精品解析：江苏省盐城市建湖县汇杰初级中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项页中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，直接可得结果； 【详解】∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式， ∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 3. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 4. 在 中，，若 ，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，若， ∴ , 故选：D． 5. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的新拋物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握平移规律是关键． 根据抛物线平移规则，左右平移时x左加右减，上下平移时常数项上加下减． 【详解】解：∵向上平移2个单位， ∴新解析式为 ； ∵再向右平移3个单位， ∴x替换为，得 ， ∴新抛物线解析式为 ， 故选：C． 6. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得： ； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 7. 如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线性质：圆心与切点的连线垂直于切线，圆周角定理及直角三角形两锐角互余的性质．根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 函数、在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的开口大小、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项C错误； 又函数的图像的开口比函数、的开口都小，故选项B 错误； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值， 所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项D错误 ， 只有选项A正确， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数3就作为比例的另一个外项，和y相乘的数4就作为比例的另一个内项，据此写出比例 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的灵活应用 10. 扇形的圆心角度数，面积，则扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式和弧长公式的应用，先用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：设扇形的半径为r， 依题意得：， 解得：， ∴弧长为， 故答案为：． 11. 设、是方程两个根，且，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 12. 根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到） … … … … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图象法确定一元二次方程的近似根．熟练掌握二次函数的图象与性质估算一元二次方程的解是解题的关键． 由表格可知，，由的图象与性质可知，，然后作答即可． 【详解】解：由表格可知，， 由图象与性质可知，， ∴精确到，的解为， 故答案为：． 13. 有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 设为x，窗框的采光面积为S，则，，根据矩形面积列出函数关系式，根据二次函数的性质求出答案即可． 【详解】解：设为x，窗框的采光面积为S，则，， ∴窗框的采光面积， ∵， ∴当时，S取最大值为， 即当为时，窗框的采光面积最大． 故答案为： 14. 如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 15. 如图，，是的两条弦，，，的弧度为，的弧度为，则的半径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，掌握圆内接四边形的性质是正确解答的关键． 作弦等于弦，连接，，，过点作于点，在优弧上取点，连接，，根据题意得出与的度数之和为，据此构造出直角三角形，最后根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，作弦等于弦，连接，，，过点作于点，在优弧上取点，连接，， ∵的弧度为， ∴的弧度为， 的弧度为， 与的度数之和为， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设的半径长为， ， （负值舍去）； 则的半径长为． 故答案为：． 16. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法求解二元一次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法计算即可； （2）利用因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：， 即， ， ，； 【小问2详解】 解：， 或， ，． 18. 先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式分化简求值，分式有意义的条件，一元二次方程的求解，完全平方公式的运用，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足得，然后整体代入进行计算即可． 【详解】解： ， a满足， ∴， 当时代入求值，原式． 19. 已知：，且． （1）求a、b、c的值； （2）添上一个数___________，使得a、b、c、d四个数能构成比例式． 【答案】（1） （2）2或8或18 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质及比例线段，熟练掌握比例的性质及比例线段是解题的关键； （1）由可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）及成比例线段的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由可设，代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 由a、b、c、d四个数能构成比例式，可分： 当时，则有，即， ∴； 当时，则有，即， ∴； 当时，则有，即， ∴； 综上所述：当或8或18时，使得a、b、c、d四个数能构成比例式； 故答案为2或8或18． 20. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有两个实数根、，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）-1 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-1=0求出方程的解x=1；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=(m+1)2得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案； （2）由根与系数的关系得出“x1+x2=，x1•x2=”，整体代入即可得出结论． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论． ①当m=0时，方程为-x-1=0， ∴x=-1， ∴方程有实数根； ②当m≠0，△=(m-1)2-4m(-1)=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0， ∴方程恒有实数根； 因此，不论m为何值，该方程总有实数根； （2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2=-，x1•x2=-， ∴x1+x2+x1x2=--=-1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）分类讨论；（2）结合根与系数的关系找出x1+x2=，x1•x2=．本题属于基础题，难度不大． 21. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离．已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． 【答案】 【解析】 【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：， ， ， 即，解得， ， 即窗户的高度为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题． 22. 试说明，当时，函数随x的增大而增大． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及平方差公式的应用．先设定未知变量，再计算函数值差，紧接着因式分解并分析符号，最终可得出结论． 【详解】证明：当时， 在二次函数中，则，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，函数随x的增大而增大． 23. 如图，中，点D，E分别在边，上，平分，交，于点F，G，且． （1）求证：； （2）若与的周长之比是，，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明； （2）根据相似三角形周长比等于相似比，结合（1）得到，，易证，得到，将代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，在中，，以为直径的与的平分线相交于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，再根据平行线的性质，结合可得出，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出的长，根据（1）的结论可证明四边形是矩形，根据垂径定理可求出的长及是的中位线，即可求出、，由可得出，根据相似三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵的半径为5， ∴， ∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定，三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质． 25. 某超市要经营一种新上市的文具，进价为20元／件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． （1）写出超市销售这种文具，每天净利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的净利润最大？最大是多少元？ （3）实际销售时无法实现净利润最大，超市营销部结合实际情况，提出了A、B两种营销方案： 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案：每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元． 请比较哪种方案的最大净利润更高，并说明理由． 【答案】（1） （2）销售单价为35元时，最大净利润为1800元 （3）方案A和方案B的最大净利润相同，均为1550元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值情况，一元一次不等式组的应用，解题的关键在于根据题意建立函数关系式，以及不等式组． （1）根据“每天净利润（销售单价进价）每天的销售量每天支付的其他固定开销”列出关系式即可； （2）将（1）中二次函数关系式化顶点式，再结合二次函数最值求解，即可解题； （3）由二次函数解析式可知二次函数对称轴为直线，结合二次函数的增减性，一元一次不等式组的应用，以及得到的方案A和方案B中销售单价取值范围进行求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 二次函数开口向下，在时，有最大值，且最大值为， 即销售单价为35元时，该文具每天最大净利润为1800元； 【小问3详解】 解：， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，净利润最大， 方案A的最大净利润为元； 每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元， ， 解得， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，净利润最大， 方案B的最大净利润为元； ， 即方案A和方案B最大净利润相同，均为1550元． 26. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． 【小问2详解】 解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 27. 重心的思考 在中，是边上的中线，是边上的中线，、交于点O． （1）求证：点O在边的中线上． 如图①，连接并延长，与交于点F，连接，与交于点M．证明途径可以用下面的框图表示，请补充完整； （2）当时， ①如图②，连接，求证：； ②若，则面积的最大值为 ． （3）如图③，已知线段a、b，求作，使，，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】（1）①，②，③ （2）①证明见详解，②12 （3）作图见详解 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质可得出答案； （2）①连接并延长交于点F，连接，证明，得出，则可得出结论； ②证出，当时，面积最大，由三角形面积公式可得出答案； （3）根据题意画出图形，证出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，，， 由相似三角形的性质得， ∴①，②，③， 故答案为：①，②，③． 【小问2详解】 ①证明：连接并延长交于点F，连接， 由（1）可知，O在边的中线上， 即是边上的中线， ∵D、F是、边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，F是的中点， ∴， ∴； ②解：由①可得，， ∴， 当时，的面积最大，最大值为， 故答案为：12． 【小问3详解】 解：作法：①作线段； ②作的垂直平分线，交于点E，作的垂直平分线，交于点F，再以为直径作； ③以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，连接并延长至点C，使，连接，则即为所求． 理由：如图，连接，，，， 根据作图可得，，是直径， ∴, ∵D，F分别为，的中点， ∴， ∴， ∴即为所求． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了圆周角定理，基本作图，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项页中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3） 2. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，，若 ，则 （    ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的新拋物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 秋冬季节流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 函数、在同一平面直角坐标系中图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若，则________． 10. 扇形的圆心角度数，面积，则扇形的弧长为______． 11. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 12. 根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到） … … … … 13. 有6长铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是_________． 14. 如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 15. 如图，，是的两条弦，，，的弧度为，的弧度为，则的半径长为______． 16. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中a满足． 19. 已知：，且． （1）求a、b、c的值； （2）添上一个数___________，使得a、b、c、d四个数能构成比例式． 20. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有两个实数根、，求的值． 21. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离．已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度． 22. 试说明，当时，函数随x增大而增大． 23. 如图，中，点D，E分别在边，上，平分，交，于点F，G，且． （1）求证：； （2）若与的周长之比是，，求的值． 24. 如图，在中，，以为直径的与的平分线相交于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 25. 某超市要经营一种新上市的文具，进价为20元／件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． （1）写出超市销售这种文具，每天净利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的净利润最大？最大是多少元？ （3）实际销售时无法实现净利润最大，超市营销部结合实际情况，提出了A、B两种营销方案： 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案：每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元． 请比较哪种方案最大净利润更高，并说明理由． 26. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 27. 重心的思考 在中，是边上的中线，是边上的中线，、交于点O． （1）求证：点O在边的中线上． 如图①，连接并延长，与交于点F，连接，与交于点M．证明途径可以用下面的框图表示，请补充完整； （2）当时， ①如图②，连接，求证：； ②若，则面积的最大值为 ． （3）如图③，已知线段a、b，求作，使，，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $