贵州省遵义航天高级中学2026届高三上学期数学模拟检测数学试题

秘密★启用前 遵义市航天高级中学高三模拟检测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液等。 阅卷人 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 得分 1．体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 3 4 30 A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 2．若复数满足（是虚数单位），则（　　） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知集合，，则（　　）． A． B． C． D． 5．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（　　） A． B．4 C． D．2 6．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（　　） A． B．2 C． D． 7．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 8．若，，则 （　　） A． B． C． D． 阅卷人 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 得分 9．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 10．已知为函数的极值点，则（　　） A． B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 11．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 阅卷人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 得分 12．设向量，，，若，则实数λ的值为　 　. 13． 已知函数在时有极值0，则= 　 　 . 14．已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为　 　． 阅卷人 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 得分 15．已知是函数的一个零点. （1）求实数的值； （2）求单调递减区间. （3）若，求函数的值域。 16．已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 17．如图，在长方体中有一八面体，其中点G，H分别为正方形，正方形的中心，点M，N，P，Q分别为侧棱，，，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）求钝二面角的余弦值. 18．已知函数． （1）若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由； （2）当，时，求证：．（参考数据：） 19．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：因为这组数据中成绩为46、47的人数和为， 所以这组数据中出现次数最多的数50，则众数50， 因为第25、26个数据都是50，则中位数为50， 则中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关， 所以，平均数，方差与被遮盖的数据有关. 故答案为：A． 【分析】根据众数的定义、中位数的定义、平均数的定义和方差的定义，从而得出与被遮盖的数据无关的选项． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：复数，则. 故答案为：C. 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，在根据复数模的运算求解即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得：中的元素为，共3个. 故答案为：A. 【分析】根据集合的特征，利用列举法写出集合的元素即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：因为， ， 所以． 故选：B． 【分析】利用分式不等式求解出集合A的范围，利用绝对值不等式求出集合B的范围，结合集合的运算即可得到结果。 5．【答案】A 【解析】【解答】因为，所以， 在中，由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以， 则当，即时， 取得最大值为. 故答案为：A. 【分析】根据题意由正弦定理和余弦定理，代入数值计算出结果，再由两角和的正弦公式整理化简，结合正弦函数的单调性即可求出最值。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，作图如下： 设点坐标为，因其在抛物线上，故； 以为圆心，为半径圆，其圆心到轴的距离为，半径； 由题可知：，整理得：，故，. 故答案为：A. 【分析】首先设出点M坐标，代入抛物线方程得到p与的一个关系式，这是基础条件，然后根据圆被y轴截得弦长，利用圆的弦长与圆心到弦距离、半径的几何关系（勾股定理 ），列出另一个关于p和的方程，最后将两个方程联立，消去，求解得出p的值. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：数列为等差数列，且，， 根据等差数列的性质可得，解得， 则，因为，所以. 故答案为：D. 【分析】由题意，结合等差数列性质求，再结合等差数列求和公式和性质求即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：因为， 所以， 整理得：，所以， 又因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：D. 【分析】首先根据公式化简条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值. 9．【答案】B,D 【解析】【解答】解：因为等比数列，满足，所以， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，，故C错误，D正确. 故答案为：BD. 【分析】由题意，利用等比数列的性质以及等比数列的通项公式、求和公式计算即可. 10．【答案】A,B,C 【解析】【解答】解：A、因为为函数的极值点， 所以，且，解得，故A正确； B、由于， 则是偶函数，故B正确； C、， 则函数的图象关于直线对称，故C正确； D、由于的正负未知，则函数在区间的单调性不确定，故D错误. 故答案为：ABC． 【分析】根据是函数的极值点，可得，代入求解即可判断A；由的解析式判断奇偶性即可判断B；利用函数的对称性的特征即可判断C；由正弦型函数的单调性即可判断D. 11．【答案】A,B,C 【解析】【解答】解：A、易知双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1，则，， 由，，即双曲线的渐近线方程为，故A正确； B、由A可知：，则离心率，故B正确； C、设的内切圆与轴， 分别相切于点，如图所示： 由圆的切线性质知 ， 即，所以，因此内心在直线，即直线上，故C正确； D、设，则，即，又渐近线方程是， 则，，，则，故D错误. 故答案为：ABC. 【分析】由题意，求得双曲线的渐近线方程即可判断A；由A的结论求双曲线的离心率即可判断B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系即可判断C；求的值即可判断D. 12．【答案】 【解析】【解答】解：因为，，，所以 又因为，所以，解得， 故答案为：. 【分析】由题意，根据向量的坐标运算求得的坐标，再根据，列式求实数λ的值即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：，， 因为函数在时有极值0， 所以即 ，解得或， 若时，函数， 所以函数在上单调递增，函数无极值，舍去， 所以，所以 故答案为：． 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：要使取得最大值，则两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切， 易知，，，， 则，解得. 故答案为：. 【分析】由题意，要使最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切，据此列式求解即可. 15．【答案】（1）解：因为 又解得. （2）解：由（1）可得 由得，所以递减区间为 . （3）解：因为，所以， 从而，所以值域为. 【解析】【分析】（1）根据题意，将代入求值即可； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦函数的单调性求得的单调递减区间； （3）根据（2）问的化简得到，由，得到的范围，结合余弦函数的图象分析即可求得值域. 16．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 椭圆的标准方程为. （2）解：设 ①当直线的斜率不存在时，根据陏圆的对称性不妨设点在第一象限，则 因为，所以 又因为，解得 所以 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立，得 得 点到直线的距离为， 则 解得 综上所得，求直线的斜率之积的值. 【解析】【分析】（1）由椭圆的几何性质列出关系列方程组，可得得椭圆标准方程； （2）先讨论直线斜率存不存在，不存在时直接求得斜率之积；斜率存在时，设直线的方程为，联立消元，代入韦达定理得，代入弦长公式求得 ，计算点到直线的距离为 ，代入三角形面积公式化简可得，，求得代入斜率之积的表达式化简可得． （1）由题意可得 ，解得 椭圆的标准方程为. （2）设 ①当直线的斜率不存在时，根据陏圆的对称性不妨设点在第一象限，则 因为，所以 又因为，解得 所以 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立，得 得 点到直线的距离为， 则 解得 综上所得，求直线的斜率之积的值. 17．【答案】（1）证明：连接，，，如图所示： 则分别为，的中点， 因为分别为，的中点，所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证，平面， 又因为平面，，所以平面平面. （2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 故，即钝二面角的余弦值为. 【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行、面面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值即可. 18．【答案】（1）解：个，理由如下： 因为，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，则，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故函数函数在区间内的极值点个数为. （2）证明：当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 【解析】【分析】（1）通过求导分析导函数的符号变化，结合零点存在定理确定极值点个数，关键是利用二次函数的性质和端点值判断. （2）构造函数，通过求导分析其单调性，找到最小值并证明最小值大于0. （1）因为，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，则，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故函数函数在区间内的极值点个数为. （2）当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 19．【答案】（1）解：记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品 ， 由条件概率可得： （2）解：（i）由题意：若，则， 因为 所以（或） 由切比雪夫不等式可知，， 则 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立， 则，即，， 由切比雪夫不等式知， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小 由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 【解析】【分析】本题围绕概率统计与切比雪夫不等式展开，考查条件概率计算，二项分布性质及切比雪夫不等式的应用，核心是明确事件关系，利用组合数，概率公式及不等式进行推导与判断. (1)条件概率计算：确定事件A抽到一件合格品，B抽到另一件为不合格品，先算P(A)(至少1件合格的概率，用总组合减全不合格)，P(AB)(1件合格1件不合格的概率)，再用条件概率公式)求解. (2)切比雪夫不等式应用：(i) 利用二项分布的期望E(X)=50，方差D(X)=25，结合切比雪夫不等式，通过概率对称性与不等式证明. (ii) 假设合格率95%成立，设合格品数，计算期望，方差，用切比雪夫不等式估计的概率，依据小概率事件判断合格率是否可信. （1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $