精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学2026届高三上学期期末考试数学试题

哈三中2025～2026学年度上学期高三学年期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，得到，，根据交集概念求出答案. 【详解】，故， ，故，解得，所以， 所以. 故选：C 2. 双曲线的焦点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得的值，结合双曲线的焦点在轴上，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又因为双曲线的焦点在轴上，可得双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. ﹣448 B. ﹣56 C. 56 D. 448 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中的系数． 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的系数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到数列的通项公式，再运用裂项相消求和即可得解. 【详解】由题意可知，，， 则， ， ， ， 所以， 所以. 故选：D. 5. 某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（ ）． A. 72种 B. 66种 C. 42种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】分选甲和不选甲两种情况讨论，结合排列知识，或分步乘法计数原理即可求解 【详解】若没有选甲，不同的安排方法有种；若选甲，则有种安排方法，故一共有种安排方法. 故选：A 6. 已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图像，求得，设，得到，根据题意，转化为和 的图像有两个不同的交点，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得，且，所以 ， 则 ，所以， 又由 ，可得，即， 解得，解得， 因为，所以，所以， 又由，可得， 设，则，可得， 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 且，，且， 要使得方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 即函数和 的图像在上有两个不同的交点， 如图所示，可得，即实数的取值为. 故选：A. 7. 如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥 中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正四棱锥的高，利用相切可求球的半径，结合体积公式可得答案. 【详解】正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，所以斜高为，高为， 设底面中心为, 的中点为，如图，截面中，设为球与平面 的切点，则在上，且. 设球的半径为,则, 因为，所以，所以, 所以，即. 设球与球相切于点，则，设球的半径为 ， 同理可得，所以，故小球的体积为. 故选：A 8. 已知函数对任意，成立，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C （二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 空间内三点确定一个平面 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面确定定理可判断A；根据线面垂直性质可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，不在同一条直线上的三点确定一个平面，若三点共线，则可确定无数个平面，故A错误； B选项，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾，所以，，是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知， 四点共面， 故D正确. 故选：BCD. 10. 已知i为虚数单位，复数 ，则（ ）． A. B. C. D. 的虚部为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的模长公式，复数的运算定义及性质可依次判断. 【详解】 ，，故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ，的虚部为，故D错误. 故选：AC 11. 若数列对任意，有，则称数列为“速减数列”，则（ ）． A. 数列为“速减数列” B. 数列为“速减数列” C. 数列为“速减数列”，且任意项，，，，则k的最大值为63 D. 已知项数为的数列是“速减数列”，且数列的所有项的和等于k，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由速减数列的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以 所以，即，所以数列为“速减数列”. 所以A正确. 对于B，因为， ， . 所以， 所以数列不是“速减数列”，所以B错误； 对于C，因为数列中，任意项，所以任意两项的差均为整数. 数列为“速减数列”，，，所以. 所以，所以； 同理，所以； … . 累加得， 所以，所以. 因为，所以，即，所以. 所以.所以C正确. 对于D，已知项数为的数列是“速减数列”，所以对任意，有， 所以，所以. . 由数列的所有项的和等于k，得， 所以. 因为，所以.所以D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的范围和平方关系求出，结合和角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C的两个焦点为，，从发出的光线经 上点P反射后经过．C与l有公共点，当椭圆C的短轴最短时C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于直线 对称点为，再结合椭圆的光学性质可得， 即可求出；再结合直线与椭圆有公共点，联立两方程式则可得， 再利用 即可求得，从而可求解. 【详解】设点关于直线 对称点为， 则，解得，即， 根据椭圆的光学性质，从发出的光线经直线上点 反射后经过，则， 所以， 又因为，当且仅当 在与直线的交点时取等号， 又因为， 对于椭圆上的任意一点满足，则； 又因直线与椭圆有公共点，则将代入椭圆， 化简得， 则，化简得， 因，所以，解得（负值舍去）， 所以要使椭圆的短轴最短即，此时满足， 故椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知函数，，，的零点分别为，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据零点定义，结合同底的指数函数和对数函数的对称性、数形结合思想进行求解即可. 【详解】， 当时， 直线与指数函数的图象的交点的横坐标为，， ， 当时， 直线与对数函数的图象的交点的横坐标为，， 指数函数的图象与对数函数的图象关于直线对称， 且直线与直线互相垂直，如下图所示： 又，即， 所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥 的底面为直角梯形，其中 ， ，且平面平面，，，E为中点． （1）求证： 平面 ； （2）若平面与平面 的夹角的余弦值为，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可证四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理得证； （2）取 中点O，连接，过O作 ．建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角的余弦值，进而求得四棱锥的高，从而求得体积. 【小问1详解】 取中点F，连接，． ∵E为中点，F为中点，∴ 且． 又且，∴ 且 ， ∴四边形为平行四边形，∴ ， 又∵平面 ，平面 ， ∴ 平面 ． 【小问2详解】 取 中点O，连接，过O作 ． ∵，∴ ． 又∵平面平面，平面平面， 平面 ， ∴ 平面． 以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则， 设平面的法向量， ，， ，则，取 ，则， 所以平面的一个法向量为， 平面 的法向量， ，解得， ∴． 16. 数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式； （2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和． 【小问1详解】 令，则，， 当时，， 也符合上式，∴ ； 当时，由，可得， 两式相除可得，也符合上式，∴． 【小问2详解】 ， ，，…，， ，，，…，， 将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次， 则，，…， ，，，…，， ∴ ． 17. 如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，． （1）若，求的距离； （2）求 面积的最小值． 【答案】（1）（海里） （2）（平方海里）． 【解析】 【分析】（1）在 和 中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在 和 中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． 【小问2详解】 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 18. 已知函数． （1）当 时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证： ． 【答案】（1） 或 ． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明如下： ，， 令，， 则，，且， ∴， 令 ，则， ∴，； 要证 ，即证 ， 即证 时， ， 令，则， 当时， ，单调递增， ， ∴ 时，，不等式得证． 【解析】 【分析】（1）先写出的表达式，根据导数几何意义、设切点坐标，表示出切线方程，代入点，即可求得切点坐标，再代入切线方程，则问题得解； （2）（ⅰ）求导，根据极值点，可分离参数得，构造函数，求其导数分析单调性，再结合题目条件确定a的取值范围； （ⅱ）根据换元法（令，），转换对数运算，再根据待证不等式，构造相应函数，分析单调性，证明 时，，从而得证. 【18题详解】 当 时，，， 设切点为， ∴函数在处的切线方程为， 将点代入切线方程得， ，解得 或1， ∴曲线在点处的切线为 ，在点处的切线为 ； 【19题详解】 （ⅰ）， ∵有2个极值点，∴方程有2根，， 令，， 在上，，单调递增，在上， ，单调递减， 当 时， ，当时，， ，当时， ， ∴a的取值范围是； （ⅱ）略 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当 时，求证：． 【答案】（1） ； （2）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出准线方程，从而得到 ，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立 ，求出两根之和，两根之积，联立化简得，，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列，故，；（ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到，所以是首项为1，公比为2的等比数列，，求出，从而放缩得到，利用等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 抛物线的准线为， 依题意，圆心到准线的距离为，可得 ， 所以抛物线E的方程为 ． 【小问2详解】 （ⅰ）过且斜率为的直线方程为， 代入 得， 由韦达定理：，①， 设直线的方程为，代入 得， 则，可得②， 同理，由，可得③， 则直线的斜率， 直线的方程为：， 将代入化简得（*）， 将②③代入，结合①可得， 再代入（*）式，化简得， 由于，，满足， 则，， 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则，． （ⅱ）由（ⅰ）可得，， ，，， ，，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因，其中， 则， 故， ，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025～2026学年度上学期高三学年期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. ﹣448 B. ﹣56 C. 56 D. 448 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）． A. B. C. D. 5. 某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（ ）． A. 72种 B. 66种 C. 42种 D. 36种 6. 已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥 中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数对任意 ，成立，则（ ）． A. B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 空间内三点确定一个平面 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10. 已知i为虚数单位，复数 ，则（ ）． A. B. C. D. 的虚部为 11. 若数列对任意，有，则称数列为“速减数列”，则（ ）． A. 数列为“速减数列” B. 数列为“速减数列” C. 数列为“速减数列”，且任意项，，，，则k的最大值为63 D. 已知项数为的数列是“速减数列”，且数列的所有项的和等于k，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知，，则______． 13. 椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C的两个焦点为，，从发出的光线经 上点P反射后经过．C与l有公共点，当椭圆C的短轴最短时C的标准方程为______． 14. 已知函数，，，的零点分别为，，则______． 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥 的底面为直角梯形，其中 ， ，且平面平面，，，E为中点． （1）求证： 平面 ； （2）若平面与平面 的夹角的余弦值为，求四棱锥 的体积． 16. 数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 17. 如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，． （1）若，求的距离； （2）求 面积的最小值． 18. 已知函数． （1）当 时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证： ． 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当 时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $