专题5.1 导数的概念及其意义（8类必考点）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的概念及其意义核心知识点，从瞬时速度、抛物线切线斜率等具体实例出发，梳理函数平均变化率、导数定义、几何意义及导函数等内容，构建从具体到抽象的学习支架，分8个考点系统覆盖变化率、切线方程等应用。 资料通过运动、温度等实际情境引入，结合解题秘籍和例题培养数学眼光与思维，规范数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后学生可借例题巩固，有效查漏补缺，提升知识应用能力。

专题5.1 导数的概念及其意义 【知识梳理】 1 【考点1：变化率问题】 3 【考点2：导数的定义】 4 【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】 6 【考点4：已知切线（斜率）求参数】 8 【考点5：在曲线上一点的切线方程】 10 【考点6：过一点的切线方程】 13 【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 16 【考点8：利用导数的几何意义求最值】 18 【知识梳理】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 4．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 5．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 6. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 7. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 8. 公切线—解题秘籍： ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 9. 利用导数的几何意义求最值—解题秘籍： ①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 【考点1：变化率问题】 1．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 2．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 3．（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义列方程求解即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：B. 4．（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 5．（25-26高二下·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是 . 【答案】 在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【分析】这道题考查的是瞬时变化率的求法以及其几何意义. 【详解】自变量从变到的过程中，， 则该函数的平均变化率为， 当趋于时，平均变化率趋于，则在第时，原油温度的瞬时变化率为℃/， 即在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 故答案为：；在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【考点2：导数的定义】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义可求极限值. 【详解】根据导数值的定义，. 故选：A. 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 3．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 4．（25-26高二下·福建福州·期中）函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，变形后，即可求解. 【详解】，故， 由导数的定义可知，. 故选：B 5．（24-25高二下·江西·月考）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出极限值. 【详解】依题意，. 故选：D 【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】 1．（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 2．（25-26高三上·河南·期中）曲线的切线斜率的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求导，再利用导数的几何意义结合函数性质求解． 【详解】，求导得， 当时，取得最小值， 曲线的切线斜率的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 4．（25-26高三上·陕西·期末）在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（    ）．    A． B． C． D．的解析式可能是 【答案】C 【分析】根据函数的图象，结合导数的几何意义、指数型函数的特征逐一判断即可. 【详解】由图可知是减函数，故A正确； 的下降幅度随t增大而逐渐平缓，区间内温度下降的量比内温度下降的量更大， 即，所以，故B正确； 由曲线的切线斜率可知，故C错误； 曲线的变化趋势符合指数型函数，故D正确． 故选：C 5．（2026高二上·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题图可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B. 【考点4：已知切线（斜率）求参数】 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值. 【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 3．（2025·云南昆明·一模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，根据导数的几何意义可得，再利用切点也在上，即可求解. 【详解】设切点为， ，故 又， 解得， 故选：D 4．（2026·全国·模拟预测）已知直线与函数的图象相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意可知，， 设切点为，则，故，， 又切点在直线上， 故，解得． 故选：B. 【点睛】导数的几何意义中需要注意的两点，一是导函数在该点处的取值是曲线在该点处切线的斜率，二是切点既在曲线上又在直线上，这两点是解题的关键. 5．（25-26高三上·福建厦门·月考）若直线是函数的一条切线，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设切点为，求得切线方程，进而可得，进而可求的最小值. 【详解】设切点为，，， 函数的切线方程为， 即， 又直线是函数的一条切线，， 由，得，故，， 联立，， ，当且仅当时取等号. 故答案为： 【考点5：在曲线上一点的切线方程】 1．（25-26高三上·天津滨海新·期中）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程． 【详解】设， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：． 2．（25-26高二上·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 【答案】 【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积. 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 3．（24-25高二下·江西宜春·月考）若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求出函数的解析式，再根据导数几何意义求切线方程即可. 【详解】设，则，所以，即， 所以．又，所以， 则函数的图象在点处的切线方程为，即． 故选：C． 4．（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 5．（25-26高二上·广西桂林·期中）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求曲线在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案； （2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，； 又，所以曲线在处的切线方程为，即. 【考点6：过一点的切线方程】 1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·上海·课后作业）求过点且与曲线相切的直线的方程． 【答案】或. 【分析】设出切点，根据导数的几何意义，写出切线方程，把代入求出切点，进而求出切线方程. 【详解】根据题意设切点为，由可得切线斜率为， 切线方程为， 把代入可得，即，解得； 把代入切线方程可得或. 所以可得过点且与曲线相切的直线的方程为或. 3．（24-25高二下·陕西西安·月考）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）设出切点坐标，求得切线方程并代入，求得切点坐标，进而求得切线方程. 【详解】（1）由得， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设切点为，， 则，切线方程为， 将代入上式得，， 由于，故上式可整理为， ，解得或， 所以切线方程为或， 即或. 4．（24-25高二下·河北邢台·月考）已知函数的图象经过点． (1)求曲线在点A处的切线方程． (2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可. 【详解】（1）依题意可得，则, ∵，∴， ∴曲线在点（1，5）处的切线方程为， 即； （2）设过原点的切线方程为，则切点为， 则,消去k，整理得， 解得或， 所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或． 5．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即. 【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 1．（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 3．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 【考点8：利用导数的几何意义求最值】 1．（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 2．（24-25高二下·河南·期末）已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（    ）． A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为 C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为 【答案】B 【分析】先判定与直线平行且与的图象相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标. 【详解】将化为， 即直线l的斜率为， 因为，所以， 令，得， ∴当M最小时，点P的坐标为， 此时点P到直线的距离为， 所以M的最小值为； 过点P且垂直于的直线方程为， 联立，得， 即点Q的横坐标为. 故选:B． 3．（多选）（24-25高二下·重庆南岸·月考）已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（    ） A．的最小值为 B．取最小值时的值为 C．的最小值为 D．取最小值时的值为 【答案】BC 【分析】将表示为函数 图象上的点到直线 上的点的距离的平方，利用导函数与函数切线的关系即可求解. 【详解】由 ，得： ， 的最小值可转化为函数 图象上的点到 直线 上的点的距离的平方的最小值， 由 得： ， 与直线 平行的直线的斜率为 ， 则令 ，解得： ， 切点坐标为 ， 到直线 的距离 . 即函数 上的点到直线 上的点的距离的最小值为 . 所以的最小值为 ， 过 与 垂直的直线为 ，即 . 由 ，解得： ，即当最小时， . 故选:BC. 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 5．（24-25高二下·江西宜春·期末）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知点在曲线上.点在曲线上.由的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值.设出切点由斜率为，即可求出切点，利用点到直线的距离即可求出最值. 【详解】因为 所以. 所以点在曲线上. 点在曲线上. 的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值. 等价于曲线平行于的切线到曲线的距离. 设切点为,, 则或（舍） 所以，切点. 该点到直线的距离为：. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思想.属于难题.其中的几何意义为点到点的距离是解本题的关键. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 导数的概念及其意义 【知识梳理】 1 【考点1：变化率问题】 3 【考点2：导数的定义】 3 【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】 4 【考点4：已知切线（斜率）求参数】 5 【考点5：在曲线上一点的切线方程】 5 【考点6：过一点的切线方程】 6 【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 8 【考点8：利用导数的几何意义求最值】 9 【知识梳理】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 4．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 5．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 6. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 7. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 8. 公切线—解题秘籍： ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 9. 利用导数的几何意义求最值—解题秘籍： ①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 【考点1：变化率问题】 1．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高三上·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 5．（25-26高二下·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是 . 【考点2：导数的定义】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．（25-26高二下·福建福州·期中）函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二下·江西·月考）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】 1．（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 2．（25-26高三上·河南·期中）曲线的切线斜率的最小值为 ． 3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西·期末）在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（    ）．    A． B． C． D．的解析式可能是 5．（2026高二上·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【考点4：已知切线（斜率）求参数】 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 3．（2025·云南昆明·一模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2026·全国·模拟预测）已知直线与函数的图象相切，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（25-26高三上·福建厦门·月考）若直线是函数的一条切线，则的最小值为 . 【考点5：在曲线上一点的切线方程】 1．（25-26高三上·天津滨海新·期中）曲线在处的切线方程为 ． 2．（25-26高二上·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 3．（24-25高二下·江西宜春·月考）若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广西桂林·期中）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求曲线在处的切线方程. 【考点6：过一点的切线方程】 1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·课后作业）求过点且与曲线相切的直线的方程． 3．（24-25高二下·陕西西安·月考）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 4．（24-25高二下·河北邢台·月考）已知函数的图象经过点． (1)求曲线在点A处的切线方程． (2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 1．（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【考点8：利用导数的几何意义求最值】 1．（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·期末）已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（    ）． A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为 C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为 3．（多选）（24-25高二下·重庆南岸·月考）已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则（    ） A．的最小值为 B．取最小值时的值为 C．的最小值为 D．取最小值时的值为 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 5．（24-25高二下·江西宜春·期末）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $