精品解析：辽宁省鞍山市部分高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期期末试卷 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选必一，选择性必修二结束 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（     ） A. B. C. D. 4. 设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 7. 若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含项的系数为（ ） A. 80 B. C. 14 D. 8. 在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为2 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 C. 若是双曲线的一个焦点，则 D. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则 10. 已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与所成的角为 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有_____种不同的站法（用式子作答）. 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 14. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． （1）若直线的斜率是，求的值； （2）若是坐标原点，求的值． 16. 如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 17. 某市为了解高三年级不同性别的学生对体育活动课改上体育课的态度（肯定还是否定），从全市11所高中的高三年级按分层抽样方法抽取100名学生的样本进行问卷调查，得到如下列联表： 肯定 否定 总计 男生 25 35 60 女生 25 15 40 总计 50 50 100 （1）判断能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？ 参考公式与数据： ，其中 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （2）用这100名学生的样本估计总体，从全市高三年级任取3名女学生，用X表示这3名女学生中持肯定态度的人数，求X的分布列和数学期望． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，E为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为. （Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末试卷 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选必一，选择性必修二结束 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定方程直接求出焦点坐标即得. 【详解】抛物线的焦点在y轴的正半轴上，坐标为. 故选：D 2. 设随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案. 【详解】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称, 因为， 故， 故选：B 3. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解. 【详解】解：双曲线的焦点坐标为：， 即椭圆的焦点为， 又长轴长为6，即， 所以椭圆的方程为， 故选：B 4. 设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据条件概率及全概率公式计算可得. 【详解】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”， 则. 设“取到产品是次品”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 5. 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【详解】设线段中点，则在圆上运动， ，即． 故选：A 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 7. 若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含项的系数为（ ） A. 80 B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案. 【详解】由二项式，则其展开式的通项， 展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为，，则，解得， 则通项为， 令，解得，则展开式中含项的系数为. 故选：A. 8. 在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设，由题目条件可得，即可得答案. 【详解】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设. 因，则. 因平面PFOE，平面PFOE，则，且为PA与平面PBC所成角， 又，，平面AOE，平面AOF， 则平面AOE，平面AOF. 又平面AOE，平面AOF，则. 又，，，则， 故，结合，得. 又，则，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为2 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 C. 若是双曲线的一个焦点，则 D. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质一一判断即可. 【详解】对于A，双曲线的实轴长为，故错误． 对于B，因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，故B错误． 对于C，若是双曲线的一个焦点，则，解得，故C正确． 对于D，双曲线的两条渐近线为， 若两条渐近线相互垂直，则，解得，故D正确． 故选：CD 10. 已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A；利用空间向量的数量积的运算，证明线面位置关系判断B；根据割补法求得三棱锥的体积判断C；利用空间角的向量求法求得直线与所成的角判断D. 【详解】对于A，在正方体中，, 平面，平面，故平面，A正确； 对于B，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 连接，，则, 则，， 则，， 故，即, 而平面，故平面，B正确； 对于C，连接， 三棱锥的体积 ，C错误； 对于D，连接EF，， 则， 故， 即，由于异面直线所成角大于小于等于， 故直线与所成的角为，D正确， 故选：ABD 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】对于A：令得，A错误； 对于B：令得①， 令得②， ①+②得， 所以，B正确； 对于C：①-②得， 所以，C错误； 对于D：令得， 又，所以，D正确； 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有_____种不同的站法（用式子作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先把8名学生排成一排，产生9个空，再把2位教师插入即可. 【详解】8名学生排成一排有种方法，此时产生9个空， 再把2位教师插入有种方法， 所以有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有种不同的站法， 故答案为： 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 【答案】 【解析】 【分析】先根据分布列的性质可得，再计算随机变量X的期望及方差，最后再根据方差的性质可得结果. 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 14. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即得． 【详解】圆心为，圆心到直线距离为，∴圆上的点到直线的距离的最大值为． 【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（直线与圆相离时，否则最小值为0）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． （1）若直线的斜率是，求的值； （2）若是坐标原点，求的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程可求解方程两个根，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 抛物的焦点是，直线方程是，与，联立得：， 解得，所以． 【小问2详解】 当垂直于轴时，． 当不垂直于轴时，设，代入得， 所以，从而． 故， 综上． 16. 如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点. （1）求点N到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得空间向量的坐标，然后由求点N到直线的距离； （2）求得平面的一个法向量为及向量的坐标，然后利用求点到平面的距离. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∵N是的中点， ∴. （1），则. 设点N到直线的距离为， 则. （2）设平面的一个法向量为， 则由， 得， 令，则，即. 易知，设点到平面的距离为， 则. 【点睛】本题主要考查空间距离的向量求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 某市为了解高三年级不同性别的学生对体育活动课改上体育课的态度（肯定还是否定），从全市11所高中的高三年级按分层抽样方法抽取100名学生的样本进行问卷调查，得到如下列联表： 肯定 否定 总计 男生 25 35 60 女生 25 15 40 总计 50 50 100 （1）判断能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？ 参考公式与数据： ，其中 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （2）用这100名学生的样本估计总体，从全市高三年级任取3名女学生，用X表示这3名女学生中持肯定态度的人数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）没有 （2）的分布列为 0 1 2 3 ，【解析】 【分析】（1）由题意计算出与附表中数据比较可得答案； （2）由题意可知，由此可得分布列及期望. 【小问1详解】 由题意， ∴没有97.5%的把握认为态度和性别有关； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， 由题意可知女生中持肯定态度的概率， ∵~ ， 所以 ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 ∴. 18. 如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，E为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连结交于，连结如下图所示： 因为为正方形，所以是中点． 又为中点，所以． 平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连结，利用三角形中位线以及线面平行的判定定理即可得出证明； （2）根据线面垂直性质可知两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求出直线与平面所成角的正弦值为； （3）利用二面角的向量求法即可求出二面角的余弦值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以； 又因为为正方形，所以 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 不妨设，则，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 即，取，可得，即； 故直线与平面所成角正弦值为． 【小问3详解】 设是平面的一个法向量， 则，解得，取，可得， 即可得． 因为， 由图可知二面角是钝二面角， 故二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为. （Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求 试题解析：（1）为等边三角形，则 椭圆的方程为：； （2）容易求得椭圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得，设， 则， ∵， ∴， 即 解得，即， 故直线的方程为或. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $