精品解析：吉林省长春市九台区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数在数轴上表示的点到原点的距离最近的是（ ） A. B. C. 0.5 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，由点到原点的距离是该数的绝对值，据此比较各选项的绝对值大小，绝对值最小的点距离原点最近，即可求解． 【详解】解：因为， 所以表示的点到原点的距离最近； 故选：A． 2. 截至2024年底，全国高速公路里程达191000公里，覆盖的20万以上人口城市，数字191000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列角度换算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角度换算，角度换算的关键是掌握度与分之间的进率60，角度换算基于，因此分转换为度需除以60，度转换为分需乘以60． 【详解】解：对于A：∵ ， ∴，故A错误. 对于B：∵， ∴，故B正确. 对于C：， ∴，故C错误. 对于D：，故D错误. 故选：B． 4. 在海面上，灯塔位于艘船的北偏东，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A. 北偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 南偏西 【答案】D 【解析】 【分析】灯塔位于艘船的北偏东，则这艘船位于这个灯塔南偏西. 【详解】由题意得：这艘船位于这个灯塔南偏西. 故选：D. 【点睛】此题考查方位角，注意两个物体间的位置关系，相对而言时，所得到的方向是相反的，角度是相同的. 5. 如下是小明同学当堂检测填空题的完成情况，他最后得分是（ ） 姓名：小明 得分：______ 填空题（评分标准：每道题4分） （1）； （2）； （3）； （4）． A. 4分 B. 8分 C. 12分 D. 16分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项的法则，即只有同类项才能合并，系数相加，字母及指数不变；需逐题判断小明的答案是否正确，并计算得分 【详解】∵（1），小明答案为，正确； （2）与不是同类项，不能合并，小明答案为，错误； （3），小明答案为，正确； （4），小明答案为，正确； ∴小明答对3题，每题4分，总分为分， 故选：C． 6. 下列工具中，有对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 7. 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小刚提供了测量方案：反向延长OA至点C，若他测得的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的性质即可求出的度数. 【详解】如题图，因为与是邻补角， 所以， 故选C. 【点睛】此题考查的是邻补角的性质，掌握邻补角互补是解决此题的关键. 8. 将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质等知识，利用平行线的性质以及三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 如图是一个正方体的表面展开图，当把它折成一个正方体后，与“你”字相对的字是______． 【答案】快 【解析】 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据正方体表面展开图的“相间、Z字是对面”，即可求解；掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：与“你”字相对的字是“快”， 故答案为：快． 10. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 11. 添括号：（______） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了添括号法则，根据添括号法则得括号前面添“”，括号内各项都变号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 把多项式按降幂排列为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式按某个字母的降幂排列，按字母的指数从大到小排列多项式，即可求解． 【详解】解：按降幂排列为． 故答案为． 13. 如图①，已知四边形纸片，按图②、图③的折纸方法，依次折叠后再展开，如图④第二条折痕与边交于点，连接、，若，平分，则的度数为______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定及性质；由折叠的性质得，，由平行线的判定方法得，结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠得，， ， ， 平分， ， ， 故答案为． 14. 如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算； （1）先进行乘除运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行乘方运算，同时化简绝对值，并把除法转化为乘法运算，再计算乘法，最后进行加减运算，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. （1）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，请直接写出与互余的角． （2）如图1是由6个相同的正方体堆成的物体，试在网格中画出新物体的主视图，要求不改变正方体的个数，改变物体的形状，使它的俯视图为图2（画出一种即可） 【答案】 （1）在图中标记的角中，与互余的角是； （2）解：新物体及其俯视图和主视图如下图所示： 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，画小立方块堆砌图形的三视图． （1），由平行线的性质，结合对顶角相等，可得，即可得与互余的角； （2）根据题意，结合俯视图，可得新物体，画主视图即可． 【详解】（1）解：∵直尺的两边相互平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在图中标记的角中，与互余的角是，，． （2）略 17. 如图，已知点在线段上，，，、分别是、中点，求线段的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差运算，与线段的中点有关的计算． 先结合，，得，又因为、分别是、中点，得，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别是、中点， ∴， ∴． 18. 如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： （1）过点画出线段的垂线，垂足为点； （2）画出线段的垂直平分线； （3）过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图，直线即为所求； （2） 如图，直线即为所求； （3） 如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，若，求长方形与的面积的差． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，先根据长方形的面积等于长乘宽，得出长方形与的面积，再列式计算，求出长方形与的面积的差，即可作答． 【详解】解：依题意，长方形的面积， 长方形的面积， ∴ 即长方形与的面积的差为． 20. 已知：（如图）． （1）求作：以为一边，作．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，则的度数为______． 【答案】（1） 解： 当在的内部时， 故为所求作； 当在的外部时， 故为所求作； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角，角的和差计算； （1）当在的内部时，当在的外部时，按作一个角等于已知角的作法作图，即可求解； （2）当在的内部时，当在的外部时，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 当在的内部时， ； 当在的外部时， ． 综上所述：的度数为或． 21. 如图，已知，求证：． 证明：（______），（______） ∴______（等量代换）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （______） （已知）， ______（等量代换） （______）， （______） 【答案】对顶角相等，已知；；，；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质等；由平行线的判定方法得，根据平行线的性质得，再由内错角相等，两直线平行判定，即可得证． 【详解】证明：（对顶角相等），（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等，已知；；，；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 22. 【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： （1）【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 【答案】（1）①； ②，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【小问1详解】 解：①如图，过点作， ， ，， ， ， ， 即． ②略 【小问2详解】 解：设，， 平分，平分， ，， ， 由（1）可知，， 由材料的结论可知，， ． 23. 如图1这是2026年1月的月历表，用“”字形框出月历表中的五个数． （1）图1中“”字形框出来的五个数的和与中间数13有什么关系； （2）用如图2所示的“”字形去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为； ①甲同学设，请你计算（1）中的结论是否依然成立． ②乙同学设更简单，请你也来试一试． ③小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答： 代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）图1中“”字形框出来的五个数的和是中间数13的倍； （2）①（1）中的结论依然成立；②（1）中的结论依然成立；③是定值． 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示，整式的加减， （1）根据题意列式计算即可； （2）①先表示出B，C，D，E，再相加求出结果，并判断； ②先表示出A，B，D，E，再求出和判断即可； ③结合第二种做法将，代入待求式，根据整式的混合运算法则计算，并说明． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴图1中“”字形框出来的五个数的和是中间数13的倍； 【小问2详解】 ①解：由，则， 则， 所以这五个数的和能被5整除； 故（1）中的结论依然成立． ②解：由，则 则， 所以这五个数的和能被5整除； 故（1）中的结论依然成立． ③解：是定值，过程如下： 由，则 则 24. 如图1，，射线从与重合时开始运动，以每秒的速度绕着点顺时针的方向旋转一周，设射线运动的时间为，在旋转过程中，平分，平分． （1）当秒时，则______； （2）当射线运动到位于内部时，求的度数； （3）当射线运动到位于外部（射线不在直线、上）时，则______； （4）如图2，当射线旋转秒时，射线从与重合时开始沿着射线运动路线绕点以每秒的速度运动，旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当旋转至时，射线、射线同时停止运动，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）的值为秒或秒或秒或秒． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得，再代入，求解即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法和角平分线的定义解答即可； （4）利用分类讨论的思想方法，列一元一次方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵射线从与重合时开始运动，以每秒的速度绕着点顺时针的方向旋转一周，射线运动的时间为， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵平分，平分， ∴，， ∵射线运动到位于内部，且， ∴， ， ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 当射线运动到位于外部（射线不在直线、上）时， ①当时，即时， 如图： 由题意得：由（1）可知， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②当时，即时， 如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴综上，或． 故答案为：或； 【小问4详解】 ∵射线从与重合时开始沿着射线运动路线绕点以每秒的速度运动，当旋转至时，射线停止运动， ∴， ∴射线往返一次的时间是． ∵射线先旋转秒， ∴，即， ∴， ∴由（2）、（3）可得，． ∵， ∴． ①射线从与重合时开始沿着射线顺时针旋转，当射线在射线上方， 如图： 由题意得：， ∵， ∴， ， ； ②射线从与重合时开始沿着射线顺时针旋转，当射线在射线下方， 如图： 由题意得：， ∵， ∴， ， ； ③射线旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当射线在射线下方， 如图： 由题意得：， ， ∵， ∴， ， ， ④射线旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当射线在射线上方， 如图： 由题意得：， ， ∵， ∴， ， ； 综上，的值为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，本题是动线问题，正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数在数轴上表示的点到原点的距离最近的是（ ） A. B. C. 0.5 D. 2025 2. 截至2024年底，全国高速公路里程达191000公里，覆盖的20万以上人口城市，数字191000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列角度换算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在海面上，灯塔位于艘船的北偏东，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A. 北偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 南偏西 5. 如下是小明同学当堂检测填空题的完成情况，他最后得分是（ ） 姓名：小明 得分：______ 填空题（评分标准：每道题4分） （1）； （2）； （3）； （4）． A. 4分 B. 8分 C. 12分 D. 16分 6. 下列工具中，有对顶角的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小刚提供了测量方案：反向延长OA至点C，若他测得的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 如图是一个正方体的表面展开图，当把它折成一个正方体后，与“你”字相对的字是______． 10. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______． 11. 添括号：（______） 12. 把多项式按降幂排列为______． 13. 如图①，已知四边形纸片，按图②、图③的折纸方法，依次折叠后再展开，如图④第二条折痕与边交于点，连接、，若，平分，则的度数为______． 14. 如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④ 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. （1）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的角中，请直接写出与互余的角． （2）如图1是由6个相同的正方体堆成的物体，试在网格中画出新物体的主视图，要求不改变正方体的个数，改变物体的形状，使它的俯视图为图2（画出一种即可） 17. 如图，已知点在线段上，，，、分别是、中点，求线段的长度． 18. 如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： （1）过点画出线段的垂线，垂足为点； （2）画出线段的垂直平分线； （3）过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 19. 如图，若，求长方形与的面积的差． 20. 已知：（如图）． （1）求作：以为一边，作．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，则的度数为______． 21. 如图，已知，求证：． 证明：（______），（______） ∴______（等量代换）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （______） （已知）， ______（等量代换） （______）， （______） 22. 【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： （1）【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 23. 如图1这是2026年1月的月历表，用“”字形框出月历表中的五个数． （1）图1中“”字形框出来的五个数的和与中间数13有什么关系； （2）用如图2所示的“”字形去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为； ①甲同学设，请你计算（1）中的结论是否依然成立． ②乙同学设更简单，请你也来试一试． ③小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答： 代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 24. 如图1，，射线从与重合时开始运动，以每秒的速度绕着点顺时针的方向旋转一周，设射线运动的时间为，在旋转过程中，平分，平分． （1）当秒时，则______； （2）当射线运动到位于内部时，求的度数； （3）当射线运动到位于外部（射线不在直线、上）时，则______； （4）如图2，当射线旋转秒时，射线从与重合时开始沿着射线运动路线绕点以每秒的速度运动，旋转至时，立即按照原速绕着点逆时针的方向旋转，当旋转至时，射线、射线同时停止运动，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $