精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期末考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，得到焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程化为标准形式为， 所以，则焦点坐标为. 故选：B. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则S5=（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式有关计算得到，进而利用求和公式得到答案. 【详解】设等差数列{an}的公差为d，则由已知可得，所以S5=5a1+d=5（a1+2d）=5×4=20. 故选：B. 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意，故舍去； 当时，直线与直线互相平行，符合题意； . 故选：D 4. 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 40 B. 60 C. 32 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列的性质，成等比数列. 【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此． 故选:B. 5. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】双曲线的离心率为，可得， 即：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，点到双曲线的渐近线的距离为． 故选：C． 6. 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为（ ） A. (3，＋∞) B. (2，＋∞) C. (1，＋∞) D. (0，＋∞) 【答案】D 【解析】 【分析】 依题意对任意，即可得到对任意恒成立，从而求出参数的取值范围； 【详解】解：因为，由数列为递减数列知，对任意，，所以对任意恒成立，所以． 故选：D． 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，属于基础题. 7. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出，由椭圆的定义得，，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值，最后求出椭圆的离心率 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知， 因为过的直线交椭圆于A，B两点， 所以由椭圆的定义知：， 所以， 当轴时，最小，的值最大， 此时为椭圆的通径，由通径公式可得： 所以，解得：，所以，， 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于中档题. 8. 函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，利用得，然后按照、和分类讨论研究函数单调性，从而利用极小值点的定义求解即可. 【详解】的定义域为 ，， 由题意，得， 所以． 若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． ②若，由，得， 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以是函数的极大值点，不满足题意． 当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意． 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意． ③若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． 综上 的取值范围是即． 故选：A． 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是 A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案. 【详解】 所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形 即 在直线上，圆心距 计算得到 故答案选AB 【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键. 10. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列是递增数列可得公差可对A判断求解；由可求得可对B判断求解；由再结合二次函数性质即可对C求解判断；令即即可对D判断求解． 【详解】A：等差数列是递增数列可得公差，故A正确； B：由，即，解得，故B正确； C：由， 因为所以可得二次函数图象开口向上，对称轴为， 由于为正整数，所以当时，取得最小值，故C正确； D：令，即，即，解得或，故D错误； 故选：ABC. 11. .设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 是函数的极大值点 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，利用导数求解其单调性，根据极值点的概念判断AB；根据单调性比较大小判断CD. 【详解】令，则， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为在和上单调递减， 所以，所以，即， ，所以，即，故CD正确. 故选：BCD 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解. 【详解】由题意，可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，解得， 即换线的倾斜角为. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 13. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和裂项相消法求和，即可求通项公式. 【详解】由 当时，由上式可得： ， 当时，满足， 故答案为： 14. 函数有两个极值点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于有两个不同的根，令，利用导数法求出单调性，数形结合即可求解. 【详解】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知数列满足，． （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） 由，得， 所以，又， 故是首项为1，公比为2的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）对递推公式进行变形，结合等比数列的定义进行证明即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，． 所以， 所以． 两式相减，得， 所以， 所以． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）或e 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 17. 已知双曲线的焦距为，离心率为. （1）求的方程； （2）点坐标为，过轴上的直线与交于，两点，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，再由离心率为，求得，进而得到双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，且，联立方程组，求得，结合向量数量积的运算公式，代入化简，即可求解. 【小问1详解】 解：因为双曲线的焦距为，可得，解得， 又因为离心率为，可得，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知双曲线的方程为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则且， 又由点坐标为，可得， 则 . 18. 抛物线，点坐标，过点斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点，. （1）求的方程； （2）过定点D的直线与抛物线交于两点M，N满足，求出满足条件的所有D定点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线方程，设点，，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理和弦长公式得关于的一元二次方程，解得p，进而可得答案． （2）设直线MN的方程为，点M，N，利用斜率公式，结合韦达定理，化简即可得定点D的坐标. 【详解】（1）过点斜率为2的直线方程为， 代入抛物线方程得：， 设，， 由韦达定理得：，， 弦长公式得：， 化简得：， 解得或， 因为抛物线中，所以， 故抛物线的方程为. （2）设直线MN的方程为，M，N， 与联立得， 由韦达定理， 由题知，则， 因为，，代入， 化简得， 将，代入上式可得： ， 得：或， 当时，，即， 令，解得，所以直线MN过定点， 当时，，即， 令，解得，所以直线MN过定点， 因此，满足条件的所有定点的坐标为或. 19. 已知函数 （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，求证： 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3） 若有两个极值点， 有两个零点， 令，则方程等价于有两个解， 不妨令，， 记，则，令得，令得， 则在单调递减，单调递增，∴， 要证， 由在递增，只要证， 令，则， 则在递减，，，即，，又在递增，， ，即，. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而判断函数的单调性，根据极值的概念即可求解； （2）先分析得，则有，然后记，求导函数，按照，和分类讨论，研究函数的单调性，即可求解； （3）由题意有两个零点，令，则有两个解，记，利用导数法求得，，转化为证明，令，进而利用导数法判断单调性即可证明. 【小问1详解】 当，，， ，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 若，，即， ∴（若，取，则，而，不满足）， 由得，即， 记， 则， 当时，单调递增，，， 当时，时，单调递减，则， 矛盾， 当时，，矛盾， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期末考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则S5=（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 4. 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 40 B. 60 C. 32 D. 50 5. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为（ ） A. (3，＋∞) B. (2，＋∞) C. (1，＋∞) D. (0，＋∞) 7. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是 A. B. C. D. 10. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为. 11. .设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 是函数的极大值点 C. D. 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_______________. 13. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 14. 函数有两个极值点，则实数的取值范围是______. 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知数列满足，． （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 17. 已知双曲线的焦距为，离心率为. （1）求的方程； （2）点坐标为，过轴上的直线与交于，两点，求的值. 18. 抛物线，点坐标，过点斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点，. （1）求的方程； （2）过定点D的直线与抛物线交于两点M，N满足，求出满足条件的所有D定点的坐标. 19. 已知函数 （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $