精品解析：河北省三河市燕郊中学2025-2026学年上学期第三次月考八年级数学试题

2025~2026学年第一学期八年级学业水平终期评价 数学（人教版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 4. 我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点为的平分线上的一点，于点，，，为射线上的一个动点，则线段长的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不能确定 7. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D为边上的点，满足，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 若，且，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 12. 如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. CF平分 D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. ________． 14. 如图，，点E在边上，与相交于点G．，，则____． 15. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 16. 如图，，，点、，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是等腰三角形，且，．求的周长． 18. 先化简，再从，0，1，2中，选择一个合适的数作为m的值代入求值． 19. 因式分解 （1） （2） 20. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 21. 如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 23. 小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． （1）多项式的零点为_____； （2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 24. 如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． （1）求证：； （2）延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期八年级学业水平终期评价 数学（人教版） （时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题重点考查分式的意义，掌握分母不为零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零，因此分母 ，即可求出的取值范围． 【详解】∵ 分式 有意义， ∴ 分母 ， ∴ ， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：B． 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先理解题意，得出，结合两直线平行，同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， 依题意，， ∴， 故选：A 4. 我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，科学记数法表示为 ，其中，为整数．对于小数，需将小数点向右移动5位得到 ，． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方． 根据运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误； 故选：C． 6. 如图，点为的平分线上的一点，于点，，，为射线上的一个动点，则线段长的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质，找到点到的最短距离，进而确定的最小值． 【详解】解：过点作于， ∵点在的平分线上，过点作于，，， ∴．即当与重合时，线段长的最小值为． 故选：． 7. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【详解】解：A．，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B．，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C．，符合平方差公式，故本选项符合题意； D．，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 10. 如图，在中，D为边上的点，满足，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边对等角，得，，又因为以及三角形外角性质，得，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 11. 若，且，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，已知式子的值，求代数式的值． 由已知可得，移项，因式分解可得，由，可得，即可得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12. 如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. CF平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别计算各部分的符号和指数，再应用同底数幂相乘法则． 【详解】解：∵， ∴原式， 故答案为：． 14. 如图，，点E在边上，与相交于点G．，，则____． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形外角性质的应用，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据等边对等角可得，最后结合三角形外角的定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 16. 如图，，，点、，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．如图，过点作，过点作，通过证明，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 点、， ，，，， ， ，且， ，且，， ， ，， ， 点， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【答案】的周长为16 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：因为，， 所以，即， 因为是等腰三角形， 所以， 所以的周长． 18. 先化简，再从，0，1，2中，选择一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】，时，原式；时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ，，， ． 若选择，则原式． 若选择，则原式． 19. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法，分组分解法因式分解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 20. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法逆用，幂的乘方，代数式求值，掌握运算法则是解题的关键． （）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴ ； （）解： ． 21. 如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2） 证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上． ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证出所在直线为的垂直平分线，即可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 【答案】（1）真 （2） （3）符合条件的x有4个 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的定义和化简运算方法是解题的关键， （1）利用题中定义判断即可； （2）根据题意化简即可； （3）由（2）中的化简分情况讨论出结果即可． 【小问1详解】 解：分式是真分式， 故答案为：真． 【小问2详解】 解：由题可得：． 【小问3详解】 解：由（2）得：. ∵x为整数，分式的值也为整数， ∴或1或或， ∴或或或， ∴符合条件的x有4个． 23. 小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． （1）多项式的零点为_____； （2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 【答案】（1） （2）多项式B的另一个零点为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、多项式的零点、因式分解，理解题意，利用多项式对应系数相等构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式的零点的定义将代入求得a，再将a的值代入因式分解后解一元一次方程即可； （3）通过因式分解求得的一个零点为3，根据“2系多项式”的定义求得M的另一个零点为，即，再利用多项式对应系数相等建立方程组即可求解． 【小问1详解】 解：令， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，把代入B得， 解得， 把代入B得， 令， 解得， ∴多项式B的另一个零点为； 【小问3详解】 ∵， ∴多项式M的一个零点为3， 则另一个零点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． （1）求证：； （2）延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2），5 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得； （2）①由，得，结合，求解即可；②过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，得到，即可得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $