2025-2026学年高一上学期数学期末复习冲刺卷（2）（沪教版）

2025-2026学年高一数学上学期期末复习冲刺卷（2） （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若集合，则______ 【分析】分别求解集合，再结合交集的定义求解即可． 【详解】或， 所以． 2. 函数的定义域为__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据定义域的求法求解. 【详解】函数, 则，解得或. 故答案为：或. 3.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为_______ 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则____ 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 【详解】由题意得， 所以. 5.已知函数则_______ 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可； 【详解】由分段函数的定义域可得，， 所以. 故选：C 6. 已知函数，，若，则的最小值为______ 【解析】 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 7．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为_______ 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 8.已知幂函数，且严格递减，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 9.已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据角的范围，结合平方关系求出的余弦值与的正弦值，从而可求，可得，再利用 的终边与 的终边关于 轴对称可得结果. 【详解】 ， ， . 因为 的终边与 的终边关于 轴对称， 所以， 故答案为： 10. 已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是_________ (1) ; (2) 是偶函数; (3) 函数在上单调递增 (4) 若不等式的解集为 【答案】(1) (2) (4) 【分析】利用赋值法可求出、的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于(1)选项，令可得，解得， 令可得，解得， 所以，，(1)对； 对于(2)选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，(2)对； 对于(3)选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，(3)错； 对于(4)选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，(4)对. 故选：(1) (2) (4) 11. 已知，若，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 12. 已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ， 方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.下列选项中“”的充分非必要条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别就每个选项分析，得出,的大小关系，再利用充分非必要条件定义判断正误. 【详解】由选项A, 得,,异号时,不能推出；由选项B得, ,当,异号时,不能推出; 由选项C得, ,当时, ,故为充要条件;由选项D得,, 但由,因为不确定,的正负,所以不一定得,故为充分非必要条件. 故选：D 14. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得； 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 15.设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据所在象限，求出的范围，即可得到的取值范围，从而判断所在的象限，再根据，即可得到，从而得解； 【详解】解：因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角； 故选：B 16.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17.已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系和商数关系计算即可求得结果； （2）利用诱导公式以及齐次式化简求值即可. 【详解】（1）易知，即， 又，可得， 因为是第三象限角，所以， 因此 （2）显然， 代入计算可得， 因此. 18. 已知函数. （1）证明：的图象关于原点对称； （2）求函数的值域. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，利用指数运算以及奇函数定义，可得答案； （2）利用分离常数项整理函数解析式，根据指数函数取值以及不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 证明：由可得其定义域为， 因为，所以是奇函数， 故函数的图象关于原点对称. 【小问2详解】 由，则， 由，则，，可得， 所以. 19.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合题意分析求解； （2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解. 【小问1详解】 当时， 可得； 当时， 可得； 所以. 【小问2详解】 若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为， 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 20.已知函数，设. （1）当时，解关于的不等式； （2）对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的范围； （3）设函数.当时，求的最大值. 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的性质解不等式即可． （2）求出的解析式，将条件转化为恒成立，利用一元二次函数的性质进行求解． （3）利用分式函数的性质，利用换元法进行转化，利用基本不等式的性质进行求解即可． 【小问1详解】 由，得，则，得，即不等式的解集为． 【小问2详解】 ，． 对任意的，的图象总在函数图象的下方， 则恒成立，即在上恒成立， 即，即恒成立， 则，即在恒成立， 设， 则只需要即可，即，即，得，得， ，． 即的取值范围是,． 【小问3详解】 设函数，． 当时，，，由（2）知，， 则， 令， 设，则，则， ．． 则，当且仅当时，取等号， 即的最小值为， 则的最大值为， 则的最大值为． 【点睛】结论点睛：本题主要考查不等式恒成立的应用，根据对数函数的运算是法则，进行转化，利用换元法，利用二次函数的性质以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 21.对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可； （2）函数在为增函数，又为“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【小问1详解】 因为函数在为增函数，所以在也为增函数， 又因为，所以的值域为， 所以为函数的“优美区间”. 【小问2详解】 因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”， 所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以的最小值为4. 小问3详解】 定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以， 所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末复习冲刺卷（2） （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若集合，则______ 2. 函数的定义域为__________． 3.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为_______ 4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则____ 5.已知函数则_______ 6. 已知函数，，若，则的最小值为______ 7．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为_______ 8.已知幂函数，且严格递减，则_____. 9.已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 _____. 10. 已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是_________ (1) ; (2) 是偶函数; (3) 函数在上单调递增 (4) 若不等式的解集为 11. 已知，若，则实数的取值范围为______ 12. 已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.下列选项中“”的充分非必要条件是（ ）． A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 15.设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17.已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 18. 已知函数. （1）证明：的图象关于原点对称； （2）求函数的值域. 19.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 20.已知函数，设. （1）当时，解关于的不等式； （2）对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的范围； （3）设函数.当时，求的最大值. 21.对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $