精品解析：河北省吴桥中学2026届高三上学期一模数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若某校高三一班一组同学的数学测验成绩分别为145，120，124，125，135，130，120，140．则这组成绩的第75百分位数是（ ） A. 122 B. 135 C. 137.5 D. 140 2. 设全集，集合，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若，且，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 6. 现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（ ） A. 243 B. 150 C. 90 D. 30 7. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在直四棱柱中，若，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 10. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当在上单调递减时， C. 当且仅当时，有两个不同的零点 D. 当时，过原点可作图象的两条不同切线 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，．若在第一象限，且在的右支上，，到轴的距离为，过作动直线与的左支交于，两点，则（ ） A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线与的交点在直线上 D. 的内切圆的圆心坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，且，则__________． 13. 在数列中，，则的通项公式为__________，若，则的前99项和__________． 14. 设为方程的任意一组正整数解，分别为的平均数和中位数，记所有正整数解对应的值的算术平均数为，某班的数学老师张老师拟对全班35名学生进行奖励，取的几何平均值作为金额数给每个学生买同样的一件小礼品，则张老师需要付出的总金额数约为__________．（注：，结果保留一位小数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． （1）求的值； （2）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，四边形中，已知交于点，． （1）若，求的值； （2）证明：当时，位于外接圆的内部． 17. 如图，在圆台中，四边形为轴截面，上、下底面半径分别为1，3，高为4，位于圆上，，为上的点，连接． （1）若成等比数列． ①求证：平面； ②求平面与平面夹角的余弦值； （2）若为的中点，求三棱锥的外接球半径． 18. 已知函数． （1）过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； （2）当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 19. 将抛物线向左平移1个单位得到曲线，过原点作直线与交于不同的两点，设中点的轨迹为． （1）求的方程； （2）设圆与轴分别交于点，（在的左侧），与在第一象限的交点为，若直线与分别交于点，直线与直线相交于点． ①求证：； ②求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若某校高三一班一组同学的数学测验成绩分别为145，120，124，125，135，130，120，140．则这组成绩的第75百分位数是（ ） A. 122 B. 135 C. 137.5 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为120，120，124，125，130，135，140，145，共8个数， 由，则其第75百分位数为第6和第7个数的平均数，为． 故选：C 2. 设全集，集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由一元二次不等式的解法结合补集的运算求出，再由集合间的包含关系列不等式组可得. 【详解】由题得， 因为，所以，所以，解得． 故选：B． 3. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 4. 在等比数列中，若，且，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，由可得，解得， 设， ， 因为，所以，解得或. 当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去； 当时，，，满足，故满足题意. 所以． 故选：A 5. 已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 6. 现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（ ） A. 243 B. 150 C. 90 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先将5个师范生分为3组，再分配给3位老师，再计算总安排方法数即可. 【详解】先把五个数学师范生分为三组，每组至少一名，有两种分法： 分法1：两组各1人，一组3人，分组数：（除以是因为两个1人组无顺序）， 分法2：两组各2人，一组1人，分组数：， 总分组数：. 将3组分配给3位老师，有种方法. 所以总安排方法数为. 故选：B． 7. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由外角平分线的性质可得到，然后利用三角形的面积公式把两三角形的面积用表示出来，求值域即可. 【详解】设，由已知得， 由外角平分线性质得， 所以，所以， 设，则， 所以的面积与的面积之比为 ， 因为，所以． 故选：C． 8. 已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在直四棱柱中，若，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位线即可判断A，先证平面平面，即可判断B，利用面面垂直的判定定理即可判断C，假设，即证平面，进而得，即可判断D. 【详解】在中，因为分别为的中点，所以，所以A正确； 因为，、、分别为的中点， 所以、、所以，所以四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确； 由平面，平面，所以，又， 平面，得平面， 因为平面，所以平面平面，故C正确； 假设，由已知得，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，因为， 所以，矛盾，所以假设不成立，故D错误． 故选：ABC． 10. 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当在上单调递减时， C. 当且仅当时，有两个不同的零点 D. 当时，过原点可作图象的两条不同切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入得，根据解析式可直接判断A；求导，根据导数得单调性可判断B；根据三次函数性质结合极值可判断C；根据导数的几何意义求得切线方程，由题意列式计算可判断D. 【详解】对于A，， 所以是奇函数，所以A正确； 对于B，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 当在上单调递减时，，所以，所以B正确； 对于C，由上可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 若有两个不同的零点，则或，所以C错误； 对于D，当时，， 设在处的切线斜率为，切点为， 则，所以切线方程为， 当切线过原点时，，解得或3，所以D正确． 故选：ABD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，．若在第一象限，且在的右支上，，到轴的距离为，过作动直线与的左支交于，两点，则（ ） A. B. 的一条渐近线的倾斜角为 C. 直线与的交点在直线上 D. 的内切圆的圆心坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】由到轴的距离为，将的坐标代入的方程，因为，所以，求解即可判断A；求出双曲线的渐近线即可得出夹角即可判断B；将直线特殊化，设，，再联立两条直线求解即可，即可判断C；由已知及双曲线的定义得，内切圆的圆心在直线，由求解，即可判断D. 【详解】不妨设在第一象限，由到轴的距离为，设， 将的坐标代入的方程得，所以，因为，所以， 所以，解得，所以A正确； 所以C的渐近线方程为，倾斜角分别为，，所以B错误； 将直线特殊化：设的方程为，不妨设， 所以的方程为，的方程为， 联立解得，的交点坐标为，不在直线上，所以C错误； 由已知及双曲线的定义得，内切圆的圆心在直线，即上， 又，，， 设内切圆的半径为，则，解得， 所以的内切圆的圆心坐标为，所以D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出的值，结合进行验证，最后代入求值即可. 【详解】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：. 13. 在数列中，，则的通项公式为__________，若，则的前99项和__________． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】先将已知递推关系两边同时除以后得到等差数列，再由公式法求出数列；由裂项相消法求和可得. 【详解】由，得，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则， 所以， 从而． 故答案为：；9. 14. 设为方程的任意一组正整数解，分别为的平均数和中位数，记所有正整数解对应的值的算术平均数为，某班的数学老师张老师拟对全班35名学生进行奖励，取的几何平均值作为金额数给每个学生买同样的一件小礼品，则张老师需要付出的总金额数约为__________．（注：，结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，利用隔板法求出正整数解的组数为组，不妨设这个数由小到大分别为,即则这三个数的 中位数为，求出的值，以及对应的排列数，利用平均数以及几何平均数的公式即可求解. 【详解】由于，所以； 方程的正整数解总数可理解为：将个分成组，需要个隔板，则正整数解的组数为组， 不妨设这个数由小到大分别为,即则这三个数的 中位数为， 当时，则，，排列以后对应的组数为； 当时，则，，或，，排列以后对应的组数为； 当时，则，，或，，或，，排列以后对应的组数为； 当时，则，，排列以后对应的组数为； 故其中中位数为1，2，3，4的分别有3，9，13，3组， 所以，所以，所以张老师需要付出的总金额数约为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注情况 高度关注 非高度关注 女学生 30 男学生 90 以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为． （1）求的值； （2）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型列方程，解方程可得答案； （2）利用独立性检验可得答案. 【小问1详解】 因为在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为， 所以，解得． 又，解得，所以 【小问2详解】 由（1）得，列联表如下： 性别 关注情况 合计 高度关注 非高度关注 女学生 70 30 100 男学生 90 10 100 合计 160 40 200 零假设为；该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别无关． ， 因为依据小概率值的独立性检验，判断不成立， 即认为该校学生高度关注我国航天事业发展与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于． 16. 如图，四边形中，已知交于点，． （1）若，求的值； （2）证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】（1） （2） 在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则， ，解得， ，位于外接圆的内部． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【小问1详解】 ，， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． 【小问2详解】 略 17. 如图，在圆台中，四边形为轴截面，上、下底面半径分别为1，3，高为4，位于圆上，，为上的点，连接． （1）若成等比数列． ①求证：平面； ②求平面与平面夹角的余弦值； （2）若为的中点，求三棱锥的外接球半径． 【答案】（1） ①在圆台中，， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即， 在中，因为成等比数列， 所以，即， 所以与相似，所以， 因为，平面，所以平面 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由线面垂直的判定定理证明即可；②建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解； （2）由，得的外心为的中点，设三棱锥外接球的球心为，由建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 ①略 ②分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由已知得， 所以，即平面的法向量为， 又，所以， 设平面的法向量为， 所以，设，则， 所以平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 因为，所以的外心为的中点， 所以可设三棱锥外接球的球心为， 由已知得， 因为，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为． 18. 已知函数． （1）过原点是否存在一条直线与的图象相切？并说明理由； （2）当时． ①若，求的取值范围； ②证明：当时，． 【答案】（1）过原点不存在一条直线与的图象相切，理由见解析 （2）①； ②当时，因为在单调递减，在单调递增， 所以不妨设，要证， 只需要证明，又因为，在单调递增， 所以只需要证明， 由于，即只需要证明， 令， ， 因为，所以， 则， 故在上单调递减， 故当时，， 即，其中，所以成立， 故． 【解析】 【分析】（1）利用导数来求切线方程，利用切线过原点可得参数的方程，通过方程无解，来判断过原点的切线不存在； （2）①利用导数来求函数在的值域，再结合不等式恒成立，转化为，从而可得的取值范围；②利用极值点偏移证明方法，结合分析法来构造函数求导证明即可. 【小问1详解】 设为图象上的任意一点， 因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为， 假设存在一条切线经过坐标原点，则， 因为，所以，即， 此时等式显然不成立，即方程无解， 所以假设不成立，所以过原点不存在一条直线与的图象相切． 【小问2详解】 ①当时，，其中， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 则当时，在处取得最小值为， 因为时，，而， 所以在处取得最大值为， 因为，所以， 即的取值范围为． ②略 19. 将抛物线向左平移1个单位得到曲线，过原点作直线与交于不同的两点，设中点的轨迹为． （1）求的方程； （2）设圆与轴分别交于点，（在的左侧），与在第一象限的交点为，若直线与分别交于点，直线与直线相交于点． ①求证：； ②求面积的最小值． 【答案】（1） （2）①由已知得，的焦点为，准线方程为 ， 设，则， 所以圆的方程为，所以，， 设直线的方程为， 由，可得，， 则，又因为，所以， 又直线 的方程为， 由，可得，所以， 又，所以， 过点 作，垂足为，则． 则直线 的方程为， 又直线的方程为，联立可得点， 所以，， 所以， 由相似三角形性质可得． ②16 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线平移规律得到曲线的方程，再联立直线与方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出中点轨迹方程. （2）①设出相关点坐标，求出直线， 方程并与曲线联立，利用韦达定理和定比分点公式证明线段比例关系. ②设直线 方程并与曲线联立，用弦长公式和点到直线距离公式表示出面积，进而求出最小值. 【小问1详解】 由已知得，的方程为， 由题得直线的斜率不为零，设的方程为， 由，消去得，， 设，， 中点的坐标为，所以， 则，， 消去得，所以的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②由①得， 因为，， 所以，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $