精品解析：福建省莆田第四中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷

莆田四中2025-2026学年上学期高一数学第二次月考考试试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选:B． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式可得，解出即可. 【详解】因为，所以，解得， 函数的定义域为. 故选：C. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可. 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 由，函数为偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，，，则，排除B. 故选：A． 4. 已知，则函数在下列区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】令，，则，， 则的单调递减区间为，. 当时，区间为，而，故B正确. 5. 若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】转化问题为函数与在时有两个交点，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】由 ，， 由题意，函数与在时有两个交点， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，，时，， 要使函数与在时有两个交点， 则，即实数a的取值范围是. 故选：C 6. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（ ）h（精确到1h，参考数据：） A. 5 B. 6 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 8. 如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，则（    ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，根据等腰直角三角形的性质可得点，又A在函数图象上，而B在函数图象上，将点的坐标代入，列方程组求参数值. 【详解】由轴，得， 又是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，又，则， 因为A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得. 故选： 二、多选题 9. 下列选项正确的是（    ） A. 对任意角和，“”是“”的充分不必要条件 B. C. D. 一扇形弧长为4，圆心角为，则扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数定义及充分条件、必要条件的定义判断A，根据诱导公式及特殊角的正弦值判断B；根据角所在的象限确定三角函数值的符号判断C；根据弧长及圆心角求出半径，进而利用扇形面积公式求解判断D. 【详解】因为，所以或，则不一定有， 反之若，则一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A选项错误； ，B选项正确； 1rad≈57°，2rad为第二象限角，3rad为第二象限角，所以，， 所以，C选项错误； 一扇形弧长为4，圆心角为，则，所以， 则扇形的面积为，D选项正确. 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法中正确的有（    ） A. 最小正周期为 B. 在(0,)上是单调递增函数 C. 在(0,)内有且只有一个零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义、指数函数、正弦函数、余弦函数的单调性，结合零点定义和点对称的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以是的一个周期，下面说明的最小正周期为. 不妨设的最小正周期为，则， 取，代入可得， 化简得，显然，则得， 则有，即. 若周期为，则， 而上式不能恒成立，若取，，，； 故的最小正周期为，即A正确； 对于B，易知在上是增函数，在上是减函数， 又是上的增函数，则在上是增函数，在上是减函数， 故在上是增函数，从而在上是增函数，故B正确； 对于C，由可得 ，则，因 且， 则，即或，在内有2个零点，故C错误； 对于D，因为，而， 故 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示， 对于A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以函数有3个零点，所以A正确， 对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误， 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确， 对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合对数函数性质列方程求. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，得， 所以 故答案为：. 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对平方求出值，并判断正负，最后求解. 【详解】对两边平方，得， 即， 又因为，所以，，即， 所以. 故答案为：. 14. 若关于的不等式，且恰有4个整数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设函数，且，再分和两种情况讨论，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】设函数，且， 当时，若，则， 此时，不等式1）的整数解的个数大于4，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以4个整数解为， 所以，即，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：在解跟底数为参数的对数函数的问题时，通常分底数和两种情况讨论. 四、解答题-问答题 15. （1）计算：； （2）已知角的终边经过点，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据指对数运算法则化简即可. （2）根据三角函数的定义求得，利用诱导公式化简多项式，从而求得值. 【详解】（1）原式 ． （2）∵角的终边经过点， ∴， ∴ 16. 已知函数. （1）利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； （2）当时，求不等式的解集； （3）若不等式对恒成立，求及. 【答案】（1）五点法填表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 函数在区间上的图象如下： （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用五点作图法列表、作图即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）由题意可得为的最小值，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，即， 可得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 因为对恒成立， 可知为的最小值，则， 则，所以. 17. 海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动同学人数（人） 18 24 33 （1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数（人），并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且； （2）已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中（参考数据：）. 【答案】（1）， （2）8周后，全校将有超过一半的学生参与其中 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型； （2）根据（1）中结论可得不等式,结合题中数据分析求解即可. 【小问1详解】 从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 且函数增长的速度越来越快，所以选择③（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 令， 整理得， 且，则， 所以8周后，全校将有超过一半的学生参与其中. 18. 已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，对，恒有，求正整数的值. 【答案】（1）为偶函数 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判定， （2）根据基本不等式求解，即可由对数的性质求解， （3）将问题转化为，根据函数单调性求值域即可. 【小问1详解】 ，定义域为， 且，故为偶函数， 【小问2详解】 当时，， 由于，当且仅当时等号成立，故， 因此的值域为， 【小问3详解】 当时，对，恒有， 故， 令，则，， 因为在上单调递增，所以， 则当时，， 则，即， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 由于为正整数，故或时成立， 综上所述，当时或. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 【答案】（1） 由函数，得， 显然不存在非零实数满足，因此不是“伪奇函数”； 由，得，整理得，解得， 即存在非零实数满足，因此为“伪偶函数”. 所以函数是“伪偶函数”，不是“伪奇函数”. （2）①； ②由函数在上存在两个“伪奇函数点”， 得关于的方程在上有两个解，不妨设， 令函数， 函数在上是单调函数，则在上至多一个解， 若在上有两个解，则与矛盾， 因此在上有一个解，在上有一个解， 由，得，且， 而当时，函数在上单调递减， 又，则方程在上必有一个解，， 因此， 令函数，而函数在上都单调递减， 则函数在上单调递减，，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用“伪偶函数”、 “伪奇函数”的定义分别判断即得. （2）①利用“伪奇函数”的定义建立等式，分段讨论并分离参数求出范围；②利用“伪奇函数点”的定义，结合零点存在性定理求出范围，再将分别用表示出，借助单调性推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由函数为定义在上的“伪奇函数”， 得存在非0实数，使得，即， 则当时，，即，因此； 当时，，即，而函数在上单调递减， 因此，所以实数的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田四中2025-2026学年上学期高一数学第二次月考考试试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则函数在下列区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A. 或 B. C. D. 或 6. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（ ）h（精确到1h，参考数据：） A. 5 B. 6 C. 15 D. 18 8. 如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，则（    ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（    ） A. 对任意角和，“”是“”的充分不必要条件 B. C. D. 一扇形弧长为4，圆心角为，则扇形的面积为 10. 已知函数，下列说法中正确的有（    ） A. 最小正周期为 B. 在(0,)上是单调递增函数 C. 在(0,)内有且只有一个零点 D. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 三、填空题 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 13. 已知，则___________． 14. 若关于的不等式，且恰有4个整数解，则的取值范围是__________. 四、解答题-问答题 15. （1）计算：； （2）已知角的终边经过点，求的值． 16. 已知函数. （1）利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； （2）当时，求不等式的解集； （3）若不等式对恒成立，求及. 17. 海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动同学人数（人） 18 24 33 （1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数（人），并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且； （2）已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中（参考数据：）. 18. 已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，对，恒有，求正整数的值. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $