2025-2026学年高一上学期数学期末复习冲刺卷（1）（沪教版）

2025-2026学年高一数学上学期期末复习冲刺卷（1） （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知集合，，则______ 【分析】直接利用集合交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 2. 若，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 3.已知，，则__________. 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因，则， 又因为，则. 故答案为：. 4.已知不等式的解集为，则_______ 【分析】由不等式的解结合韦达定理求得的值，进而利用对数的运算求解即可. 【详解】由题意可得，且，为方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 故． 5. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为_______ 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 6. 已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 7. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 8.已知定义在上的函数，则的值是_____ 【分析】由分段函数的周期性化简之后再代入，最终求出余弦值即可. 【详解】由题意可知， 所以， 9.若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 10.已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 11.已知函数，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的单调性，根据其单调性解不等式，可得答案. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 12. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为______ 【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于x的方程至少有两个不同的交点，结合图象得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 关于x的方程至少有两个不等的实根， 即关于x的方程至少有两个不同的交点， 所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以，解得． 故选：A 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知为非零实数，则“”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 14.下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数定义域及解析式逐个判断即可； 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 15. 若，，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和诱导公式可得：且，利用任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】因为，，由诱导公式可得：，，根据任意角三角函数的定义可知：角位于第四象限， 故选：. 16. 命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）. A. 、都是真命题 B. 、都是假命题 C. 真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【详解】令，其定义域为R， 对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，， 由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 已知为第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解； （2）利用齐次式以及弦切互化即可求解． 【小问1详解】 因为为第三象限角，且， 所以，解得（正值舍去）， 所以； 【小问2详解】 ． 18.幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 小问1详解】 因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. 【小问2详解】 对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 19.已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数单调增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可直接求出a值，再检验即可； （2）利用函数单调性的定义及指数运算的性质验证即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 当时，，定义域R上恒满足， 故满足题意，所以. 【小问2详解】 根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； 小问3详解】 根据题意，若关于的方程只有一个实根， 令，则，则问题等价转化为方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 20. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2023年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 当时， ； 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 所以； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故， 所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元. 21.对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式： （3）若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域． 【答案】（1）函数不是“型函数”；函数是“型函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”定义，代入直接判断即可； （2）由题中条件得到对定义域中的任意都成立，变形整理即可得到答案； （3）由条件得，且，利用时，的值域为，得出时，，再利用，得出时,，依次类推可知时，，从而时，，利用得出时，，综合可得答案. 【小问1详解】 对于函数， 对定义域中的任意不可能恒成立, 因此函数不是“型函数”； 对于函数， , 故存在实数对，使对定义域中的任意都成立， 因此函数是“型函数”. 【小问2详解】 因为函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以对定义域中的任意都成立， 则， 所以且，所以. 【小问3详解】 ∵定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和， ∴，且， 由，用替换可得, ∵当时，的值域为， 当时，，，∴， 当时，，即． 由，用替换可得, 又，，则， 用替换可得. 当时, ，，∴， 当时, ，，∴， 依次类推可知，当时,， 当时，， ∴当时，， 当时，，∴， ∴， 综上可知，当时，函数的值域为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末复习冲刺卷（1） （考试时间90分钟，本卷满分100分） 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知集合，，则______ 2. 若，，且，则的最小值为__________. 3.已知，，则__________. 4.已知不等式的解集为，则_______ 5. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为_______ 6. 已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为______. 7. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 8.已知定义在上的函数，则的值是_____ 9.若，且，则 . 10.已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________. 11.已知函数，若，则的取值范围为________． 12. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为______ 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知为非零实数，则“”是“”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14.下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 若，，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16. 命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）. A. 、都是真命题 B. 、都是假命题 C. 真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 已知为第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 18.幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 19.已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 20. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式. （2）当2023年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 21.对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若函数（其中为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数满足的关系式： （3）若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $