性质，过点作，过点作，推出的纵坐标为，即可得出结果． 【详解】解：过点作，过点作， ∵点的坐标是， ， ∵等边三角形， ∴，即：的纵坐标为， 同理：，即的纵坐标为， 依次类推，可知：的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； 故答案为：． 三、解答题（满分69分） 18. 计算与因式分解 （1）计算： （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中． （4）因式分解：． 【答案】（1）7 （2） （3），当时，原式 （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，整式的化简求值，分式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据负整数指数幂、零指数幂、积的乘方计算即可． （2）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式把括号内展开，合并后再算除法． （3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． （4）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴或， 当时，分式无意义； 当时，原式． 【小问4详解】 解： ． 19. 解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键． 将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】解：， 化为整式方程得， ， ， 解得：， 检验：时，， 故是增根，原方程无解． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向右平移7个单位长度，请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标___________； （2）在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标__________； （3）观察可知与成轴对称，请画出对称轴直线，并写出直线与轴交点的坐标__________． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别作出的对应点即可； （2）分别作出的对应点即可； （3）观察图形即可得到答案； 【小问1详解】 解：将向右平移7个单位得，如图： 由图可知，的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出关于轴对称的，如上图， 由图知，点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：观察与，可知它们关于直线对称， ∴直线与轴的交点的坐标为； 故答案为：； 21. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年；某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元，超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同，求每个灯笼和每副春联的进价． 【答案】每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元，根据题意，列出方程求解即可． 【详解】解：设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，，所以原分式方程的解为． ， 答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元． 22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）10． 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值，然后根据平方根的定义求出的值即可； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可． 【小问1详解】 解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴或． 【小问3详解】 解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ＝10． ∴阴影部分的面积为10． 23. 综合与实践 【模型发现】（1）两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． 如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，易证_________； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，且，，，在同一条直线上，则线段和的数量关系及位置关系为_________； 【深入探究】（3）如图3，，，则，，的数量关系为_________，的度数为_________，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长至点，使，连接）； （4）【拓展延伸】在中，，，，以为边作等边三角形，过点作于点，则的长为_________． 【答案】（1）；（2），；（3），，见解析；（4）5或14 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得； （2）根据题意可得，进而证得，根据全等三角形的性质证得和，利用等腰直角三角形的性质得出，进而证得； （3）如图，延长至，使，连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，，结合，即可证明． （4）分两种情况讨论，一是顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，所以，由是等边三角形，得，可证明，得，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接，可证明，得，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， ， ， 和中， ， ， 故答案为：； （2）解：，， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． （3）解：如图，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，． （4）解：如图1，顶点与顶点在直线同侧，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， 于， ， ， ， ． 如图2，顶点与顶点在直线异侧，在上截取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 于， ， ， ， ， 综上所述，的长为5或14， 故答案为：5或14． 【点睛】此题重点考查等边三角形判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，、两点的坐标分别为、、点在轴左侧，将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点，连接，． （1）_________，_________； （2）如图1，当点在轴正半轴时，连接，若，请求出值； （3）如图2，当点在轴负半轴时，连接交轴于点，若，则点的坐标为_________； （4）若，点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）3，1 （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据得出，再根据非负数的性质即可求解． （2）先根据题意得出，，证明，得出，结合点在轴正半轴，即可得． （3）根据题意得，，轴，则，，过点C作轴交轴于点H，证明，则，求出，再根据待定系数法求出直线解析式，令，求出，即可解答． （4）分为：当时，当时，结合题意根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案：3，1． 【小问2详解】 解：∵，、将点沿平行于轴方向向下平移个单位长度至点， ∴，， ∵为等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意得，，轴， ∴，， 过点C作轴交轴于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， 解得：， ∴． 【小问4详解】 解：当时， ∵点在轴上， ∴或； 当时， 根据图1和图2可得， 则， ∴， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】该题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性 ，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，一次函数解析式求解，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确理解题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $