精品解析：四川省泸州市龙马潭区五校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期龙马潭区五校联考八年级期末质量监测试题 数学 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，设第三边为，则，由此即可求解． 【详解】解：设第三边长度为， ∵三角形三边关系：，即， ∴根据题意，符合题意， 故选：C． 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（ ）的交点处 A. 三条角平分线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 6. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的性质与化简．AC：取特殊值验算即可判断；BD：化简分式左边即可． 【详解】解：A：取，，故A不正确； B：，故B不正确； C：取，，故C不正确； D：，故D正确； 故选：D． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交，于点D，E，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，利用以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵与不垂直， ∴，故B符合题意； ∵的垂直平分线交，于点D，E， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴ ，故D不符合题意； 故选B 8. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 等腰三角形的一个外角是，它的顶角的度数为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理，掌握外角的定义，三角形内角和定理是关键． 分两种情况讨论：外角是顶角的外角或底角的外角，利用外角与内角的关系及三角形内角和求解． 【详解】解：∵ 外角等于减去相邻内角， ∴若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角 ， ∵ 等腰三角形两底角相等， ∴ 顶角， ∴ 顶角或， 故选：A． 10. 已知：，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． 利用幂的运算法则，将已知条件代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 11. 已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程的解求参数，理解题意，掌握解分式方程是关键． 解分式方程得到，由题意为负整数且 ，故 为10的负约数，且为整数，逐一验证即可． 【详解】解：， 两边乘公分母 得：， 化简得：， 即 ， ∴， ∵为负整数，且，， ∴，即， 又为10的约数，且为负， ∴可能为：， 当时，，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，，符合； 当时，，非整数，不符合. ∴整数有和共2个， 故选：B． 12. 定义一种新运算：对于非零实数，分式，规定，且，，则下列计算结果正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据新定义，求出，再分别代入各选项中的值，计算后，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 当，时，原式；故A选项错误； 当，时，原式；故B选项正确； 当，时，原式；故C选项错误； 当，时，原式；故D选项错误； 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式，乘法公式是关键．先提取公因式，再使用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 若点A(，2)与B(3，b)关于轴对称，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 15. 已知：，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据整式的运算法则和完全平方公式可以将化简为，然后将数值代入计算即可． 【详解】∵ ∴将代入得：． 故答案为∶ 【点睛】本题考查的是运用整式的运算法则和完全平方公式化简代数式的能力，能够将原式转化成是解题的关键． 16. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为0，掌握分式的值为0，则分子为0，分母不能为0的知识是关键，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解方程，得 ， ∴或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，四边形内角和定理，三角形外角的性质．首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于，的对称点，，延长到点， ∴，， ∴，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（每题8分，共16分） 18. 计算：． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零次幂，负指数幂的计算是关键． 分别计算算术平方根，乘方，零次幂，负指数幂的结果，再计算加减即可． 【详解】解： ． 19. 如图，于点，于点，，，证明：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据题意，证明，得到，即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（每题10分，共30分） 20. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】 ，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是关键，根据分式的混合运算法则化简，结合题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵，即 ∴从中选出合适的的整数值为， ∴原式． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）作出关于轴对称的，则三个顶点坐标分别为 ； （2）计算的面积． 【答案】（1）作图见详解， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，写出平面直角坐标系中点的坐标，格点求面积． （1）根据轴对称图形的性质作图，写出坐标即可； （2）运用格点求面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴； 【小问2详解】 解：． 22. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2），见详解 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，再运用斜边直角边证明三角形全等即可求解； （2）根据题意得到，，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 五、解答题（每题12分，共36分） 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； 【小问2详解】 分解结果不彻底， 原式 ； 【小问3详解】 设， 原式． 24. 某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． （1）求一件型商品的进价分别为多少元？ （2）若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ （3）在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元 （2）见解析 （3）方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量关系列出方程和不等式式解题的关键． （1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元，根据数量总价单价，结合“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进A型商品m件，则购进B型商品件，根据“A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于78件”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案； （3）利用总利润每件的利润销售数量，可分别求出3种进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，依题意得 ， 解得， 经检验，是原方程解且符合题意，所以． 答：一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元． 【小问2详解】 解：设购进型商品件，则购进型商品件， 依题意得 解得， 又∵为整数，即可以为78，79，80， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进型商品78件，B型商品82件； 方案2：购进型商品79件，B型商品81件； 方案3：购进型商品80件，B型商品80件． 【小问3详解】 解：方案1获得的利润为（元）； 方案2获得的利润为（元）； 方案3获得的利润为（元）． ∵， ∴方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元． 25. 如图1，平面直角坐标系中，已知点，，垂直轴于点，轴于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求点的坐标； （3）如图3，点是第一象限内一动点，点是轴正半轴上一动点，连接，始终保持且，连接，为线段中点，连接和，求． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，得，由，等量代换即可求解； （2）根据题意，运用待定系数法分别算出直线的解析式，联立方程组求解即可； （3）根据题意，延长至点，使得，连接，设交于点，证明，得，，结合三角形外角的性质得到，再根据四边形内角和定理，等量代换得到，证明，得到，，由此得到是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为， 联立方程组得，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使得，连接，设交于点， ∵是中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期龙马潭区五校联考八年级期末质量监测试题 数学 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（ ）的交点处 A. 三条角平分线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条边垂直平分线 6. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的垂直平分线交，于点D，E，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 8. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 9. 等腰三角形一个外角是，它的顶角的度数为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 已知：，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 定义一种新运算：对于非零实数，分式，规定，且，，则下列计算结果正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题（每小题4分，共20分） 13. 因式分解：______． 14 若点A(，2)与B(3，b)关于轴对称，则_______． 15. 已知：，则的值为_______． 16. 若分式的值为0，则的值为______． 17. 如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，当的周长最小时，的度数为__________． 三、解答题（每题8分，共16分） 18. 计算：． 19. 如图，于点，于点，，，证明：． 四、解答题（每题10分，共30分） 20. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）作出关于轴对称的，则三个顶点坐标分别为 ； （2）计算的面积． 22. 如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 五、解答题（每题12分，共36分） 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24. 某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． （1）求一件型商品的进价分别为多少元？ （2）若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ （3）在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 25. 如图1，平面直角坐标系中，已知点，，垂直轴于点，轴于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求点的坐标； （3）如图3，点是第一象限内一动点，点是轴正半轴上一动点，连接，始终保持且，连接，为线段中点，连接和，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $