精品解析：四川省绵阳南山中学实验学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

学科网组卷网 绵阳南山中学实验学校高2023级1月月考试题 数学 命题：唐波刘高 审题：赵平伍敏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合P={x0≤x≤2}，0={xeZ12≤8，则P∩0=() A.{0,1,2 B.{x0≤@≤2 c.{1,2 D.{x|x≤3 【答案】A 【解析】 【分析】单调性解指数不等式求集合，再由集合的交运算求结果 【详解】由Q={x∈Z12≤8={x∈Z|x≤3，且P={x0≤x≤2，所以P∩Q={0,l,2 故选：A 2.己知实数a,b满足a>b,则下列不等式恒成立的是() A.a2>62 B.a3>b3 C.Ja D.a->b- 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质判断即可 【详解】因为f(x)=x2,f(x)=x是定义在R上的偶函数， 所以当实数a,b满足a>b时，a2>b2,a>b不一定成立，故A,C不符合题意： 因为f(x)=x3是定义在R上单调递增的奇函数， 第1页/共22页 学科网丽组卷网 所以当实数a,b满足a>b时，则a3>b3,故B符合题意； 因为f(x)=x在-0,0,0，+0上单调递减， 所以当实数a,b满足a>b时，a1>b1不一定成立，不符合题意 故选：B 【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不 等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小对于选择题我们一般采用排 除法 3.己知直线a,b异面，下列判断正确的是() A.过b的平面不可能与a平行 B.过b的平面不可能与a垂直 C.过b的平面有且仅有一个与a平行 D.过b的平面有且仅有一个与a垂直 【答案】C 【解析】 【分析】可采用借助于正方体中的A'B'与BC是异面直线，利用观察正方体中的线面关系举一些反例进行 说明即可 B 【详解】 如图，AB'与BC是异面直线，BC看作直线a,AB看作直线b, 对于A,过A'B的平面AB'C'D'∥BC,故A错； 对于B,过AB'的平面ABBA⊥BC,故B错； 对于C,在A'B'上任取一点P,过点P作PQ∥B'C'交CD于点Q, 因为BCIB'C,所以POllBC,又BCt平面AB'C'D,PQC平面A'B'CD', 所以BC∥平面AB'CD',又A'B∩PQ=P,所以A'B',PQ确定的平面只有一个， 所以过AB的平面有且仅有一个即平面AB'CD'与BC平行，故C正确： 对于D,若a与b不垂直，则必不存在过b的平面中，有一个垂直于a,故D错 故选：C 第2页/共22页 学科网丽组卷网 4.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=60°，a+b=5,S。Bc=V5,则边c的 值为() A.√29 B.35 C.19 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积公式求出ab=4,再根据余弦定理求解即可. 【】周为m-0nC-5。 1 b=√3，所以ab=4, 4 又c2=a2+b2-2 abcosC=(a+b)2-2ab-ab=25-3ab=25-12=13, 所以c=√13 故选：D, 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，且MF=10,若Aa,0)满足AM⊥MF,则a= () A.16 B. 31 C27 D.9 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的准线方程、焦点F的坐标，再根据抛物线的定义，求出点M的坐标，进而利用向 量垂直的坐标性质即可得解 【详解】在抛物线C:y2=4x中，2p=4,则2=1， 2 所以焦点F1,0),准线方程为x=-1. x+1=10 设点M的坐标为(xo,y),则 8=4托，，放=9， .M(9,yo),且y=36 又AM=(9-a,y),MF=-8,-yo), 则AM.MF=-8(9-a-y=-8(9-a-36=0, 第3页/共22页 可学科网 命组卷网 27 解得a= 故选：C 6.在矩形ABCD中，AB=2AD,E,F分别为AB,CD的中点（如图(1）)，将矩形ABCD绕直线EF逆 时针旋转？，点A,B,C,D分别位于Q,P,N,M处（如图(2），则异面直线PC与QF所成角的余弦值为 () A E D D M (1) (2) A.5V2 3 B. C.i D. 8 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系可得∠CPH或其补角为直线PC与QF所成角，由勾股定理以及余弦定理求解长度 即可求解 【详解】延长FN到H,使得HN=FN,连接CH,PH,则四边形FHPQ为平行四边形，故 PH//EN /IQF, 故∠CPH或其补角为直线PC与QF所成角， 设AB=2AD=2a,则PH=QF=VQM2+MF2=V2a, 1 CH= a2+4a2-2a.2ax1=V3a, 1 FC2+FH2-2FC.FH cos 31 NC=NF FC=a,PC=PN2+NC2=2a, 故在PHC中， CH2=PC2+FH2-2FC.FH cos LCPH =2a2+2a2-2v2a.2ax cos /CPH 3a2, 第4项/共22页 可学科网 丽组卷网 解得cos∠CPH=二 故直线PC与OF所成角的余弦值为 故选：D 4 C M 7.已知P是ABC所在平面内一点，满足PA+PB+PC=0,若AB⊥AC,AB=6,则AB.CP=( A.-12 B.12 C.-18 D.18 【答案】B 【解析】 【分析】若D是AB的中点，根据已知得CP=CD,则ABCP=AB.CD,结合向量数量积的几何 3 意义求数量积 【详解】设D是AB的中点，由PA+PB+PC=0,则PC=-(PA+PB)=-2PD, 所以CP=2cD,又AB1AC, 3 则西-号西而亚a+而列-亚丽12 故选：B O 8.将函数f()=coswx+ (@>0)的图象向右平移匹个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g()在 6 区间 ππ 3’2 上单调递减，则⊙的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 第5页/共22页 可学科网 组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得g(x)=cos ox+ 根据x∈ 63 结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案， 【详解】由题意得g(x)=cos rmor+g 因为x∈ 0+ 3’2 所以⊙x+ 63 6’6 6/: 因为函数g(x)在区间 3’2 上单调递减，所以工0+ ≤π，所以0<0≤5， 66 所以⊙的最大值5. 故选：D, 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. g、为列a,的前n项种，为a,的公比9<0a子.S) Aq=-2 1 B.a是a和a2的等差中项 e8贵 D.3S,-a =12 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目条件列出方程，求出等比数列{an}的首项a和公比9，即可判断A;结合等差中项的概 念可判断B;利用等比数列的通项公式和前n项和公式，即可判断BD 【详解】对于等比数列{an},有a。=a·g-1，依题意， 4=4g2-3 9’解得 S3=a+az+as=a+aq+a.q2= 9=现9=1（的，4=6，达项A止确： 第6页/共22页 可学科网可组卷网 结合A的分析可知a,=6× 、2 ,则4=6x》=3 则2a,=2×)3=4+a,即4是4和a,的等差中项，选项B正确： 对于等比数列{a,,有S=41-g) 1-g t5,-40-D.61-(.61-2》6. 33 1-9 1-（2 3 3 ,选项C错误； 8 2 m…g二巴中 则3s,=12×1-(←门， 38-4=12x-(31-6x=12-12x(-6x(=12+6x-6x=1日 ,选项D正确。 故选：ABD 10.已知f()是R上的以2为周期的奇函数，且当1<x<2时，fx)=n3-,则() x-1 Af仪-7)=-1n3 B.曲线y=fx)的对称中心为2k,0),k∈Z C当-1<x<1时，fx)=n-x 1+x D.当a>-2时，函数y=f(x)-ax-2)在区间(1,3)上仅有三个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用抽象函数奇偶性与周期性推得其对称性与函数值，从而判断AB,利用∫(x)的周期性求得 -1<x<0时的解析式，再利用(x)的奇偶性求得0<x<1时的解析式，从而可判断C,利用f(x的周 期性与奇偶性作出f(x)的大致图象，举反例数形结合可判断D,从而得解 【详解】对于A,B,因为f(x)是R上的以2为周期的奇函数， 第7页/共22页 丽学科网可组卷网 所以f(x+2)=f(x),f(-x)=-f(x),则f(x+2)=-f(-x), 所以f(x+2)+f(-x)=0,即f(x)关于(1,0)对称， 即y=fx)的对称中心至少还有点1,0)，故B错误； 则到引子+2小引- 33 -n3 2=-ln3,故A正确； 1 2 对于C,当-1<x<0时，1<x+2<2, 所以f(x)=f(x+2)=l 3-(x+2-ln 1-x “（x+2）-11+x 当0<x<1时，-1<-x<0, 则f(x)=-f(-x)=-l 1-(-x=-In1tx=i-x 1+-x) 1-x 1+x 又当x=0时，0)=1n-0=0满足要求， 1+0 综上，当-1<x<1时，fx)=n}-x,故C正确： 1+x 对于D,要求y=f(x)-ax-2)在(1,3)上的零点个数， 即求f(x)与y=a(x-2)的图象在(1,3)上的交点个数， 由c可知，当11，=n-(1+) “1+x 又y=-1+,2在(-1，)上单调递减，且y=-1 2 一>0恒成立， 1+x 1+x 而y=lnx在0，+oo)上单调递增，所以fx)在(-1,1)上单调递减， 结合f(x)的奇偶性与周期性，可作出fx)在(-1,3)上的大致图象， 取a=1,在同一坐标系中作出y=x-2的大致图象，如图， 第8页/共22页 可学科网列组卷网 y=f(x) x-2 结合图象可知，当a=1时，f(x)与y=x-2的图象在1,3)上只有一个交点， 即当a=1时，y=f(x-ax-2)在区间1,3)上仅有一个零点，故D错误. 故选：AC 11.已知双曲线C: x2 y2 =1的左、右焦点分别为F、F,A、B、P是C上的三个互不相同的动点， 45 且A与B关于原点O对称，则下列结论正确的有() A.若PE=6,则有PF=10或PF=2 B.若△PFF的周长为20，则△PFF的面积为10√2 C.F,A·F,B的最大值为5 设PA,PB的斜率分别为k、飞：则+号的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A,根据双曲线的定义求解判断；对B,由双曲线定义、余弦定理结合三角形面积公式求解；对 C,由数量积的坐标运算求解；对D,由点差法结合重要不等式求解. 【详解】对于A:由双曲线C:-y -=1,可得a2=4,b2=5, 45 所以c2=a2+b2=9,所以c=3, 所以双曲线C:亡_上=1的左、右焦点分别为F(-3,0)、E,3,0, 45 所以PE-PF=2a=4,若PF=6,则6-PF,=2a=4, 所以PF=2或|PF=10,又P在右支时，PF2in=c-a=3-2=1, 第9页/共22页 学科网 可组卷网 p在左支时，PF2in=c+a=3+2=5, 所以PF=2或PF=10,故A对； 对于B:若△PEE的周长为20，则PF+PF=20-2c=14,又PF-PF2=4, 由对称性，不妨设PF>PF,,所以PF=9,PF,=5, 由余弦定理可符cos∠RP5,=PF+PE-FE_81+25-367 2PF·PF, 90 9 所以sin∠RPE=-coFP5=4W5 9 商aT5的颗为PF四sn听-*95x4 =10√2，故B正确： °9 对于C:设Ax,y),B(-x,-y),则F2A=(x-3,,FB=(-x-3,-), 所以aF89--听=9-4-片-5号方s5, 当且仅当y=0时，取等号，故C正确； x足_上=1 45 对于D:设P(x2,y2),由 ,可得5-(x+_少-y+=0, 4 45 所以区-].以--为】=0，则可得-子 4 5 所以+k≥2k6,,当且仅当k=太=取等号 又无=k,=5时，P,,B三点共线，由题点，P,,B三点不能共线，放D错误 2 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足z(1-2i=3+41(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为 【答案】2 【解析】 第10页/共22页 可学科网命组卷网 【分析】根据复数的模长、复数除法公式、复数的虚部的概念即可得结论 【详解】由z1-2i=3+4i1可得：z= 3+4-32+4平1+21_51+21）_5+10i=1+2i, 1-2i(1-2i(1+2i)）1-4i2 5 故复数z的虚部为2 故答案为：2 13.若圆C:(x-2)2+(y+3)2=16与直线：3x-4y-8=0交于A,B两点，则∠ACB= 【1骨 【解析】 【分析】先由圆的方程和直线的方程得圆心距及弦长，进而在三角形中用余弦定理可得角的值 【详解】由圆C:(x-2)2+(y+3)2=16,得圆心C(2,-3),半径r=4 所以圆心C2,-3》到直线1：3x-4y-8=0的=离d=3×24x-3引-8_19-2. 32+(-4)2 5 由圆的弦长公式AB到=2WF2-d2=216-4=43,又因为CA=CB=4, 雨余弦定理c0s∠4CBCA+CB-AB平+4-4N3)又因为三角形中 2 CA CB 2×4×4 0<∠ACB<元，所以∠ACB= 2π 3 故答案为： 2π 3 14.在正三棱柱ABC-ABC,中，AB=AA,=2,则在正三棱柱内可放入的最大球的体积V与正三棱柱 外接球的体积V,之比 【答案】 万#万 4949 【解析】 【分析】分别求出正三棱柱内可放入的最大球的体积V与正三棱柱外接球的体积V?,进而求出它们的体积 之比 【详解】设底面正三角形为ABC,AB=2,其内切圆半径为”， 第11页/共22页 命学科网可组卷网 (AB+BC+CA)xr=ARx4Cxsin 得r= ,若内切球与上、下底面相切，则半径为1，因为51， 3 3 所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为R=,= 3 则其体积上= 3 4V3π 3 3 27 成据正三角后外接图半径R=。口正三角形的边长，所R- 3 又正三棱柱的高A4=2,可得球心到底面的距离为1， 4 4 7 28V21元 所以V2= 元R=三元×V3 3 27 4V3π 所以上27 228V21π 49 27 故答案为： √万 49 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知数列a,满足a=3,a1-2a,=2(neN),数列6，}满足6.=受 (1)证明数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和S, 【答案】(1)证明见解析，an=（n+2)2”-； (2)(n+1)2”-1· 【解析】 第12页/共22页 学科网组卷网 【分析】(I)证明b1一b,为常数即可证明{bn}是等差数列，求出{bn}通项公式即可求出{an}的通项公式： (2)根据错位相减法即可求数列{an}的前n项和， 【小问1详解】 由么=受，得61= 0+7, 由an1-2an=2”得，a+1=2an+2”, 故1-6==-只={。 2时-2=2’ 是等差数列，首项为的-多，公差为， 6=+m--"生2。 31 2， +2.2°=(n+22: ∴.an= 2 【小问2详解】 S,n=3×2°+4×2+5×22+.…+(n+2)2", 2Sn=3×2+4×22+5×23+…+(n+2)2”, 两式相减得： -8.=3×2”+2+2+…+2-u+22°=3+241-2-m+22=3-20-2）-a+22 1-2 ∴.Sn=-3+2(1-2"-）+(n+2)2”=(+102”-1· l6.已知函数fx=lnx+ax2+a+2)x,aeR (1)讨论f（x的单调性： (2)当a<0时，若关于x的不等式f(x)≤-2+b-1恒成立，求实数b的取值范围 【答案】1)当a≥0时，f八到在(0+)上是单调增函数：当a<0时，（纠在Q-日）上单调递增， 在（合小上单词端减：2-L回 【解析】 第13页/共22页 学科网可组卷网 【分折】1)由题意有=20r+a+2x+x>01,分a≥0和a<0进行分类讨论得出医数的单 调性 (2》不等式f≤-名+b-1恒成立，即fx≤-名+b-1,(1)可得，当a<0时， a g(t)单调性，得出g(t)的最大值即可得出答案 【详解】(1)fx)=lnx+ax2+(a+2)x, ()=1+20x+a+2-2a+(a+2x+x>0) 当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上是单调增函数； 当xe0}时，八>0，当xea+时，<0. 所以八)在0君)上单调递落，在(+树上色调赠减 综上，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上是单调增函数： 当<0时，八在0-君月)上单送培，（名松小上始调运诚 由可商当时，-n(2日。2-（日}1 由不等式到≤-子6-1恒晚立，得n(》。a≤-名+6-1包政这， 6≥h君日<0时相政立 令1=石8=n->01,则g0=}1月 第14页/共22页 西学科网丽组卷网 当1∈(0,1)时，g'(t)>0,g)单调递增： 当t∈(1，+o)时，g'（t)<0,g(t)单调递减 所以g(t)的最大值为g(1=-1.得b≥-1，所以实数b的取值范围是[-1，+0) 【点晴】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等 价转化的能力，属于中档题 17.如图，在等边△DEF中，A,B,C分别为边DE,EF,DF上的点（不含端点），记a,b,c分别为ABC 的内角4，B,C的对边，且acosB+bsin=c 小 (1)求A: (2)若b=2V3,c=V3,设∠DCA=a (i)请用含的式子表示AD和AE; (i)求aDEF面积的最大值 【答案】(1)A=交 (2)(i)AD =4sina,AE =2sin 2π 3 (i)75 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合二倍角公式化简己知等式，即可求得答案： (2)(i)利用正弦定理，即可求解；(i)利用三角恒等变换公式可求出DE的表达式，即可求出aDEF面 积的表达式，结合三角函数性质即可求得答案。 【小问1详解】 由acosB+bsin =c,由正弦定理得sindcosB+sinBsin=sinC, 2 又因为sinC=sinA+B)=-sinAcosB+cosAsinB,所以sinBsin=cosAsinB, 因为0<B<π，所以sinB>0, 第15页/共22页 可学科网可组卷网 故sin A =c0s1=1-2sin',解得sin-1或m=) 22 因为0<A<,0<<牙，则sm n--1舍去，故sin _1 -21 所以分君得4： 【小问2详解】 (i)设∠DCA= 在a4CD中，由正弦定理得1C=AD 23 AD ,即 sinD sina sin sina,得AD=4sina, 3 因为∠AEB=∠BAC=∠ADC=T 31 所以∠EAB=a,∠ABE=2 -0, 3 AB AE 5 AE 在AAEB中，由正弦定理得sinE （2π 即 3-a sin sin （2r -a 3 2π 得AE=2sin -0 3 (i)因为SDEr= DEDF.sinp- -DE2,所以当DE取得最大值时，△DEF的面积取得最大值， 4 DE AD+AE 4sina +2sin 2 3 -a/ =5sina+3cosa =27sin(a+), 其中sinp= V21 14,c0sp= 5V7 所以当sina+p)=1时，DE取得最大值27， 14 π 此时a+p= ’符合题意， 所以6DEP面积的最大值为Y5x2N7列？=75 4 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面PDB,底面ABCD是正方形，AC与BD交于点 第16页/共22页 学科网组卷网 O,PO与BD不垂直，AB=2,△PCB的面积是POB面积的2倍. B (1)证明：PD⊥AC. (2)设PD⊥DC. (i)求PD: (i)若点M∈平面PAD,且点Me平面PBC,求平面DCM与平面ABM夹角余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)(i)PD=2;(i) 3-5 【解析】 【分析】(1)过点B做BE⊥PO,交PO于E,可证BE⊥平面PAC,从而得到AC⊥平面PDB,由线 面垂直性质即可证明结论； 1 (2)(i)由题可得PD⊥平面ABCD,从而证明BC⊥平面PDC,则SPc= C·BC, 2 S.0。-)PD~B0,利用匀股定连以及三角形面积关系即可求解： (i)由题可得平面PADO平面PBC=PM,根据线面平行性质可得BC/PM,以D为坐标原点， DC为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角的余 弦值即可 【小问1详解】 因为PO与BD不垂直，过点B做BE⊥PO,交PO于E, 第17页/共22页 可学科网可组卷网 E D B A 因为平面PAC⊥平面PDB,平面PAC∩平面PDB=PO,BE⊥PO,BEC平面PDB, 所以BE⊥平面PAC, 因为ACc平面PAC, 所以BE⊥AC, 因为底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O, 所以AC⊥BD, 因为BDOBE=B,BD,BEC平面PDB, 所以AC⊥平面PDB, 因为PDc平面PDB, 所以PD⊥AC 【小问2详解】 (i)因为PD⊥DC,PD⊥AC,DC∩AC=C,DC,ACc平面ABCD, 所以PD⊥平面ABCD, 因为BCc平面ABCD, 所以PD⊥BC, 因为BC⊥DC,PD∩DC=D,PD,DCC平面PDC, 所以BC⊥平面PDC, 因为PCc平面PDC, 所以BC⊥PC, 设PD=m,则PC=Vm+4,所以5，c=)PCBC:m+4 ) 于B0=N2,所以S09=)PD:B0=V2 -m, 2 因为△PCB的面积是POB面积的2倍， 第18页/共22页 可学科网可组卷网 所以√m2+4=√2m,解得：m=2, 即PD=2; (i)因为BC/IDA,BC丈平面PAD,DAC平面PAD, 所以BC/平面PAD, 因为点M∈平面PAD,且点M∈平面PBC,所以平面PAD∩平面PBC=PM, 所以BC//PM, 因为BC//AD,所以AD⊥平面PDC, 则以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， E A 则D0,0,0,C2,0,0),B2,2,0),A0,2,0,P(0,0,2),设M(x,y,z), CB=(0,2,0),PM=(x,y,z-2),不妨设PM=1CB, x=0 所以{y=22,即M(0,2,2), 2=2 DC=(2,0,0),DM=(0,2元，2)，设平面DCM的法向量为m=(x,y,2), mDC=2x=0 所以 令=-1，则m=(0,-1,2), m·DM=2y+2z1=0 AB=(2,0,0),AM=(0,21-2,2),设平面ABM的法向量为n=(x2,y2,z2), i·AB=2x2=0 所以 iAM=(22-2)为+22，=0’令%=-1，则n=0,-1,-). 设平面DCM与平面ABM夹角为O, 所以o0-o饭列=月圆 22-元+1 2-2+1 m同V1+2V2-2元+22 V22-元+1+1 第19页/共22页 学科网可组卷网 因为-+1（久-+星子1=-+1，则：≥ 22-2+1 所以cos0= 22-+12+1 1 13 区为≥所以1+宁月 +2≤。，则c0s8= 255, 1+29 当t=3时，(cos0）m= 3 CM与平面ABM夹角余弦值的最/ 0已知椭C吾+茶=1a>>0经过 且离心率为 (1)求C的方程； (2)已知M(2,0),N(-2,0),过椭圆C的右焦点且斜率不为0的直线与C交于点A,B. （1)若四边形MBN面积为16√5，求直线AB的方程， 5 (i)若直线AN,BM的倾斜角分别为a,B,且sina+B=4 cosa cos B,求直线AN与直线BM 的交点Q到直线AB的距离 【答案】1)号+ -=1; 43 (2)(i)√5xyV50;(i)6. 【解析】 【分析】(1)由椭圆所过的点及离心率列方程求椭圆参数，即可得方程； (2)设Ax,y),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+1,联立椭圆得到韦达公式，()应用三角形 3 tana 1 面积公式、弦长公式列方程求参数值，即可得：()根据已知有m=+),从而得到 tan B 3 ,结合己知等量关系得anoa=1,tanB=3,进而有直线AN,，BM的方程分别为y=x+2, 第20页/共22页 学科网丽组卷网 y=3(x-2),依次求得Q(4,6)、直线AB的方程为4x+3y-4=0,最后由点线距离公式求距离. 【小问1详解】 a 2 9 「a2=4 )+=1·得 公-3，所以椭圆C的方程为+上 4*3=1: a2=b2+c2 【小问2详解】 设，出，B,线8的万程为x9+1,粒名+ 整理得（3m2+4)y2+6my-9=0,△=(6m)2-4×3m2+4）×-9)=144m2+1>0, 6m 9 所以%+2=3m+4'4=3m2+4 (i)四边形MBN的面积S=MN-为=2+2°-4 2 6m 9 24Vm2+1_163 3m2+4 -4× 3m2+4 3m2+4 整理得36m‘+21m2-11=0即(3m2-12m2+1川=0，解得m=士5 3 所以直线8的方程为=±41，即y店0： M B 6m 9 8空2长：-之+小 1 3 3 21 tanB当y2(x+2)2(my+3到myy+3y 3 9 七2-2 2%+)+3y 2y 23 第21页/共22页 学科网丽组卷网 由题知cosa cosβ≠0，又sina+β)=sina cosβ+cosa sin阝=4 cosa cos阝， 所tana+anB=4,与ang=3联立，得tanc=l,tanB=3, A M B 所以直线AN,BM的方程分别为y=x+2,y=3(x-2), y=x+2 联立 y=3x-2'则x+2=3x-6,可得x=4,故Q(4,6, y=x+2 x22,则父++2三1，整理有7x+16x+4=0, 联立 43 43 所以(7x+2x+2)=0,则x=号或x=2(N的横坐标，舍，故A 代入x=心+1，则号-号m+1,可得m子，放直线8的方程为4+3y-4=0. 77 4 所以点Q到直线AB的距离为d=L6+18-4-=6 5 第22页/共22页 绵阳南山中学实验学校高2023级1月月考试题 数 学 命题：唐波 刘高 审题：赵平 伍敏 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线a，b异面，下列判断正确的是（ ） A. 过b的平面不可能与a平行 B. 过b的平面不可能与a垂直 C. 过b的平面有且仅有一个与a平行 D. 过b的平面有且仅有一个与a垂直 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A. 16 B. C. D. 9 6. 在矩形中，，分别为的中点（如图（1）），将矩形绕直线逆时针旋转，点分别位于处（如图（2），则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（ ） A. B. 12 C. D. 18 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（ ） A. B. 是和的等差中项 C. D. 10. 已知是R上的以2为周期的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 曲线的对称中心为 C. 当时， D. 当时，函数在区间上仅有三个零点 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则有或 B. 若的周长为20，则的面积为 C. 的最大值为5 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 13. 若圆与直线交于A，B两点，则__________. 14. 在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，数列满足. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且. （1）求； （2）若，，设. （i）请用含的式子表示和AE； （ii）求面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，与交于点与不垂直，的面积是面积的2倍． （1）证明：． （2）设． （i）求： （ii）若点平面，且点平面，求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程； （2）已知，，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，. （ⅰ）若四边形面积为，求直线的方程； （ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $