精品解析：辽宁省丹东市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： 故选D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示． 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元三次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式．根据概率公式可直接得出答案． 【详解】解：∵在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中任意选择一个游玩， ∴选到“虎山长城”的概率是， 故选：C． 4. 某校八年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，求八年级共有多少个班？若设八年级共有个班，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用-比赛问题．设共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：设八年级共有x个班，每个班都要赛场， 但两班之间只有一场比赛，一共有场比赛， 故， 故选：B． 5. 已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可得出答案. 【详解】∵（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根 ∴且k-1≠0 解得：.k＜2且k≠1 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的个数与判别式的关系：①当时，有两个不等实根；②当时，有两个相等实根；③当时，无实数根. 6. 某校操场上高6米的旗杆在水平地面上的影子长为9米，此时测得教学楼在水平地面上的影子长为18米，则教学楼的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 24米 D. 27米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的知识．设教学楼的高度为米，根据题意，则，解出，即可求解． 【详解】解：设教学楼的高度为米， ∴， ∴． ∴教学楼的高度为12米． 故选：B． 7. 如图，与交于点，且，则下列式子等于与面积比的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似比与面积比的关系，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题可知，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，则点的对应点坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可 【详解】解：∵以原点为位似中心，把缩小为原来的， ∴点的对应点坐标为或， 即或； 故选：D． 9. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 10. 如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．根据题意，是方程的一个根，得出，化简代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 13. 黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段．若点是线段的黄金分割点（），银杏叶主脉的长度为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义．根据题意可得，代入即可求出的长度． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图， 轴， ∴， ， 而， ， ∴， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点．有如下结论：①；②；③连接，当为直角三角形时，或；④当将分成两部分的面积之比为时，或．以上结论中，正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质． ①与为两个等腰三角形，得到，从而证明； ②证明即可证明结论； ③当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ④证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵将绕点D按逆时针方向旋转至，使， ， ， ， ， ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ，故②正确； 连接，当为直角三角形时， 如图，当时，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，当时，延长交于H，连接交于点O， 设， ， 则，， ， ， 在菱形中，， ， ， ，即， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时， ∴的情况不存在， 综上所述，的值等于8或，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或，故④正确； 则正确结论的序号是①②④； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程的解法． （1）需要分别计算特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂以及绝对值，再进行加减运算；（2）可以使用配方法求解一元二次方程． 【详解】（1）解： ； （2） 解： ，． 17. 如果一元二次方程的两根相差2，那么称该方程为“差2方程”，例如：是“差2方程”． （1）判断方程_____“差2方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于的方程（是常数）是“差2方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先因式分解法解一元二次方程，再根据题中定义判断即可； （2）先根据因式分解法求得方程的解，再根据题中定义列方程解答即可． 【小问1详解】 解：解方程， 因式分解得， ∴或， ∴，， ∵， ∴是“差2方程”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：由， ∴或， 解得，， ∵方程（n是常数）是“差2方程”， ∴或， ∴或． 18. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； （2）频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 【答案】（1），B （2）， （3）估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为 （人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； 【小问2详解】 解：由（1）知B等级的人数为人； ∵D等级的人数为人, ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； 【小问4详解】 解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 19. 如图，在中，点D、E分别是的中点，平分，交于点F，交于点G． （1）求证：四边形菱形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵在中，点D、E分别是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形菱形； （2）8 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，进而求出四边形的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 20. 坐落于丹东市振兴区站前广场的毛主席雕塑于2021年3月经辽宁省文物局认定，被确定为辽宁省第一批不可移动革命文物．如图，在某校科技小组实践活动中，小亮借助无人机测量丹东站前广场的毛主席雕塑的高度，采用如下的测量方案；无人机在雕塑正面的水平地面点处起飞，无人机首次悬停在点正上方的点处，此时无人机测得雕塑底座点的俯角为，无人机离地面的高度为，无人机从点处沿平行于的路线匀速飞向雕塑背面的点处，在处无人机测得雕塑顶点的俯角为． （1）求的长度； （2）若无人机水平飞行的速度为，无人机从点飞到点处，用时5秒，求雕塑的高度．（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，，，） 【答案】（1）的长度为； （2）雕塑的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求解即可； （2）延长交于点，求得，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求出的长． 【小问1详解】 解：在中，，， ∵， ∴， 答：的长度为； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图， 此时，四边形是矩形，， 由题意得， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：雕塑的高度为． 21. 阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 爱心义卖活动 今天，我参加了学校的爱心义卖活动，我和同学们制作手工制品参加义卖．我们准备了一些矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） 把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图①）后，折叠成一个无盖的长方体盒子（如图②），则该长方体盒子的底面面积是，我想知道该长方体盒子的高是多少厘米？ 在随后的义卖活动中，我了解到每块矩形硬纸板的成本为20元，若无盖长方体盒子以30元/个售出，则每天可售出12个．在义卖过程中发现，每个无盖的长方体盒子每降1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利128元，则每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 任务： （1）根据笔记内容，求出该长方体盒子的高； （2）根据笔记内容，求每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 【答案】（1）该长方体盒子的高为 （2）每个无盖长方体盒子应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为．分别表示出底面长、宽，再列出一元二次方程求解； （2）设每个盒子降价y元，分别表示出新售价、新利润、新销量再列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为． 原硬纸板长，剪去左右两个边角后，底面长变为． 原硬纸板宽，剪去上下两个边角后，底面宽变为． 可列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：该长方体盒子的高为； 【小问2详解】 解：设每个盒子降价y元，则： 新售价元， 新利润（元/个）， 新销量（个/天）， 可列方程：， 解得：， 答：每个无盖长方体盒子应降价2元． 22. 已知：两个反比例函数和（，）的图象如图1所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，且． （1）求和的值； （2）如图2，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，直线交轴于点，直线的表达式为（）． ①不等式的解集是_____； ②点是反比例函数图象上的一点，若的面积等于面积的三分之一，求点的坐标． ③点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）， （2）①或；②点的坐标为或；③的长度为或 【解析】 【分析】（1）先求得点，再求得点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）①观察图象，利用直线在反比例函数的图象的上方的范围；②先求得，设的边上的高为，求得，点的纵坐标为或，据此求解即可；③先求得直线的表达式，得到点的坐标为，设点的坐标为，分当和时两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点的纵坐标为2， 又∵， ∴点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； 【小问2详解】 解：①∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点的横坐标为2， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵直线的表达式为， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； ②∵点坐标为，点，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积等于面积的三分之一， ∴， 设的边上的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时，，解得， 此时点的坐标为； 当时，，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或； ③∵直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 令，∴， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查一次函数和反比例函数图象和性质，勾股定理等知识点；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用函数图象和勾股定理结合解题是关键． 23. 已知：如图1，在平行四边形中，，（），，点是垂足，将绕着点逆时针旋转，使点落在边上的点处，点的对应点为点，延长交所在直线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，与相交于点，试说明点是的中点； 针对（2）问，小明和小亮分别作了不同的辅助线，作法如下： 小明的辅助线：过点作交于点； 小亮的辅助线：过点作交的延长线于点， 小明和小亮的辅助线是否能完成证明，若能，请选择其中一种辅助线，并完成证明过程；若不能，请你找出证明方法，完成证明过程； （3）在（2）问的条件下，将沿翻折，得到，如图3，连接． ①当时，求的值： ②当，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到，即； （2）按小明的辅助线：证明，推出，再证明，得到，即点是的中点； 按小亮的辅助线：方法同按小明的辅助线； （3）①证明点都在以为直径的圆上，推出，得到，求得，即可得到； ②过点作交于点，分别过点和作直线的垂线，垂足分别为点和，求得，在中，求得，，再根据四边形的面积，计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：按小明的辅助线： 过点作交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； 按小亮的辅助线： 过点作交的延长线于点， 由旋转的性质知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； 【小问3详解】 解：①连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴，， 由翻折的性质知，， ∴， ∴点都在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②过点作交于点，分别过点和作直线的垂线，垂足分别为点和，如图， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，圆内接四边形，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某校八年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，求八年级共有多少个班？若设八年级共有个班，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 6. 某校操场上高6米的旗杆在水平地面上的影子长为9米，此时测得教学楼在水平地面上的影子长为18米，则教学楼的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 24米 D. 27米 7. 如图，与交于点，且，则下列式子等于与面积比的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，则点的对应点坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 第二部分 非选择题（共90分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知为锐角，，则的度数是______． 12. 若是方程的一个根，则的值为__________． 13. 黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段．若点是线段的黄金分割点（），银杏叶主脉的长度为，则的长为_____． 14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为_____． 15. 如图，在菱形中，，，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点．有如下结论：①；②；③连接，当为直角三角形时，或；④当将分成两部分的面积之比为时，或．以上结论中，正确结论的序号是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如果一元二次方程的两根相差2，那么称该方程为“差2方程”，例如：是“差2方程”． （1）判断方程_____“差2方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于的方程（是常数）是“差2方程”，求的值． 18. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； （2）频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 19. 如图，在中，点D、E分别是的中点，平分，交于点F，交于点G． （1）求证：四边形菱形； （2）若，求四边形的周长． 20. 坐落于丹东市振兴区站前广场的毛主席雕塑于2021年3月经辽宁省文物局认定，被确定为辽宁省第一批不可移动革命文物．如图，在某校科技小组实践活动中，小亮借助无人机测量丹东站前广场的毛主席雕塑的高度，采用如下的测量方案；无人机在雕塑正面的水平地面点处起飞，无人机首次悬停在点正上方的点处，此时无人机测得雕塑底座点的俯角为，无人机离地面的高度为，无人机从点处沿平行于的路线匀速飞向雕塑背面的点处，在处无人机测得雕塑顶点的俯角为． （1）求的长度； （2）若无人机水平飞行的速度为，无人机从点飞到点处，用时5秒，求雕塑的高度．（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，，，） 21. 阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 爱心义卖活动 今天，我参加了学校的爱心义卖活动，我和同学们制作手工制品参加义卖．我们准备了一些矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） 把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图①）后，折叠成一个无盖的长方体盒子（如图②），则该长方体盒子的底面面积是，我想知道该长方体盒子的高是多少厘米？ 在随后的义卖活动中，我了解到每块矩形硬纸板的成本为20元，若无盖长方体盒子以30元/个售出，则每天可售出12个．在义卖过程中发现，每个无盖的长方体盒子每降1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利128元，则每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 任务： （1）根据笔记内容，求出该长方体盒子的高； （2）根据笔记内容，求每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 22. 已知：两个反比例函数和（，）的图象如图1所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，且． （1）求和的值； （2）如图2，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，直线交轴于点，直线的表达式为（）． ①不等式的解集是_____； ②点是反比例函数图象上的一点，若的面积等于面积的三分之一，求点的坐标． ③点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 23. 已知：如图1，在平行四边形中，，（），，点是垂足，将绕着点逆时针旋转，使点落在边上的点处，点的对应点为点，延长交所在直线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，与相交于点，试说明点是的中点； 针对（2）问，小明和小亮分别作了不同的辅助线，作法如下： 小明的辅助线：过点作交于点； 小亮的辅助线：过点作交的延长线于点， 小明和小亮的辅助线是否能完成证明，若能，请选择其中一种辅助线，并完成证明过程；若不能，请你找出证明方法，完成证明过程； （3）在（2）问的条件下，将沿翻折，得到，如图3，连接． ①当时，求的值： ②当，时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $