精品解析：河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期1月学业评估数学试题

2025~2026学年第一学期学业评估 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的焦点在直线上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，其中是的导函数，则（ ） A B. C. D. 6. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 7. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A B. C. 2 D. 3 8. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象在的切线的斜率为0 B. 函数在上单调递减 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极大值 11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ） A. C的离心率为 B. C的焦点到其渐近线的距离为1 C. 若，则的面积为2 D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆的面积为，则实数的值为__________. 13. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数取值范围是_________． 14. 已知数列的前项和为，．设，数列的前项和为，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 16. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，，，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若，证明：； （3）当时，若，且，在处取得极值，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期学业评估 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程直接求出焦距即得. 【详解】椭圆的长短半轴长分别为，则其半焦距， 所以所求焦距为. 故选：B 2. 若抛物线的焦点在直线上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【详解】由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得. 故选：B. 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列定义和前项和公式可得，结合通项公式求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，则， 又因为，解得， 所以． 故选：B． 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 5. 已知函数，其中是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数求得，由此得到函数解析式，代入求函数值即可. 【详解】由求导可得，， 则，解得， 所以，则. 故选：A. 6. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】记第组中无人机的架数为，可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】记第组中无人机的架数为， 由图形可得， 可知数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则数列的前项和， 令，得，解得（舍）或， 所以210架无人机可以同时排出的图形组数是12． 故选：C 7. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 8. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A 【点睛】方法点睛：以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】整理可得，代入即可判断AB；分析可知数列是以3为周期的数列，结合周期性判断CD. 【详解】由可得，且， 则，，，故A错误，B正确； 可知数列是以3为周期的数列， 所以，故CD正确； 故选：BCD． 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象在的切线的斜率为0 B. 函数在上单调递减 C. 是函数的极小值点 D. 是函数极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可. 【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确； 由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误； 由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 故选：AD. 11. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（ ） A. C的离心率为 B. C的焦点到其渐近线的距离为1 C. 若，则的面积为2 D. 若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解. 【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上， 因为，即，则， 可得点，，渐近线为，即. 对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确； 对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确； 对于选项C：因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为，故C错误； 对于选项D：可知渐近线，直线， 联立方程，解得，即， 因为，即， 则， 当且仅当点Q 在线段上时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆的面积为，则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再根据圆的面积推出半径，列出方程即可得解. 【详解】由题意得圆的方程可以化为， 又因为圆的面积为，所以圆的半径为3， 可得，解得. 故答案为：2. 13. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知导函数的函数值既有正值又有负值，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，．设，数列的前项和为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与之间的关系可知数列是以1为首项，为公比的等比数列，可得数列是以首项为，公差为1的等差数列，即可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，， 当时，则，两式相减得， 即，可得， 当时，，则，即， 可知数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，可得， 可知数列是以首项为，公差为1的等差数列， 则，即， 可得， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解. （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 小问1详解】 由，得， 因，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即 16. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用题中条件整理可得即可得等比数列，再用等比数列的通项公式即可； （2）运用分组求和法与错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 【小问2详解】 因为， 所以. 其中. 令， ， 两式相减，得. 所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，，，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过取中点构造辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再结合线面平行的判定定理，证得平行于平面. （2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标后求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角公式计算，得到平面与平面的夹角. 【小问1详解】 取的中点，连接，，因为为的中点， 所以，且， 又，且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 分别取，中点，，连接，，则，， 因为平面，，平面，所以，， 所以，，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量，则即令， 解得，，所以， 设平面的一个法向量，则即令， 解得，，所以， 记平面与平面的夹角为， 则． 又，所以，即平面与平面的夹角的大小为． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，且，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点， 则，即， 可得， 化简得，整理可得， 因为，则，解得， 所以直线的方程为，即或． 19. 已知函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若，证明：； （3）当时，若，且，在处取得极值，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，利用导数判断的单调性； （2）可得，，利用导数判断的单调性和最值，根据零点代换结合基本不等式分析证明； （3）可得，，利用导数判断的单调性和极值点；分析可知只要证，构造，利用导数可证，即可得结果. 【小问1详解】 若，则的定义域为，且， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递增； 当时，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 若，则的定义域为，且， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知存在，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 因为，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，可得， 所以时，． 【小问3详解】 当时，的定义域为，且， 令，则， 当时，，则， 可知在内单调递增，即在内单调递增， 且， 可知存在，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以是的极小值点； 因为，且， 不妨设，则， 要证，即证， 因为，则， 又因为在上单调递增，且， 因此只要证， 设，则， 可得， 令，则， 设， 则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，可知在上单调递减， 则，可知在上单调递增，可得， 所以时，， 又因为，所以成立． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $