专题06多项式的乘法寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题06多项式的乘法寒假预习讲义 预习重难点 核心重点 掌握法则：多项式×多项式=逐项相乘再求和，本质是两次乘法分配律。 规范步骤：展开→算单项式积→合并同类项，结果最简。 衔接基础：巩固单项式乘单项式、单项式乘多项式运算。 。核心难点 符号处理：含负号项相乘，严格遵循“同号得正、异号得负”。 防漏乘项：多因式项相乘时，逐项配对，不遗漏任意两项乘积。 混合运算：牢记“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”。 化简求值：必须先化简多项式，再代入数值计算。 高频易错点 漏乘项、符号错误、混合运算顺序混乱。 预习内容概览 必备知识 1.多项式的乘法法则 2.多项式的乘法的运算步骤与要点 点梳理 3.易错点提醒 1.单项式乘多项式：计算与求值 2.单项式乘多项式的实际应用 常考题型 3.单项式乘多项式求字母值 4.多项式乘多项式的计算 精讲精炼 5.(x+px+q)型多项式乘法 6.多项式乘积缺项求字母值 7,多项式乘多项式与图形面积 8.多项式乘法中的规律性问题 9.多项式乘多项式化简求值 10.整式乘法混合运算 强化巩固 (16题) 3 知识点梳理 【知识点01.多项式的乘法法则】 一、核心法则（重中之重） 试卷第1页，共3页 1.多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 字母表示：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd; 2.法则本质： 多次运用乘法分配律，转化为单项式乘单项式，再合并同类项。 (m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)-ma+mb+na+nba 3.几何意义： 以长方形面积为例，长(m+n)、宽(a+b)的长方形面积，可拆分为ma、mb、na、 b四个小长方形面积之和，直观验证法则正确性。 二、基础关联法则（运算基础) 1.单项式乘单项式 系数相乘、同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 例：2x2.3xy=6x3y。 2.单项式乘多项式： 用单项式乘多项式每一项，再相加。 字母表示：m(a+b+c)=ma十mb+mc。 【知识点02.运算步骤与要点】 基本步骤 1.按法则展开，确保每一项都见面”，无漏乘。 2.计算单项式乘积时，注意系数符号与同底数幂指数相加。 3.合并同类项，结果按某一字母升幂或降幂排列。 【知识点03.一措施提醒】 1.符号错误：带负号项相乘时，遵循“负负得正，正负得负”。 例：(x-2)x+3)=x2+3x-2x-6=x2+x-6,不是x2+3x+2x+6。 2.漏乘项：如(a+b)(c+d+e),需乘出ac+ad+ae+bc+bd+be,共2×3=6项，再合并。 3.同类项漏合并：结果必须是最简多项式，无同类项残留。 4.混淆运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 常考题型精讲精练 试卷第1页，共3页 【题型1.单项式乘多项式：计算与求值】 【典例】计算：（-4x2)(3x+1)=一 【跟踪专练1】如果一个长方体的边长分别为3x-4,2x,x,那么它的体积为() A.3x2-4x2 B.x2 C.6x3-8x2 D.6x2-8x2 【跟踪专练2】已知ab2=-1,则(-ab)(ab3-ab3-b)的值为 【题型2.单项式乘多项式的实际应用】 【典例】一个长方体的长、宽、高分别为3x-4,2x和x,则它的体积等于() A.23x-4到2x=3x2-4x B.2x C.(3x-42x·x=6x3-8x2 D.（3x-4·2xx=6x2-8x 【跟踪专练1】一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：m),现在需要把滑梯区和休闲 区都铺上软垫，那么至少需要 m2的软垫（用含有a、b的式子表示）. 休闲区 b 5a 滑梯区 地 3a 区 7b 【跟踪专练2】如图，三个边长分别为a,b,C的正方形并排放置，记阴影部分的面积为S ，则下列关于S的说法正确的是() b A.S的值与a的取值无关 B.S的值与b的取值无关 C.S的值与C的取值无关 D.S的值与a,b,C的取值均有关 【题型3.单项式乘多项式求字母值】 【典例】已知：（x4"+ym+3x”=x4+x2y,则m+n的值是() 试卷第1页，共3页 A.3 B.4 C.5 D.6 【跟踪专练1】2xm-x2)=4x3y2-2x3,则m= 【跟踪专练2】若计算x2+ax+5)(-2x)-6x2的结果中不含xX2项，则常数a的值为() A.-3 B司 c.0 D.3 【题型4.多项式乘多项式的计算】 【典例】计算：（x-1)(x2+x+1= 【跟踪专练1】若(x-4)(2x+1=2x2+ax-4,则a的值为() A.-7 B.-5 C.5 D.7 【跟踪专练2】若关于x的二次三项式3x2+mx-6=(3x-2)(x+n),则2mn的值是 【题型5.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 【典例】若(x-5)(x+3)=x2-mx-15,则m的值为() A.8 B.-2 C.2 D.5 【跟踪专练1】如果x2+mx-15=(x+3)(x+n),那么m+n的值为 【跟踪专练2】若(x+a)(x-5)=x2+bx-10,则ab-a+b的值是() A.7 B.-1 C.-7 D.-11 【题型6.多项式乘积缺项求字母值】 【典例】若x+m与x-5的乘积中不含x的一次项，则m的值是」 【跟踪专练1】已知(x+a(x+b)=x2+mx+n,若不论a为何值，2m-n的值始终是一个确定 的值，则这个确定的值是( A.4 B.2 C.-4 D.-2 【跟踪专练2】己知(x2+mx+n)x2-5x+3)的乘积中不含x项与X2项，则m+n= 【题型7.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】一块长方形劳动基地的长是m,宽是bm,现在要扩建这块劳动基地，给它的长 和宽各增加2m,扩建后劳动驻地的面积比原来增加了() 试卷第1页，共3页 A.4m2 B.(2a+2b)m2 C.(2a+2b+4m2D.（a+b+4m2 【跟踪专练1】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式. 例如，由图1可以得到(m+m2=m2+2mn+n2,请参考由图1得到的等式，写出图2所表 示的数学等式： q b m n Q m n 图1 图2 【跟踪专练2】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是() 2 2 A.x2+5x B.x(x+3)+6 C.3(x+2)+x2 D.(x+3(x+2)-2x 【题型8.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】在数学综合与实践课上，老师给出了一组等式：1×2×3×4+1=(+3×1+1)， 2×3×4×5+1=(2+3×2+1),3×4×5×6+1=(32+3×3+1),…根据你的观察，则： n×(n+1)×(n+2)×(n+3)+1= 【跟踪专练1】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数 及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”.则(a+b)°展开式中所有项的 系数和是) (a+b)°=1 (a+b)'=a+b 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 133 1 (a+b)4=a+4a3b+4ab3+6a2b2+b4 4 641 1 510105 1 (a+b)5=a3+5ab+10ab2+10a2b3+5ab4+b A.512 B.1024 C.2048 D.4096 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】观察下列各式： x-1)(x+1=x2-1: (x-1)(x2+x+1=x3-1: (x-1)(x3+x2+x+1=x4-1: 根据规律计算：22024-22023+2202-22021+…+24-23+22-2的值是」 【题型9.多项式乘多项式化简求值】 【典例】已知a-b=3,ab=-2,则(a+1)(b-1)= 【跟踪专练1】已知m+n=3,mn=2,则(m-1)(n-1的值为() A.0 B.2 C.-2 D.6 a b 1 2 【跟踪专练2】规定 c d =ad-bc,例如 4 =1×4-2×3=4-6=-2.已知 3 x+2-1 2x-3 =6,则x2-x+2的值为 【题型10.整式乘法混合运算】 【典例】若圆柱的底面半径和高均为a,则它的体积是一（用含a的代数式表示）· 【跟踪专练1】计算(a+b)川a2-ab+b2)=】 【跟踪专练2】如图，正方形ABCD,点E为CD延长线上一点，以CE为边向右作正方形 CEFG,连结AE,AG,EG.若要求出△AEG的面积，只需知道() B A.AB的长 B.AG的长 C.AE的长 D,CG的长 强化巩固 1.长方形一边长为2a+b,另一边比它小a+b,则长方形面积为() 试卷第1页，共3页 A.2a2+ab-b2 B.2a2+5ab+2b2 C.4a2+4ab+b2 D.2a2+ab 2期定 x-22 =ad-bc,若 =2,则x2-4x=() 3x-2 A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知A=-4x4,B是多项式.在计算AB时，小马同学把A·B看成了A-B,结果得 32x3-16x4,则A·B的结果为() A.-128x9+x8B.128x9-84x8 C.128x°-48x8 D.128x9 4.己知x2-x+3=0,则(x-3)x+2)的值等于() A.-4 B.-1 C.-9 5.已知关于x的多项式ax+b与3x2-x-2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系 数为-7，则ab的值为 6.设实数满足x3=-2x+1,若x=ax2+bx+c,则a-2b+c的值为() A.-14 B.14 C.-6 D.6 7.杨辉三角形是形如(a+b)”（这里n=1,2,3,4...）的展开式的系数在三角形中的一 种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中.1854年：法国数学家帕斯卡也 发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就.如 图是杨辉三角形与(a+b)”展开式的部分对照，请回答下列问题 (a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 1 2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 33 6 (1)(a+b)'的展开式中系数为10的项是 (2)(a-b)223的展开式中ab202的系数是 8.n为非零自然数，若9n2+5n+26为两个连续自然数之积，则的值是 9.图1是把两个边长为☑的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片放置在长方形内，图2 是把两个边长为b的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是 试卷第1页，共3页 未被这三张正方形纸片覆盖的部分.设图1阴影部分面积为S,图2阴影部分面积为S,.若 AB=m,a-b=m ,则S2-S= (用含m的代数式表示). 10 图1 图2 10.矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸 片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S,;按照图②放置，矩形纸片 没有被两个正方形覆盖的部分面积为S,；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的 部分的面积为S,已知S,-,=2,S2-S,=9,设AD-AB=m,则mb=一 D ① ③ 解答题 11.先化简，再求值：x2(3-x)+xx2-2x+1,其中x=3. 12.计算： (1)a-1(a-2)-aa-5; (2)3xx+2)-(x+1)(3x-4. 13.计算： (ab2ab-3ab): (2)a2a-5+3aa+2)-5aa-1: (3)aa2+ab+b2）-ba2+ab+b2）. 14.欢欢在计算A(-4x)时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是 2x2+3r-1. (①)求正确的计算结果B, (2)若C=2x2+6x,在(1)的条件下，计算(A-C)·B的结果. 试卷第1页，共3页 15.如图，长方形ABCD中，AB=x(6<x<9),AD=y(6<y<9,放入一个边长为6的 正方形AEFG和两个边长都为3的正方形CHIW及正方形DKMN,S,S2,S分别表示对应阴 影部分的面积 KG S (1)NH=,KG=,BJ=;(结果用含x或y的代数式表示) (②)若S,=S,求长方形ABCD的周长. 16.阅读：在计算(x-1)(x”+x-+x”-2+…+x+)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情 形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法， 数学中把这样的过程叫做从特殊到一般.如下所示： 【观察】①(x-1)(x+1)=x2-1: ②(x-10(x2+x+1)=x3-1; ③(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1: 【归纳】（1)由此可得(x-1)(x+x-+x"-2+…+x+)= ； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算22025+22024+22023+…+22+2+1= (3)计算220-29+28-21”+…-23+22-2+1=： (4)若x3+x4+x3+x2+x+1=0,求x2025的值， 试卷第1页，共3页 专题06多项式的乘法寒假预习讲义 · 核心重点 掌握法则：多项式 × 多项式 = 逐项相乘再求和，本质是两次乘法分配律。 规范步骤：展开→算单项式积→合并同类项，结果最简。 衔接基础：巩固单项式乘单项式、单项式乘多项式运算。 · 核心难点 符号处理：含负号项相乘，严格遵循 “同号得正、异号得负”。 防漏乘项：多因式项相乘时，逐项配对，不遗漏任意两项乘积。 混合运算：牢记 “先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”。 化简求值：必须先化简多项式，再代入数值计算。 · 高频易错点 漏乘项、符号错误、混合运算顺序混乱。 必备知识 点梳理 1.多项式的乘法法则 2.多项式的乘法的运算步骤与要点 3.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.单项式乘多项式:计算与求值 2.单项式乘多项式的实际应用 3.单项式乘多项式求字母值 4.多项式乘多项式的计算 5.(x+p)(x+q)型多项式乘法 6.多项式乘积缺项求字母值 7.多项式乘多项式与图形面积 8.多项式乘法中的规律性问题 9.多项式乘多项式-化简求值 10.整式乘法混合运算 强化巩固 (16题) 【知识点01.多项式的乘法法则】 一、核心法则（重中之重） 1.多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd； 2.法则本质： 多次运用乘法分配律，转化为单项式乘单项式，再合并同类项。 如(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)=ma+mb+na+nb。 3.几何意义： 以长方形面积为例，长(m+n)、宽(a+b)的长方形面积，可拆分为ma、mb、na、nb四个小长方形面积之和，直观验证法则正确性。 二、基础关联法则（运算基础） 1.单项式乘单项式： 系数相乘、同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 例：2x2⋅3xy=6x3y。 2.单项式乘多项式： 用单项式乘多项式每一项，再相加。 字母表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc。 【知识点02.运算步骤与要点】 基本步骤 1.按法则展开，确保 “每一项都见面”，无漏乘。 2.计算单项式乘积时，注意系数符号与同底数幂指数相加。 3.合并同类项，结果按某一字母升幂或降幂排列。 【知识点03.一措施提醒】 1.符号错误：带负号项相乘时，遵循 “负负得正，正负得负”。 例：(x−2)(x+3)=x2+3x−2x−6=x2+x−6，不是x2+3x+2x+6。 2.漏乘项：如(a+b)(c+d+e)，需乘出ac+ad+ae+bc+bd+be，共2×3=6项，再合并。 3.同类项漏合并：结果必须是最简多项式，无同类项残留。 4.混淆运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 【题型1.单项式乘多项式:计算与求值】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练1】如果一个长方体的边长分别为，，，那么它的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的乘法运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据长方体的体积公式列式计算即可求解． 【详解】解：， ∴长方体的体积为， 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故答案为： 【题型2.单项式乘多项式的实际应用】 【典例】一个长方体的长、宽、高分别为，2x和x，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意知，长方体的体积=长×宽×高， ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键． 【跟踪专练1】一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示出滑梯区和休闲区的面积，再求出它们的和，即可作答． 【详解】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 【题型3.单项式乘多项式求字母值】 【典例】已知：，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】已知等式左边利用单项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出m+n的值． 【详解】=+, ∴n=2，m+3=7，即m=4，n=2， 则m+n=4+2=6. 故选D 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【跟踪专练1】，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 【题型4.多项式乘多项式的计算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则a的值为（    ） A．－7 B．－5 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 展开左边表达式，与右边比较x的系数，即可求出a的值． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较x项系数，得 ， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若关于x的二次三项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式相等的条件，代数式求值． 按照运算法则计算，根据对应项系数相等，可得和，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 【题型5.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 【典例】若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的法则，掌握此知识点是解答此题的关键．先把等式的左边化为的形式，再求出m的值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 故选：C． 【跟踪专练1】如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先利用多项式乘多项式法则计算，再利用等式的性质得关于m、n的方程，求出m、n得结论，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代入消元法，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据多项式乘以多项式法则，得到关于，的方程组求解，再将方程组的解代入代数式求值． 【详解】解：， 又， 所以， 解得：， 所以， 故选：D． 【题型6.多项式乘积缺项求字母值】 【典例】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．先计算，再根据乘积中不含x的一次项，即可求出m的值． 【详解】解：， 与的乘积中不含x的一次项， ， 解得：， 的值是5． 故答案为：5． 【跟踪专练1】已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】已知的乘积中不含项与项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为． 【详解】解：∵ ， 又∵结果中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型7.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】一块长方形劳动基地的长是，宽是，现在要扩建这块劳动基地，给它的长和宽各增加，扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．先根据题意列出代数式，并进行正确地计算，即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：C． 【跟踪专练1】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到，请参考由图1得到的等式，写出图2所表示的数学等式： ．    【答案】 【分析】根据正方形的两种面积得出答案即可． 【详解】解：根据正方形面积公式可以表示图2面积为，用九个图形的面积和求出图2面积为：， ∴图2所表示的数学等式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，解题的关键是用两种方法表示正方形的面积． 【跟踪专练2】下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 【题型8.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】在数学综合与实践课上，老师给出了一组等式：，，，根据你的观察，则： ． 【答案】 【分析】找出题目规律，按要求书写即可． 【详解】由题目呈现规律可知： 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律问题，快速确定式子规律是解题的关键． 【跟踪专练1】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 【跟踪专练2】观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类、多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意找到规律，然后代入，进而得出答案． 【详解】解：由题中规律可得，当时， ， 即， 即， 即， 即． 故答案为：． 【题型9.多项式乘多项式-化简求值】 【典例】已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练2】规定，例如．已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查定义新运算，多项式乘以多项式，代数式求值，根据新定义，以及多项式乘以多项式的法则，得出，再代入进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 【题型10.整式乘法混合运算】 【典例】若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 【跟踪专练1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 1．长方形一边长为，另一边比它小，则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、多项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意，先求出长方形的另一边长，再利用多项式乘法计算面积． 【详解】解：∵一边长为 ，另一边比它小 ， ∴另一边长为： ∴长方形的面积为： 故选：D． 2．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 3．已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 4．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将展开化简，再根据已知条件变形得到的值，最后代入化简后的式子计算．本题主要考查了多项式乘法的展开以及整体代入思想，熟练掌握多项式乘多项式法则并能根据已知条件进行整体代入是解题的关键． 【详解】解：， ∴, ∴，即， 故选：C ． 5．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 6．设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 7．杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 【答案】 2023 【分析】本题主要考查了整式中的规律计算，准确找出相应的规律是解题关键． （1）根据规律将的展开即可得到结果； （2）每一行，倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的展开式中系数为10的项是和， 故答案为：，； （2）∵展开后每一行倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数， ∴的展开式中的系数是2023， 故答案为：2023． 8．为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 【答案】2或6 【分析】可分析确定，进而或，分别求解； 【详解】； ∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 【点睛】本题考查整式的运算，运用整式乘法确定代数式的取值范围是解题的关键． 9．图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 10．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 解答题 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：， 当时，原式． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据错误的运算（加号）求出整式，再通过正确的运算（乘号）计算结果； （2）先求出的表达式，再与进行整式乘法运算． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 则正确的计算结果． （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减与整式乘法运算，解题关键是先通过错误运算逆向求出整式，再按照整式运算的法则逐步计算． 15．如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据题意和图形列出代数式即可； （）由可得，即得，进而即可求解； 本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴长方形的周长． 16．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $