精品解析：四川省成都市棕北中学2025-2026学年2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年度上期1月数学综合素养调查八年级 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. 4.5 B. C. D. 2. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B. C. D. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 同位角相等 D. 相等的角是对顶角 4. 如图，是某品牌椅子的侧面图，与地面平行．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在的图像上，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 6. 如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“士”位于点，“相”位于点，那么“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 7. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表： 成绩 161及以下 162 163 164 165及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 162和163 B. 162和162 C. 163和162 D. 163和163 8. 如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：7____ 10. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 11. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为____． 12. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，C为线段上一点（不与点重合），过点C作的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点关于y轴对称，当为等腰三角形时，点D的坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. （1）计算： （2）解下列方程组： 15. 某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空： ， ， ； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 80 c （3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 16. 如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线上找一点，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹） 17. A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为． （1）分别求出与x的函数关系式； （2）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？ 18. 在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． （1）如图1，求证：； （2）当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． B卷 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，b为的小数部分，则的值为_______． 20. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是________． 21. 已知一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为____． 23. 1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ____________________； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 _________________． 24. 成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥． （1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？ （2）已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量（辆）之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接． （1）求直线l的表达式： （2）若的面积为，求点P的坐标； （3）探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期1月数学综合素养调查八年级 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. 4.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义和立方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题关键，根据无理数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、4.5是有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、，2是有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记勾股定理逆定理、三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理进行计算，逐项判断即可解答． 【详解】解：A、∵，，， 则， ∴是直角三角形， 故不符合题意； B、∵， 则， ∴，即是直角三角形，故不符合题意； C、∵， ∴是直角三角形，故不符合题意； D、∵， 设， 则， ∴不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 同位角相等 D. 相等的角是对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解决本题的关键是判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据对顶角、平行线的性质、平方的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、如果，则，成立，该选项符合题意； B、如果，则，不一定，该选项不符合题意； C、同位角相等的前提是两直线平行，该选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，该选项不符合题意． 故选A． 4. 如图，是某品牌椅子的侧面图，与地面平行．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 若点，，都在的图像上，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由 中可知随增大而减小，因此，值越大，对应的值越小，又，，都在的图像上，且，所以，即，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵中 ， ∴ 随增大而减小， ∵，，都在的图像上，且， ∴，即， 故选：． 6. 如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“士”位于点，“相”位于点，那么“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，解决问题的关键是确定原点的位置． 先根据“士”和“相”的坐标确定原点的位置和坐标轴的位置，再建立平面直角坐标系，从而可以确定“炮”的位置． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系： ∴“炮”位于点， 故选：A． 7. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表： 成绩 161及以下 162 163 164 165及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 162和163 B. 162和162 C. 163和162 D. 163和163 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．据此求解即可． 【详解】解：在这一组数据中162是出现次数最多的， 故众数是162； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是163和163，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故选：A． 8. 如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：7____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 先求出，，根据，得出即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 11. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解求解即可．本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，熟练掌握函数图象的交点与两函数组成的二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴关于x，y的方程组的解为； 故答案为：． 12. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，C为线段上一点（不与点重合），过点C作的垂线交x轴的负半轴于点D，点D和点关于y轴对称，当为等腰三角形时，点D的坐标为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，分两种情况画图讨论：如图，当时，连接，如图，设，则当时，再进一步求解即可． 【详解】解：∵点D和点关于y轴对称， ∴D和的纵坐标为，横坐标互为相反数， ∴， ∵点的坐标分别为，， ∴， 设，则， 如图，当时，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图，设，则当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或； 故答案为：或； 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. （1）计算： （2）解下列方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组． （1）先利用平方差公式和完全平方公式运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算； （2）先把方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组． 【详解】解：（1） ； （2）方程组整理为， ①②得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以原方程组的解为． 15. 某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空： ， ， ； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 a b 90 二班 80 c （3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）；；； （3） 解：从平均数看，两班成绩一样； 从中位数看，一班中位数为90分，二班中位数为80分，则一班比二班成绩好． 【解析】 【分析】（1）选求出C等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用条形统计图，结合平均数公式和中位数的定义，即可求出、的值，利用扇统计图可知，二班级的同学最多，即可得出的值； （3）．根据平均数和中位数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：人，即C等级的人数为2 【小问2详解】 解：一班平均数为分， ； 25名同学参加比赛， 中位数为第13名同学的成绩， 由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级， 一班中位数是分， ； 由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多， 二班的众数为分， ， 故答案为：；；； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图，平均数、中位数、众数及其意义，利用统计图表得出所需数据是解题关键． 16. 如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线上找一点，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图为所求， （2）5.5 （3） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的； （2）根据割补法即可求出的面积； （3）结合（1），连接交直线于点，根据两点之间线段最短得最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 17. A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为． （1）分别求出与x的函数关系式； （2）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？ 【答案】（1）， （2）小明选择B品牌的共享电动车更省钱 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和速度、时间、路程的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解答即可； （2）根据时间路程速度求出小明骑共享电动车的时间并换算成以分钟为单位，结合图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：设（为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得， ∴与x的函数关系式为． 当时，； 当时，设（为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴． 综上，． 【小问2详解】 解：， 由图象可知，当时，， ∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱． 18. 在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． （1）如图1，求证：； （2）当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 【答案】（1） 证明：根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（i）；（ⅱ） 或 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出； （2）（i）根据四边形的面积为24得出，求出，设，则，，根据勾股定理得出，即，求出即可得出答案． （ⅱ）证明，得出，根据的面积是的面积的2倍，，，得出，设，则，分两种情况：当点H在点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． （ⅱ）根据题意得：，，， 由（1）得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍，，， ∴， 设，则， 当点H在点E的左侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 当点H在点E的右侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 综上分析可知，当的面积是的面积的2倍时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． B卷 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，b为的小数部分，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先求出的小数部分，再求出和的值，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 20. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的变形与求解，解题的关键是通过方程组相加得到的表达式，再结合已知条件列方程．将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合建立方程求解． 【详解】解：设方程①：， 方程②：． ①②，得：， 即． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3． 21. 已知一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是方差，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍是关键． 根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可直接得出答案． 【详解】解：设原数据的方差为， 根据方差的性质：数据乘以常数，方差变为原方差的；数据加上常数，方差不变， 因此数据，，，，的方差是， 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 将线段绕点逆时针旋转得到线段，则，连接，与交于中点，直线与直线的交点即为点．求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， 由旋转可得，， ， ， ， ， ， ， 点，点， ， ， 连接，与交于点， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 由， 解得， 点坐标为， 故答案为：． 23. 1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ____________________； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 _________________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 【详解】解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 24. 成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥． （1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？ （2）已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量（辆）之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 【答案】（1）甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥 （2） （3）租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元 【解析】 【分析】（1）设甲种货车一次原装吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，依题意列出二元一次方程组，故可求解； （2）根据甲种货车有辆，则乙种货年有辆，即可列出函数关系； （3）先根据题意求出a的取值，再根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种货车一次原装吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，由题意得， ，解得， ∴设甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥． 【小问2详解】 解：∵甲种货车有辆，∴乙种货年有辆． 【小问3详解】 解：， ， ，， 随的增大而增大， ∴当时， 有 （元） ∴租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元． 【点睛】此题主要考查方程组与函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程与函数求解． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是直线上的一个动点，且不与点O重合，连接． （1）求直线l的表达式： （2）若的面积为，求点P的坐标； （3）探究是否存在点P，使得?若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）存在；点P的纵坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出直线与的交点，可判定这两直线垂直，再设，由面积关系求得，再由建立方程即可求解； （3）在上取点D，使，连接，过点D作于点E，则，由，则，由（2）知，得，通过计算知，利用面积关系得，从而求得；设，则，从而得，解方程求得a，从而求解． 【小问1详解】 解：把，分别代入中，得， 解得：， ∴直线l的表达式为： 【小问2详解】 解：设直线l与直线交于点C，如图， 联立与，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，而， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在点P，使得； 如图，在上取点D，使，连接，过点D作于点E， ∵由（2）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 设，则， ∴， 解方程得或， 则或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，求两直线的交点，勾股定理，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 26. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 【答案】（1） （2） （3）①或3；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得：，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）延长交延长线于点M，可得，从而得到，在中，根据勾股定理可得， 设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）①分三种情况讨论，即可求解；②作于点H，证明，可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠得到， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：，即； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即； 【小问3详解】 解：①情况1：，即； 情况2：如图1，当时，作于点H，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 情况3：如图2，当四边形为正方形时，此时，， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， 此时点D在上，且为的中点， 此时，符合题意， ∴； 综上所述，的长为或3； ② 如图，作于点H， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠和旋转问题，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想和类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $