黑龙江省哈尔滨市第三中学2026届高三上学期期末考试数学试题

哈三中2025～2026学年度上学期高三学年期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. ﹣448 B. ﹣56 C. 56 D. 448 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）． A. B. C. D. 5. 某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（ ）． A. 72种 B. 66种 C. 42种 D. 36种 6. 已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数对任意，成立，则（ ）． A. B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 空间内三点确定一个平面 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10. 已知i为虚数单位，复数，则（ ）． A. B. C. D. 的虚部为 11. 若数列对任意，有，则称数列为“速减数列”，则（ ）． A. 数列为“速减数列” B. 数列为“速减数列” C. 数列为“速减数列”，且任意项，，，，则k的最大值为63 D. 已知项数为的数列是“速减数列”，且数列的所有项的和等于k，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知，，则______． 13. 椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C的两个焦点为，，从发出的光线经上点P反射后经过．C与l有公共点，当椭圆C的短轴最短时C的标准方程为______． 14. 已知函数，，，的零点分别为，，则______． 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 16. 数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 17. 如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，． （1）若，求的距离； （2）求面积的最小值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 19. 已知抛物线的准线与圆相切． （1）求抛物线E的方程； （2）依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点． （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 哈三中2025～2026学年度上学期高三学年期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C （二）多项选择题（共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） 取中点F，连接，． ∵E为中点，F为中点，∴且． 又且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 【17题答案】 【答案】（1）（海里） （2）（平方海里）． 【18题答案】 【答案】（1）或． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明如下： ，， 令，， 则，，且， ∴， 令，则， ∴，； 要证，即证， 即证时，， 令，则， 当时，，单调递增，， ∴时，，不等式得证． 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（ⅰ），； （ⅱ）由（ⅰ）可得，， ，，， ，，， 代入得，化简得， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，． 因，其中， 则， 故， ，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $