考点02 代数式 专项复习学案 2026年中考数学一轮基础通关手册 （安徽专用）

代数式 1． 代数式的概念与列代数式 - 区分代数式与等式、不等式，掌握用字母表示数的规范写法（如数字与字母相乘省略乘号，数字在前）。 - 结合实际情境列代数式，常以选择题、填空题形式考查，如表示数量关系、几何图形的周长/面积等。 2． 整式的相关运算 - 整式的分类：识别单项式、多项式，确定单项式的系数、次数，多项式的项数、次数。 - 整式加减：核心是合并同类项与去括号法则，注意括号前是负号时的符号变化。 - 整式乘法：包括单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式，熟练运用平方差公式、完全平方公式，这是高频考点，常结合化简求值题考查。 - 幂的运算：掌握同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方，注意零指数幂和负整数指数幂的应用。 3． 因式分解 - 核心方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），是分式化简、解方程的基础。 - 要求：分解要彻底，结果为整式的积的形式，常以填空题、化简题的步骤形式考查。 4． 分式的相关运算 - 分式有意义的条件：分母不为0；分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，基础必考点。 - 分式的基本性质：约分、通分，分式的加减乘除混合运算，注意运算顺序和符号，常作为解答题第一题考查。 5． 二次根式 - 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；最简二次根式的判定（被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式）。 - 二次根式的运算：加减时先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除运算遵循，常与整式运算结合考查。 6． 代数式化简求值 - 先化简整式或分式，再代入数值计算，代入时注意使原式有意义（如分式分母不为0、二次根式被开方数非负），是解答题的常考题型。 1．整式的运算（乘法公式、因式分解） 一、解答题 1．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的四则混合运算，代数式求值等知识． （1）先计算乘方，求一个数的立方根，化简绝对值，最后再计算加减法即可． （2）先计算括号里面的整式混合运算，然后再计算整式的除法运算，最后再代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， 把代入上式， 得原式． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，6 【分析】先用完全平方公式和平方差公式展开计算括号里的式子，再计算多项式除以单项式化简，然后代入具体数值计算即可；本题主要考查了化简求值，整式的四则混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ，时， 原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （3）先计算乘法公式，再合并同类项，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解等知识． （1）先利用单项式乘以多项式、积的乘方法则进行计算，再合并同类项即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的乘除和代数式，先计算小括号和除法，再计算中括号，化简后，代入即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 6．计算： (1)； (2) ； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算． （1）先算乘方，零指数幂，求算术平方根，最后再计算加减法． （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后再合并同类项即可． （3）先计算单项式乘多项式，然后再合并同类项即可． （4）先计算多项式除单项式，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： （4）解： 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据指数幂的运算法则求出、的值，代入化简后的式子计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 当，，原式． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，即可求解； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式，整式的加减运算法则进行计算，即可求解； （4）根据多项式乘多项式，整式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，整式的加减运算．熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 10．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后分别求出x，y的值，代入化简后的式子计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∴原式． 11．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算多项式乘以多项式以及多项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 13．（1）计算：；     （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解． （1）先计算括号里的乘法，再合并同类项，最后计算除法即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 15．（1）计算：；     （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．分式的化简求值 一、解答题 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，准确将分式进行化简求值是解题的关键． 首先利用公式法化简分式，再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∴当时， 原式． 2．（1）化简：； （2）化简：，再从中选择一个适当的数作为的值代入． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项； （2）先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法约分，最后根据分式有意义的条件选的值代入． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 由分式有意义的条件可知，， 选代入，． 3．先化简：，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关知识是解题的关键，先计算小括号里面的，通分，将异分母分式相减转化为同分母分式相减，再进行除法运算，将除法变乘法，化简后，选择使原式有意义的值，将代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 时，原分式无意义， ， 代入得，原式． 4．先化简，再求值，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值；同分母分式相加，分母不变，分子相加即可，再将代入求值． 【详解】解： ∵， ∴原式． 5．先化简，再求值： ，并从，，中选一个合适的数作为a的值，并代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键； 先对分式进行化简，然后代数求解即可，注意取值时要使分母和除数有意义． 【详解】解：原式 ， 当时，，分式无意义， 当时，，分式无意义， ∴当时，原式 ． 6．计算、解分式方程： (1)计算：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式化简、解分式方程，涉及因式分解、分式乘法运算等知识，熟记分式乘法运算法则、解分式方程方法步骤是解决问题的关键． （1）先将分式分子分母因式分解，再由分式乘法运算法则约分化简即可得到答案； （2）先去分母，再解整式方程，最后验根即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算括号里的减法，再计算除法，计算减法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．先化简，再求值：，当时，求式子的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式运算的法则把原式进行化简，再把代入原式进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式 11．先化简，再求值，，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式混合运算法则，进行化简，然后根据平方根定义求出x的值，注意验根，再代入数据求值即可． 【详解】解： ； 由得， ∴或3， ∵当时，；当时，， ∴，舍去， 当时，原式 ． 3．二次根式的性质应用 一、单选题 1．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐一判断选项解答即可． 【详解】解：A、，等号右边无意义，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，平方的运算等知识，根据平方根和平方的性质，逐一验证各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、 ，故选项符合题意； B、∵ 在实数范围内无意义，故选项不符合题意； C、∵ ，故选项不符合题意； D、∵ ，故选项不符合题意； 故选：A． 5．式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负．据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即 ． 选项 A．，B．，C．，均不满足； 选项D． ，满足． 故选D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键． 将指数拆分，利用平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果． 【详解】解：∵ , ∴ 原式 ． 故选：A． 二、填空题 7．对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 8．化简__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 提取根号下的完全平方因子进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 9．________ ；________ ． 【答案】 6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，利用，再运用二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：6，． 10．若，化简______． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．若为实数，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 12．使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 13．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为_________． 【答案】60 【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积． 【详解】解：正方形的面积为，故边长为 = cm． 将一组对边缩短 cm， 则缩短后的对边长度为 = cm． 另一组对边长度不变，仍为 cm． 因此长方形的面积为 = = = cm²． 故答案为：60． 14．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来______． 【答案】（） 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 【详解】解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 16．将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， （1）图2中正方形的边长为________； （2）图2中正方形边长的整数部分是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用、无理数的估算， （1）根据题意得出正方形的边长为， （2）估算出即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，拼成的正方形的面积等于原长方形的面积，即， 正方形的边长为， 故答案为：． （2）， ，即， ，， ∴， 该正方形的边长最接近的整数为， 故答案为：． 4、代数式的规律探索 一、单选题 1．设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 2．已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 3．设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 4．将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 1．确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 2．计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 3．确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 4．计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 二、填空题 5．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 _________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据虚数单位的幂运算规律，其幂值每次循环一次，因此将指数除以取余数进行计算． 【详解】解：，，，，， 幂值每次循环一次， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 7．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 8．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 三、解答题 9．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 11．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，(是的面积)； ，(是的面积)； ，(是的面积)； …… (1)请你直接写出结果：___________，___________． (2)请用含有(为正整数)的式子填空：___________，___________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了探究规律，勾股定理，二次根式混合运算，能结合勾股定理找出规律是解题的关键． （1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2），， 故答案为：，； （3）解： ． 12．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $代数式 1.代数式的概念与列代数式 -区分代数式与等式、不等式，掌握用字母表示数的规范写法（如数字与字母相乘省略乘号，数字 在前)。 -结合实际情境列代数式，常以选择题、填空题形式考查，如表示数量关系、几何图形的周长/面 积等。 2.整式的相关运算 一整式的分类：识别单项式、多项式，确定单项式的系数、次数，多项式的项数、次数。 -整式加减：核心是合并同类项与去括号法则，注意括号前是负号时的符号变化。 一整式乘法：包括单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式，熟练运用平方差公式 (a+b以a-b)=a2-b2完全平方公式(a±b=a2±2ab+b2,这是高频考点，常结合化简求值 题考查。 -幂的运算：掌握同底数幂的乘法aman=a+n、除法am÷a=am-n、幂的乘方(am”=am、积 的乘方ab)”=a6”,注意零指数幂a0=1(a≠0)和负整数指数幂的应用。 3.因式分解 -核心方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），是分式化简、解方程的基础。 -要求：分解要彻底，结果为整式的积的形式，常以填空题、化简题的步骤形式考查。 4.分式的相关运算 -分式有意义的条件：分母不为0：分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，基础必考点。 一分式的基本性质：约分、通分，分式的加减乘除混合运算，注意运算顺序和符号，常作为解答题 第一题考查。 5.二次根式 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；最简二次根式的判定（被开方数不含分母，不含能 开得尽方的因数或因式)。 一二次根式的运算：加减时先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除运算遵循 后6=20，b≥2小芹-(a≥0，b>0小，常与整武运算结合考查. 6.代数式化简求值 -先化简整式或分式，再代入数值计算，代入时注意使原式有意义（如分式分母不为0、二次根式 被开方数非负)，是解答题的常考题型。 1.整式的运算（乘法公式、因式分解） 一、解答题 1.(1)计算：-1225+8-V5-3; (2)先化简，再求值：(x-2y)x+2y)+(x+y)2-y(x-3y)÷2x,其中x=-1,y=4. 2.先化简，再求值：(a-b)2-(a+2b)(a-2b)÷(2b),其中a=-1,b=2. 3.计算： ①b(-2a6y: (2)(2x2）°-6x3(x3+2x2-x: 3)(a+b(a-b)+(a+b)2-2a2÷(-2a. 4.(1)计算：（-2x24xy3-y2）+(2xy) (2)因式分解：18a3-12a2+2a 5.先化简，再求值：[2x+-4x-÷]*y,其中x=写=2026 6.计算： (1)-12024+(π-3)°-V25+(-2)3; (2)(-a2a+a2; (3)x2(3-x)+xx2-2x+1; (4)(6x3y4-4x2y3+2xy）÷2xy3; 7.先化简，再求值：2x+2+3-xy-]7w,其中2×4×8=2,4=2 8.计算： (1)x(x-3-(x-1(x+2): (2)[(a+2b)(a+b)-2b(a+b)-8a÷a. 9.计算 (1)4y-2xy）: (2)-5x3x2-4x+5】 (3)(3-2y)(9-6y+4y2); (4)(x-2(x+7)-(x-3)(x+2) 10.先化简，再求值：(3x-y)2-(x+2y)(x-2y)-5y2,其中x=22,y=(-7)° 11.先化简，再求值：[(3x-y(x+y-2x(x-y)+y2]÷x,其中x=-1,y=2. 12.计算：（x-y)(x-2y)-(3x3-6x2y÷3x) 13.(1)计算：[xxy2-y-yx2-xy]÷x2y; (2)因式分解：a3-16a. 14.先化简，再求值：(2x+3列-(2x+川2x-川，其中x号少=号 15.(1)计算：(x+y(x-y+(x-y2-(x2-3y): (2)因式分解：x2-4xy+4y2-4. 2.分式的化简求值 一、解答题 1先化商，再家值：号1其2 2.(1)化简：(a-2)2-(a+1)(a-1: (2)化简： 4 ,再从-1,2,3中选择一个适当的数作为x的值代入。 3.先化简： 1-x-+2x+ x2+x ,再从-1,0,1中选择一个合适的数代入求值. 4.先化简，再求值0-30+a+ ,其中a=-2 a-1a-1 5。先化简，再求值：《品+骨·，并从-3，-2,1中选一个合适的数作为a的值，并代入求位 6.计算、解分式方程： (1)计算：-2.x2+4x+4 x+2x2-4 2)解分式方程：-3 1= 3 x-2 2-x 2m-2, 1 7.先化简，再求值： 1- m+1m2-11m2-2m+1 其中m=3. x2-4 8.先化简，再求值： x+1'x2+2x+1 其中x=-4. 9.先化简，再求值： x1）.x-1 (x-2x-2广x2-4’其中x=-1. 10.先化简，再求值： 2-16.2a-8,当a=6时，求式子的值. a+44a 11.先化简，再求值， 3.二次根式的性质应用 一、单选题 1.使√x-5有意义的x的取值范围是() A.x>5 B.x≥5 C.x≠5 D.全体实数 2.下列各式中，正确的是() A.V-4)×-9)=V-4×V-9 B.-32=V-3)2x2=18 C.V-2)}2x=2 D.x2+y2=x+y 3.二次根式√x-3有意义的条件是() A.x>3 B.x>-3 C.x≥-3 D.x23 4.下列计算正确的是() B.V-25=-5 D.√25=±5 5.式子√a-5在实数范围内有意义，则a的值可以是() A.-3 B.0 C.4 D.6 6.计算1-2)(1+V2)的结果是() A.√2-1 B.1-√2 C.1+2 D.-1-√2 二、填空题 7.对一切实数，有√8-x+√x-3≥k成立，求k的最大值 8.化简V25x2y 9 9.√2xV18= ；5×20 10.若a>0,化简、6 11.若a、b为实数，且a=√b-5+√5-b+3,则a-b的值为 12.使√x-5有意义的x的取值范围是 13.现将一个面积为300cm的正方形的一组对边缩短8√3cm,就成为一个长方形，这个长方形的面积为 cm 14观案下列务式：①2写、写：②侵-，@4侣4后你将发别的规挥用含 自然数n(n≥2)的等式表示出来， 15.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦 九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是a,b,G,记p=a+b+C,那么这个三角形的面积为 2 S=√pp-a)(p-b)(p-c·若a=3,b=5,c=6,其面积S的小数部分为m,则m的值为 16.将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， 6 图1 图2 (1)图2中正方形的边长为 (2)图2中正方形边长的整数部分是 4、代数式的规律探索 一、单选题 1.设1++，=+宁=+字京，1 1.1 11 1 n2(n+102 S=√S,+VS,++√S4,则V2025-S的值为() 1 1 A.2024 B.2025 C.44 D.45 2.已知4为实数，规定运算：4，=1- 4411 a a, ，4,11 011 a 4’,0,=1。，按上述方法 计算：当a1=3时，aos的值等于（) 4.2 B3 1 D.3 3 C.、1 2 、1 √Ss的值为() B.35 C.3535 36 D.3434 6 35 4.将1、√2、√5三个数按如图所示方式排列，若规定(a,b)表示第a排第b列的数，则(8,2)与 (2025,2025)表示的两个数的积是（) 1第1排 3 √2第2排 √321 第3排 1√5√2 1第4排 … 第4列第3列第2列第1列… A.√6 B.2 C.3 D.1 二、填空题 5.我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数 “i”,使其满足2=1（即方程.x2=-1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行 混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有=i,2=-1,=2.i=(-1i=-i, =(2）=(-12=1,产=产7=(2）i=(-12i=i,则24+25= 6.对于实数P,我们规定：用{ND}表示不小于√D的最小整数.例如：{4=2，{5=2.现在对72 进行如下操作：72一*){√72=9第2达{V=3一冰→{√5=2，即对72只需进行3次操作就变 为2.类比上述操作，若对正整数n只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 7.将√，√2，√5，√4按如图方式排列，若规定m,n表示第m排从左向右第n个数，则 ①(6,4)表示的数是 ②10,7与15,11)表示的两数的平方和为 第1排 5 第2排 65 4 第3排 80 第4排 V1514 32VΠ 第5排 8.观察下列各式： 1,1 =1+1 22 122 11 V+2+3京=1+ 1+ 236 11 +11=1 ++家1+342 请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n为正整数)表示的等 式： 三、解答题 9.观察下列等式： 1 V3-1 15-51万-5.1=9-万 a1+5243+52a5+2a7+2 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式： (2)请写出第n个等式： (3)求a1+a2+a3+…+a20的值. 10.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把√2表示在数轴上点A处，记A右侧最近的整数点为 B,以点B为圆心，AB,为半径画半圆，交数轴于点4，记4右侧最近的整数点为B,以点B为圆 心，A,B2为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续. 1 A B A2 B2 As (1)点B表示的数是 (2)A,B,= 11.细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： As 1 A41A3 ▣1 1人入 S4 S3 A6 4OE=人+1=2，s=(S是R△440的面积： 1 1 2 A /SdA、 O4=V+1=3,S,=5(S,是R△4,40的面积， 2 0E=+1=4,S,三3(S是R△A4,0的面积3 … (1)请你直接写出结果：OA= S6= (2)请用含有n(n为正整数)的式子填空：OA2= S= 8 ③)我们已经知道(5+川店-3列=4，因此将分子、分母同时乘以(5+3引，分母就变成 1 1 了4，请仿照这种方法求g,+S,,+S,S+S, 1 1 十…十 的值. S2024+S2025 12.观察下列等式： 1 2- 第-个等式：a2+1(2+12- =√2-1， 5-2) 第二个等式4“5++5万-， 1 12-5 =2-5, 第三个等式：4-2+5(2+3列2-5可 按上述规律，回答以下问题： 1 (1)按上面规律填空：a,=5+2 (2)利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a2024; g*nt55'5小w5+a