黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

出题人：高三备课组 审题人：王丽娜 哈尔滨市第三十二中学校 2025-2026学年度（上）学期 高三数学期末试卷 考 生 须 知 1．考生要认真填写班级和姓名。 2．本试卷共2页，分为两卷，第I卷选择题11小题(共58分)；第II卷非选择题(共92分)。满分150分。考试时间120分钟。 3．试题所有答案必须书写在答题卡上。 4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。 第I卷 选择题(共58分) 1、 选择题(单选题，每个小题5分，共40分) 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D．6 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则它的侧面积是（   ） A． B． C． D． 6．方程 的实数根的个数为 A．0 B．1 C．2 D．不确定 7．要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、选择题(多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分) 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 10．如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若正数满足，则 C．函数的最小正周期是 D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知x、y是实数，向量，不平行，若，则 ． 13．在中，若，则的大小为 . 14．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 四、解答题（共77分） 15．(13分)记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 16．(15分)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 17．(15分)如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 18．(17分)已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 19．(17分)已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.N是的中点，M是的中点. (1)求证平面；（此问传统立体几何方法和空间向量两种方法都可使用） (2)求平面与平面所成二面角的余弦值；（此问使用空间向量的方法） (3)求点B到平面的距离.（使用空间向量的方法） 2025-2026学年度（上）学期 高三数学期末试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A B B C A BD BCD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14．1 15．(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 16．(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 17．(1) (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”的表面积为. （2）连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体的体积． 所以这种“笼具”的体积为. 18．(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质可得四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （3）利用空间向量法求解点面距即可. 【详解】（1）取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，得， 又平面，平面， 所以平面. （2）建立如图空间直角坐标系， 则， 有， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则， 令，得， 所以， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. （3）由，平面的一个法向量为， 得， 即点到平面的距离为. 第 5 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $