考点04 不等式（组）2026年中考数学一轮基础通关手册（安徽专用）

不等式（组） 1.不等式的基本性质 -掌握3条核心性质，重点注意：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，常 以选择题形式考查性质辨析。 -会用性质比较代数式大小，或判断变形后的不等式是否成立。 2.一元一次不等式的解法 -解法步骤与一元一次方程类似（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1)，关键是系 数化为1时判断不等号方向是否改变。 -能在数轴上表示不等式的解集，注意空心圆圈（不含端点）和实心圆点（含端点)的区别，基 础必考点。 3.一元一次不等式组的解法 -先分别解出每个不等式的解集，再求它们的公共部分（利用数轴或口诀“同大取大、同小取小、 大小小大中间找、大大小小找不到”)。 一常以填空题或解答题形式考查，需准确表示不等式组的解集，或根据解集求参数取值范围。 4.含参数的不等式（组） 核心考查：根据不等式（组）的解集情况（如无解、有唯一整数解、解集为全体实数等）求参 数的取值范围，属于中档难度题。 -解题关键：结合数轴分析参数边界，注意等号是否可取的验证。 5.不等式（组）的实际应用 -常结合方案设计、最值问题考查，如购物、租车、生产调配等场景，步骤为：设未知数一找不 等关系→列不等式（组）→求解→结合实际取整数解。 -需注意解的实际意义，舍去不符合题意的解，是解答题的高频考点。 6.不等式与函数、方程的综合 结合一次函数图像，判断函数值大于（或小于）0时自变量的取值范围；或利用不等式解决方程 根的分布问题，属于综合拓展考点。 1.不等式的基本性质 一、单选题 1.若a>b,则下列不等式一定成立的是() A.2a-5>2b-5 B.acxbc C.3-a>3-b D.3a<3b 2.如图，数轴上有两个点，记作点A,点B,分别表示的数为a,b,点O为坐标原点，则2+b的值可能 为() A.2 B.1 C.0 D.-1 2.一元一次不等式（组）的解法 一、单选题 1.若a>b,则下列不等式一定成立的是() A.2a-5x 2b-5 B.ac x bc C.3-a>3-b D.3a<3b 2.如图，数轴上有两个点，记作点A,点B,分别表示的数为a,b,点O为坐标原点，则2a+b的值可能 为() A B A.2 B.1 C.0 D.-1 3.不等式（组)的解集应用 一、单选题 1.已知：不等式1+<2x'的最小整数解是方程3x-a-1=8的解，则的值为() 23 A.0 B.1 C.2 D.3 2.不等式4+3x<1的最大整数解为() A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.关于x的不等式x-a≤0的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是() A.1<a<2 B.1≤a≤2 C.1≤a<2 D.1<a≤2 3x+5≥2 4.一元一次不等式组x-2、 的最小整数解是() >-1 04 A.-1 B.2 C.1 D.0 2x+3 5.如果关于x的不等式组3≥x- 有且只有两个奇数解，且关于)的分式方程3”，-，-10=1的解为 4x-6>a-4 y-22-y 非负整数，则符合条件的所有整数α的和为() A.12 B.16 C.18 D.20 2x+2>0 6.不等式组 13(x-1)≤6 的整数解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 x-3≥0 7.不等式组x<3 的所有整数解之和是() 2 A.12 B.13 C.16 D.18 x-a<0, 8.已知关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则整数α的最小值为() 2x+3>0 A.2 B.3 C.4 D.5 9.已知点P(m,n)在直线y=-x+4上，且2m-5n≥0，则() A。册有最大值号B。易有最小值号 m m c四有最大监月 n D.有最小恤 10.不等式3x≥x-5的最小整数解是() A.-3 B.-2 C.-1 D.2 x<3 11.如果不等式组 有且只有4个整数解，那么m的取值范围是() x>m A.-2≤m≤-1B.-2<m≤-1 C.-2<m<-1 D.-2≤m<-1 x+8>+5 12.如果关于x的不等式组2>4十5的解集为x>4,且关于y的分式方程”-2m=-1的解为正数，则 y-2 x>m 符合条件的所有整数m的和为() A.4 B.6 C.8 D.10 x-a≥0 13.如果不等式组 只有一个整数解，那么α的取值范围是() 2x-10<01 A.3<a≤4 B.3≤a<4 C.4≤a<5 D.4<a≤5 [x>2 14.已知不等式组 有解，则a的取值范围为() x<a A.a>2 B.a22 C.a<2 D.a≤2 15.不等式组 3(x-a≤x-4 的解集在数轴上表示如图所示，则a+b=() 2x-b<3x -2-102→ A.1 B.2 C.3 D.0 2x-1>5 16.若关于x的不等式组 的整数解是4和5，则m的取值范围是() x<m+1 A.5<m≤6 B.3<m<6 C.4≤m<5 D.4<m≤5 17.若关于y的不等式组 2+y≥3y+1 2有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为() 2y+1-m>0 A.3≤m<5 B.-3≤m<-1 C.3<m≤5或-3<m≤-1 D.3≤m<5或-3≤m<-1 x-220 18.若不等式组 2x<m 无解，则m的值可能为() A.3 B.5 C.7 D.9 3 a,一2的解为正数，且关于x的一元一次不等式组 x-4≤0 19.若关于x的分式方程 x-1-x-1 2x-3≥a 有解，则所 有满足条件的整数a的值之和是() A.6 B.9 C.11 D.14 6-3x<0 20.关于x的不等式组 恰好有3个整数解，则a满足() 2x≤a A.a=10 B.10≤a<12 C.10<a≤12 D.10≤a≤12 4.不等式的实际应用 一、解答题 1.为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联 系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3 亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生.根据以上信息，解答下列问题 (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 2.某中学开展爱心义卖活动，推出A,B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱.己知购买2个A款帆布袋 和3个B款帆布袋共需31元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需34元. (1)求A,B两款帆布袋的单价分别为多少元， (2)某老师决定购买A,B两款帆布袋共12个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，· 当购买A,B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 3.为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车.现有A,B两种 品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费76万元；若购买2辆A品 牌电车和6辆B品牌电车，共需花费84万元 (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格： (2)若出租车公司需要购买A,B两种品牌的电车共100辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌 电车数量不超过购买A品牌电车数量的子，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌 电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 4.八年级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔.若购买该品牌的1支钢 笔和5支自动铅笔共需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔共需85元， (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元， (2)该班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共60支，总费用不超过660元，那么最多可购买该品牌 的钢笔多少支？ 5.敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料.购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元.购 买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元. (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可 以购买多少盒A型颜料？ 6.为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64 元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元. (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元： (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购 买多少盏甲型节能灯？ 7.某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，己知甲工程队每天能完成的 绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成900m的绿化面积所用天数 比乙工程队单独完成800m的绿化面积所用天数少1天. (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少m?? (2)该小区需要绿化的面积为8000m2,建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程 队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少 天？ 8.某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件.己知A产品成本价为m元/件(m 为常数，且4≤m≤6)，售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品 成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y(元)与每 日产销x件)满足关系式y=80+0.01x2. (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为州元，%元，请分别写出州，%与x的函数关系式： (2)分别求M,%的最大值： (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由，[利润=（售价一成本）×产销 数量-专利费] 9.某学校摄影社到商场购买A,B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价 低6元销售. ②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价 低4元销售， 若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册， 共需支付3100元. (1)这家商场A,B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且 总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案。 10.某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品.现要求 毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套.已知买3条毛巾和2套扫把簸箕 套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1： 两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打 6折 (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价： (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是 多少？ 11.人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.为提高公司员 工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台。 (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能 机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分 别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少 于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 12.云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列.经销商老王购进了一批花 糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指 玉米共需225元. (1)求a,b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低 于花糯玉米进货量的3，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y (元)最大？最大利润为多少元？ 13.为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展 以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师 生.已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800 元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆（此处载客量不计司机）. (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超 过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 14.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能 公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元， (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买 A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 50万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 15.在“清明节”前夕，某旅行社组织了一个“踏青”旅行团，共有253人报名参加.旅行前，旅行社承 诺每车保证有一名随团导游，并为此次旅行请了？名导游.现打算选租甲、乙两种客车，其中甲种客 车每辆载客40人，乙种客车每辆载客30人. (1)请帮助旅行社设计租车方案， (2)若甲种客车租金为350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租 金是多少？ 16.随着电影《哪吒2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办.某粉丝 团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品.已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需 花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元. (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超 过买敖丙主题手办数量的一半.怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值 17.某商场准备购进A和B两种款式的书包，每个A款式书包比B款式书包的进价多25元，用20000元购 进A款式书包的数量与用15000元购进B款式书包的数量相同，请解决下列问题： (1)A款式书包和B款式书包每个的进价各是多少元？ (2)若每个A款式书包的售价为140元，每个B款式书包的售价为100元，商场决定同时购A款式书包、 B款式书包共500个，且全部售出，请求出所获利润y(单位：元)与A款式书包的数量x(单位：个) 的函数关系式，若商场用不低于40000元且不高于40250元的资金购进A和B两种款式的书包，则有 几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，商场用获得的最大利润的二全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费915元， 10 其余部分全部再次购进A、B两种款式的书包送给福利院，请直接写出捐赠A款式书包、B款式书包各 是多少个？ 18.某销售商准备在广安采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝 绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元. (1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？ (2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，己知 A型的售价是800元/件，B型的售价为600元/件，设购进A型丝绸m件，请设计获利最大的购买方 案并求出最大利润， 19.某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120 套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费 255元.乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套. (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元？ (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使 这批体育用品全部售完时获利最大？ 20.某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外 地销售.需要不同型号的A、B两种车皮共30节，A种车皮每节运费2500元，B种车皮每节运费 3000元. (1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式. (2)如果每节A车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节B车皮最多可装甲水果25吨和乙水果 40吨，装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最 低运费。 (3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用(2)中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写 出有哪几种租车方案？ 不等式（组） 1． 不等式的基本性质 - 掌握3条核心性质，重点注意：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，常以选择题形式考查性质辨析。 - 会用性质比较代数式大小，或判断变形后的不等式是否成立。 2． 一元一次不等式的解法 - 解法步骤与一元一次方程类似（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），关键是系数化为1时判断不等号方向是否改变。 - 能在数轴上表示不等式的解集，注意空心圆圈（不含端点）和实心圆点（含端点）的区别，基础必考点。 3． 一元一次不等式组的解法 - 先分别解出每个不等式的解集，再求它们的公共部分（利用数轴或口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”）。 - 常以填空题或解答题形式考查，需准确表示不等式组的解集，或根据解集求参数取值范围。 4． 含参数的不等式（组） - 核心考查：根据不等式（组）的解集情况（如无解、有唯一整数解、解集为全体实数等）求参数的取值范围，属于中档难度题。 - 解题关键：结合数轴分析参数边界，注意等号是否可取的验证。 5． 不等式（组）的实际应用 - 常结合方案设计、最值问题考查，如购物、租车、生产调配等场景，步骤为：设未知数→找不等关系→列不等式（组）→求解→结合实际取整数解。 - 需注意解的实际意义，舍去不符合题意的解，是解答题的高频考点。 6． 不等式与函数、方程的综合 - 结合一次函数图像，判断函数值大于（或小于）0时自变量的取值范围；或利用不等式解决方程根的分布问题，属于综合拓展考点。 1．不等式的基本性质 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 依据不等式的性质进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A．若，则，故此选项符合题意； B．若，当时，，故此选项不符合题意； C．若，则，故此选项不符合题意； D．若，则，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．如图，数轴上有两个点，记作点A，点B，分别表示的数为a，b，点O为坐标原点，则的值可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】该题考查了数轴，不等式的性质，根据数轴得出，即可得，从而解答． 【详解】解：根据点A，点B都在坐标原点O的左边， ∴， ∴， ∴， 故的值可能为， 故选：D． 2．一元一次不等式（组）的解法 一、单选题 1．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 依据不等式的性质进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A．若，则，故此选项符合题意； B．若，当时，，故此选项不符合题意； C．若，则，故此选项不符合题意； D．若，则，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．如图，数轴上有两个点，记作点A，点B，分别表示的数为a，b，点O为坐标原点，则的值可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】该题考查了数轴，不等式的性质，根据数轴得出，即可得，从而解答． 【详解】解：根据点A，点B都在坐标原点O的左边， ∴， ∴， ∴， 故的值可能为， 故选：D． 3．不等式（组）的解集应用 一、单选题 1．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 2．不等式的最大整数解为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，确定出最大值整数解即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， ∴最大整数解是． 故选：A． 3．关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的非负整数解问题．首先解不等式得到x的范围，再根据非负整数解的个数确定参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 题目要求非负整数解仅有2个，即x的非负整数解为0和1． 当时，x的非负整数解为0和1，恰好满足2个解，因此． 若，则x的非负整数解为0、1、2，共3个，不符合题意，因此． 综上，a的取值范围为， 故选：C． 4．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 5．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 6．不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别解两不等式，求出不等式组的解集，进而可求不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴ ∴不等式组的整数解有共4个 故选：D 7．不等式组的所有整数解之和是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】A 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式得到不等式组的解集，即可得解． 【详解】解： 解不等式①得，解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， 所有整数解之和是， 故选：A． 8．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 9．已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键． 10．不等式的最小整数解是（   ） A．－3 B．－2 C．－1 D．2 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是x=-2. 故选B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 11．如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组有4个整数解确定m的取值范围是解题的关键． 先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解即可解答． 【详解】解：∵不等式组的解集是， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴该不等式组的整数解为2，1，0，， ∴． 故选：D． 12．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围是解本题的关键． 根据已知不等式的解集确定出m的范围，再由分式方程解为正数，确定出m的范围，进而确定出满足题意整数m的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得， 不等式组的解集为， ， 分式方程去分母，得：， 解得：， 分式方程的解为正数， ，且， 解得：且， 且， 符合条件的整数m的值有0，1，3，4这4个， 这4个整数的和为8， 故选：C． 13．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 14．已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可． 【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足， 当时，解集为，存在解； 当时，和无公共部分，无解； 因此，的取值范围是， 故选：A． 15．不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后根据不等式组的解集在数轴上表示得到，，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， ∵在数轴上表示为： ∴， 解得，， ∴ 故选：C． 16．若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 17．若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 18．若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解． 首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来确定m的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：对不等式进行求解， 可得，即． 对不等式进行求解， 可得，即． 因为不等式组无解， 所以，解得． 选项A中，，满足． 选项B中，，不满足． 选项C中，，不满足． 选项D中，，不满足． 故选：A ． 19．若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为且；再解不等式组，得到．综合条件得的取值范围为且的整数，求和即可． 【详解】解： 两边同乘得：，整理得． ∵分式方程的解为正数： ∴， ∴， ∵分母不为零， ∴， ∴； 解，得： ∵不等式组有解， ∴， ∴， 综上：且， ∴整数为，； 故选C 20．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 4．不等式的实际应用 一、解答题 1．为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生 (2)至多种植甲作物亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过65人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． 2．某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 3．为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 【答案】(1)A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆 (2)为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意找到等量关系，列二元一次方程组进行求解即可； （2）设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，，得；设购买电车的总费用为万元，则，根据一次函数的增减性求出答案。 【详解】（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意， 依题意得， 解方程得， 答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆． （2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意， ， 得， 设购买电车的总费用为万元，则， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为（万元）， ∴购买A品牌电车（辆）， 答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元． 4．八年级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．若购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔共需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔共需85元． (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元， (2)该班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共60支，总费用不超过660元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？ 【答案】(1)该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元 (2)该校最多可购买支该品牌的钢笔 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元，根据购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元建立方程组，求解即可； （2）设该班最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的支数是个，根据学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过元建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元， 根据题意得， 解得， 答：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元； （2）解：设该班最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的支数是个， 根据题意得， 解得：， 答：该班最多可购买支该品牌的钢笔． 5．敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【答案】(1)每盒A型颜料24元，每盒B型颜料16元 (2)该中学最多可以购买89盒A型颜料 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得： ， 解得：； 答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元． （2）解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得： ， 解得：； 答：该中学最多可以购买89盒A型颜料． 6．为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 7．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1．5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，列分式方程求解即可，注意检验增根； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，进而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 8．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 【答案】(1) (2)的最大值为，的最大值为1420 (3)当时，选A产品；当时，选A产品或B产品均可；当时，选B产品 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题中所给的利润计算公式求解即可； （2）根据（1）中的函数解析式进行求解即可； （3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润并分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ∴当时，最大， ∴ ， 在中，， ∴抛物线开口向下， ∴顶点横坐标， 又∵B产品每日最多产销300件， ∴当时，最大，最大为； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴当时，A产品的最大利润更大，选A 产品； 当时， 解得，此时 A、B 产品利润相等，两种产品均可以选择； 当时， 解得， ∵， ∴时，B产品的最大利润更大，选B 产品． 9．某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 10．某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 11．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为提高公司员工工作效率，某公司准备引进A类人工智能机器人和B类人工智能机器人若干台． (1)若购买2台A类人工智能机器人和6台B类人工智能机器人，共需23万元，且每台A类人工智能机器人比B类人工智能机器人便宜0.5万元，求A类人工智能机器人和B类人工智能机器人的单价分别是多少？ (2)现该公司准备购买A类和B类人工智能机器人共12台，其中购买B类人工智能机器人的数量不少于A类人工智能机器人数量的2倍，且总费用不超过35万元，求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元； (2)方案①4台A类、8台B类；方案②3台A类、9台B类；方案③2台A类、10台B类． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元，根据题意列方程组求解即可； （）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设类人工智能机器人的单价为万元，类人工智能机器人的单价为万元， 由题意可得， 解得 答：类人工智能机器人的单价为2.5万元，类人工智能机器人的单价为3万元． （2）设购买类人工智能机器人的数量为台，则购买类人工智能机器人的数量为台． 根据题意得 解得． 共有三种购买方案，购买方案如下：①4台A类、8台B类；②3台A类、9台B类；③2台A类、10台B类． 12．云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)a的值为，b的值为6 (2)应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． （1）根据“老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，利用总利润每斤白糯拇指玉米的销售利润购进白糯拇指玉米的数量每斤花糯玉米的销售利润购进花糯玉米的数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：依题意得， 解得， 答：a的值为，b的值为6； （2）解：∵购进花糯玉米x斤， ∴购进白糯拇指玉米斤， 依题意得， 解得， ∵全部售完后的销售利润为y元， ∴， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为，此时． 答：老王应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 13．为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用大巴车x辆，则租用小客车辆，根据“需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆”列出一元一次不等式组，解不等式组，即可得到租车方案；写出所有设计方案，再求出每个方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 14．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需万元， (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1)A型每辆万元，B型每辆万元 (2)有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；购买A型公交车8辆，B型公交车2辆费用最少，最少总费用为万元 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据题意找到等量关系列出方程组解决问题； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，根据题意列出不等式组并求解得出答案即可． 【详解】（1）解：设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，由题意得∶ ， 解得， 答：购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，由题意得∶ ， 解得：， 因为是整数， 所以，7，8； 则，3，2； 三种方案： ①购买型公交车6辆，则型公交车4辆：万元； ②购买型公交车7辆，则型公交车3辆：万元； ③购买型公交车8辆，则型公交车2辆：万元； 购买型公交车8辆，则型公交车2辆费用最少，最少总费用为万元． 15．在“清明节”前夕，某旅行社组织了一个“踏青”旅行团，共有253人报名参加．旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团导游，并为此次旅行请了7名导游．现打算选租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客40人，乙种客车每辆载客30人． (1)请帮助旅行社设计租车方案． (2)若甲种客车租金为350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？ 【答案】(1)有三种租车方案： 租甲种客车5辆，则租乙种客车2辆， 租甲种客车6辆，则租乙种客车1辆， 租甲种客车7辆，则租乙种客车0辆； (2)租甲种客车5辆；租乙种客车2辆，所需付费最少为2310（元） 【分析】（1）题根据总人数和导游人数确定车辆总数，设租甲种客车辆，乙种客车辆，根据载客量不小于总人数列不等式求解租车方案； （2）题分别计算各租车方案的租金，比较得出最省钱的方案． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列不等式求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设租甲种客车辆，则租乙种客车辆． 因为为车辆数，且， 所以， 所以，，． 当时，； 当时，； 当时，． 所以租车方案有：方案一，租甲种客车辆，乙种客车辆； 方案二，租甲种客车辆，乙种客车辆； 方案三，租甲种客车辆，乙种客车辆． （2）解：方案一租金：（元） 方案二租金：（元） 方案三租金：（元） 因为， 所以租甲种客车辆，乙种客车辆最省钱，此时租金是元． 16．随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【答案】(1)每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元 (2)购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值． （1）首先设每个哪吒主题手办售价为​x元，每个敖丙主题手办售价为y元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3 个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个，结合（1）中求得的单价，建立总费用函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组​确定m的正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解． 【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得：   ∵， ∴   为正整数 或2    在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． 17．某商场准备购进A和B两种款式的书包，每个A款式书包比B款式书包的进价多25元，用元购进A款式书包的数量与用元购进B款式书包的数量相同，请解决下列问题： (1)A款式书包和B款式书包每个的进价各是多少元？ (2)若每个A款式书包的售价为140元，每个B款式书包的售价为100元，商场决定同时购A款式书包、B款式书包共个，且全部售出，请求出所获利润y（单位：元）与A款式书包的数量x（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于元且不高于元的资金购进A和B两种款式的书包，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费元，其余部分全部再次购进A、B两种款式的书包送给福利院，请直接写出捐赠A款式书包、B款式书包各是多少个？ 【答案】(1)A款式书包每个的进价为100元，则B款式书包每个的进价为75元 (2)有11种购买方案 (3)捐赠A款式书包2个、B款式书包4个 【分析】（1）设A款式书包每个的进价为a元，则B款式书包每个的进价为元，根据题意列关于a的分式方程并求解即可； （2）由题意可得购买B款式书包个，根据所获利润＝A款式书包的利润＋B款式书包的利润写出y与x的函数关系式，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，x的符合条件的取值的个数即为购买方案的数量； （3）根据一次函数的增减性求出y的最大值，设购买A款式书包m个、B款式书包n个，根据题意写出关于m和n的二元一次方程并求其正整数解即可． 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款式书包每个的进价为a元，则B款式书包每个的进价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， （元）． 答：A款式书包每个的进价为100元，则B款式书包每个的进价为75元． （2）由题意可得购买B款式书包个， 则， ∴y与x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， ∵x为整数， ∴有种购买方案． （3）∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大，y最大， （元）， 设购买A款式书包m个、B款式书包n个， 则， 经整理，得， 该方程的正整数解为， ∴捐赠A款式书包2个、B款式书包4个． 18．某销售商准备在广安采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元． (1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？ (2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，已知A型的售价是800元/件， B型的售价为600元/件，设购进A型丝绸m件，请设计获利最大的购买方案并求出最大利润． 【答案】(1)一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元 (2)购进型丝绸件，型丝绸件时，销售总利润最大，此时最大利润元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进型丝绸件，则购进型丝绸件，根据题意列出不等式组求出的取值范围；设销售这批丝绸的利润为元，根据题意求出与之间的一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，为原方程的解， ∴， 答：一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元； （2）解：设购进型丝绸件，则购进型丝绸件， 根据题意得：， 解得； 设销售这批丝绸的利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当，即购进型丝绸件，型丝绸件时，销售总利润最大， 此时最大利润元． 19．某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元？ (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 【答案】(1)每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元 (2)购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．再建立方程组解题即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可。 【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． （2）解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套． 根据题意，得， 解得：， 设获利W元，则， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵且m为非负整数， ∴当时W值最大， （套）． 答：购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大． 20．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 学科网（北京）股份有限公司 $