精品解析：陕西省名校联盟2026届高三上学期期末考试数学试题

高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】解不等式得，所以 所以． 故选：C. 2. 已知，则（ ）． A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：D 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）． A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】，所以， 又，，所以． 故选：B. 4. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合充分条件必要条件的判定即可判断. 【详解】，所以充分性成立， 反过来，，满足，但，故必要性不成立． 故选：A. 5. 在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（ ）． A. B. C. D. 的解析式可能是 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合导数的几何意义、指数型函数的特征逐一判断即可. 【详解】由图可知是减函数，故A正确； 的下降幅度随t增大而逐渐平缓，区间内温度下降的量比内温度下降的量更大， 即，所以，故B正确； 由曲线的切线斜率可知，故C错误； 曲线的变化趋势符合指数型函数，故D正确． 故选：C 6. 从2，4，5，6，7这5个数字中任选3个不同数字组成一个三位数，这个三位数能被3整除的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合的定义，结合古典概型的公式进行求解即可. 【详解】从5个数字中任选3个数字有种情况， 能够被3整除的数字组合有，，，，共4种， 故所求的概率为． 故选：D 7. 已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体补成如图所示的直三棱柱，利用直三棱柱的性质，结合球的表面积公式进行求解即可. 【详解】将四面体补成如图所示的直三棱柱， 可知，，故， 又，所以． 设四面体的外接球球心为O， 则O在平面内的射影为的外心，且， 由正弦定理得， 故外接球半径，故． 故选：B 8. 已知抛物线的焦点为F，动点P，Q在C上，满足，若的最小值为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理进行求解即可． 【详解】如图，连接， 设的中点为M，点P，Q，M在C的准线上的射影分别为，，， 则， 当取最小值时，也取最小值， 作图可知当轴时，取得最小值，为， 此时，所以． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ）． A. ， B. 在上单调递增 C. 是偶函数 D. 函数有3个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性、偶函数的定义、函数零点的定义、数形结合思想逐一判断即可. 【详解】依题意，．作出其函数图像如下: 对于A，，，故A错误； 对于B，在上单调递增，故B正确； 对于C，设，则， 所以是奇函数，故C错误； 对于D，的零点个数即与的图象的交点个数， 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象，如图，观察可知， 两图象有3个交点，则有3个零点，故D正确． 故选：BD 10. 已知等比数列的公比，其前n项和为，且，，则下列不等式可能成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式进行逐一判断即可． 【详解】． 若，则由，得，即， 要使该式恒成立，则，此时，，即A，D成立； 若，则由，可得，要使该式恒成立，则， 此时，，即A，C成立． 故选：ACD 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）． A. 曲线E是中心对称图形 B. 曲线E与直线仅有一个公共点 C. 曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D. 若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：根据奇函数的性质、结合函数图象变换的性质进行判断即可；B：通过解方程组进行求解判断即可；C：根据分式的性质进行求解判断即可；D：根据函数的图象的对称性，结合基本不等式进行求解判断即可. 【详解】对于A，方程可化为， 则曲线E可由函数的图象向右和向上各平移1个单位长度得到， 而是奇函数，其图象关于原点中心对称， 所以曲线E关于点中心对称，故A正确； 对于B，将代入中， 得，解得，则， 故曲线E与直线仅有一个公共点，故B正确； 对于C，在方程中，要使x，y均为整数， 只有或， 故曲线E只经过2个横坐标和纵坐标均为整数的点，分别为，，故C错误； 对于D，设，，其中， 当有最小值时，M，N关于点对称， 则令，则，原式， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因与共线， 所以，解得． 故答案为： 13. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 14. 在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据古典概型的运算公式，结合数学期望的公式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，，2，3，4， 所以 ， 由，得， 令，则在时单调递减， 又，，，故m的最小值为3． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究中学生专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系 【解析】 【分析】（1）用古典概型即可求出答案； （2）根据表中的数据求出，利用独立性检验的方法即可进行判断. 【小问1详解】 ， ，． 【小问2详解】 零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系， 由表中数据可得， 根据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为中学生的专注力与阅读时长有关系， 所以，根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系. 16. 已知椭圆的离心率为，顺次连接C的四个顶点得到的四边形的面积为4． （1）求C的方程； （2）已知直线与C交于M，N两点，C的上顶点为P，若直线，的斜率之和为4，求的重心的横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性、离心率公式，结合椭圆标准方程中之间的关系进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式、直线斜率公式，重心坐标公式进行求解即可. 【小问1详解】 依题意，得，解得，， 故C的方程为． 小问2详解】 联立得，得． 由，得． 设，，则，． 直线的斜率为，直线的斜率为． 由已知得， 即 ， 解得，故的重心的横坐标为． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可； （2）运用正弦定理，结合同角的三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【小问1详解】 当时，D是的中点，所以， 两边同时平方，得， 即，即． 又由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以． 所以，即面积的最大值为． 【小问2详解】 设，则，． 在中，由正弦定理得， 即．① 在中，由正弦定理得， 即．② 当时，， 又，， 代入①②中，化简得， 所以，得， 即． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若有3个不同的零点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线点斜式方程即可求出答案； （2）（ⅰ）在上单调递增，分为和两种情况结合导数与单调性关系求出函数在上的单调性，根据题目条件列不等式即可求出答案；（ⅱ）由题可知，，，代入可得，即，，设公差为，消元得到，列等式即可求出公差. 【小问1详解】 当时，， 当时，，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以， 即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意， 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点， 则，即，解得． （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②． 设公差为，即， 由①可得，， 由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差． 19. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的值； （3）以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）以为x轴，为y轴，过点A的平面的垂线为z轴，根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，交于点O，连接， 在平面内过点A作，垂足为H． 因为，所以垂足H不与点O重合． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 在正方形中，， 又，平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 以为x轴，为y轴，过点A的平面的垂线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，． 设，则，． 因为，所以．① 由（1）可知，，所以，即．② 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 因为平面与平面的夹角为， 所以．③ 由①②③，解得，，，或，，， 即或． 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，或． 【小问3详解】 以正方形为底面作正方体， 不妨取，则． 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取． 设直线与平面所成的角为， 则， 平方得， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时可取，符合题意， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. 1 B. C. D. 2 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）． A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 4. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（ ）． A. B. C. D. 的解析式可能是 6. 从2，4，5，6，7这5个数字中任选3个不同的数字组成一个三位数，这个三位数能被3整除的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（ ）． A B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为F，动点P，Q在C上，满足，若的最小值为，则（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ）． A. ， B. 在上单调递增 C. 是偶函数 D. 函数有3个零点 10. 已知等比数列的公比，其前n项和为，且，，则下列不等式可能成立的是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）． A. 曲线E中心对称图形 B. 曲线E与直线仅有一个公共点 C. 曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D. 若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 13. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 14. 在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究中学生专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：． 0.050 0.010 0001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知椭圆的离心率为，顺次连接C的四个顶点得到的四边形的面积为4． （1）求C的方程； （2）已知直线与C交于M，N两点，C的上顶点为P，若直线，的斜率之和为4，求的重心的横坐标． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线方程． （2）若有3个不同的零点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差． 19. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的值； （3）以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $