湖北省荆州市2026届高三上学期元月质量检测数学试卷

荆州市2026届高三元月质量检测 数学参考答案及评分细则 (2026年1月) 一、选择题：1-8：CACD BABD 二、选择题：9.BC 10.ABD 11.BCD 2 三、 填空题：122 3+222+2V21 13 14.4-ln5 14,解析：由题意得：Sn=n血+1)，所以bma十n+ 5 n+l 1,11.11 所以T,3-2支方-5分nH0-lh2+h2-ih3++nm-ha+1》5-n 5 1 -+In- n+1 令0x=l-x+nx,所以fx1-x 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+oo)上单调递减，x)在x=1时取得最大值0， 即1-x+inx≤0，则T,=4+1- 5 nn+ln5≤4-lh5,当n=4时，等号成立 5 所以mmin=4-ln5 四、解答题： 15解析：(1)方法一：如图，连接C℉并延长交直线AD于2， 连接PQ…2分 因为EF∥平面PAD,EFc平面CPO,且平面PAD∩平面 CPQ=PQ,所以EF∥PQ…4分 因为点E为线段PC的中点，所以点F是线段CQ的中点， 又由于P1DC,由中位线定理，4FCD-1…7分 Q 方法二：以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z 轴建立空间直角坐标系。 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),点E为 PC的中点，故E(1,1,1)。 设点F在AB上，AF=t(0≤t≤2)，则Ft,0,0),向量EF=化-1，-1，-1)3分 因为AB⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量AB=(2,0,0) 由于EF∥平面PAD,则EF.AB=t-1,-1,-1)·(2,0,0)=2t-1)=0,解得t=1, 因此，AF的长为1。…7分 (2）D(0,2,0),F(1,0,0),E(1,1,1),P(0,0,2) D厅=(1，-2,0，D泥=(1，-1,1)，设平面DEF的一个法向量为=(xy,2,由 8得{0◆121-10分 D正m=0 同理可得平面PDF的一个法向量为=(2,1,1)…11分 eos(位动外前 42 mV6√后3 第1页共6页 结合图形知，所求二面角为锐二面角，因此，二面角E-DF-P的余弦值为…3分 16解析：()设正-C-式，则而-6，死-式-8…3分 因为AD1E,所以而-正e-即-书8r子书0…5分 所以6-，周石C-2×3×aA1放coA石进面如A=西 …7分 6 1 35 所以△ABC的面积S=2AB:AC-sinA= …9分 2 1 (2)由余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB·AC-cosA=4+9-2×2×3×二=11，BC=√I…13分 6 sinCsinA所以sinC AB BC 2x③5 由正弦定理， 6 √385 ……15分 √1I33 17.解析：(1)设第i题抽到选择题为事件A,抽到填空题为事件B,…1分 32.2182 则P(B2-P(A1)P(B2IA1HPB,)PB2B1)广54+54205 …6分 因此，第二题抽到填空题的概率为 (2)设小黄在甲平台答对题数为X,则X=0,1,2 、Px=2)=Cg(42+C4C.42C2, 7175 …7分 C14、C4Cg124.3C323 0X-155×2+g(5号+行 C55×284 …8分 175 Rxw得器指头 …9分 则小黄在甲平台花费金额的数学期望 68 2374a E(专)=0.2a75+0.5a×75+0.8a×175173 …10分 设小黄在乙平台答对题数为Y,则Y=0,1,2 Py-22+CC42C22 …11分 3.14×2+©C212+4.2+C353x212 P(Y=1)= 551 25 …12分 v0得e得r TC255C2（令2J 25 …13分 则小黄在乙平台花费金额η的数学期望 10. 12 x25125-0.416a14分 E(n)=0.2a×25+0.5a×25+0.8a×3=522 74a 由于E(专)175≈0.42a,所以(nE(考)，故小黄应选择乙平台参加活动…15分 18解析：(1)双曲线两个焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0)…1分 由MF1/NF2可知，MFNF2=PFPN=1:3,故yN=3yM>0…2分 第2页共6页 两条平行线设为MF1x=my-2,NF2:x=my+23分 分别与x2-y2=2联立，得 [(m2-1)yM-4myM+2=0 (m2-1yM-4myM+2=0…① (m2-1)y+4myN+2=0,进而有 …4分 yN=3yM 9(m2-1)y+12myM+2=0…② 将@-①x9得.3加M-1,代人0武得m2-…5分 因为yw20,m亏0所以m0,故m=万所求斜率为7…6分 m (2)证明：()分别延长线段MF1,NF2与双曲线交于G,H,由于MF1/NF2, 由双曲线的对称性可知，MG=NH,四边形MNHG是平行四边形，其中心为原点，G,N 关于原点对称，故NF2GF…7分 设MF1:x=my-2,Mx1,y1),G(x2,y2),N(-x2,-y2),且y1>0>y2, F2 + G 联立ym2-1w20 4m 2 yityam2-1yIya-m2-1 <0…8分 所以m2-1<0,m∈(-1,1). 由两点距离公式，MF1=V(x1+2)2+yy1Vm2+1,NF2GF1=V(x2+2)2+y3=-y2Vm2+1 1 1 1 =y1-y2 Vy1+y2)2-4y1y2 所以FNEalym年y2m年-y2m+T -y1y2Vm2+1 2W2√m2+1 11 由韦达定理， 1-m2 MF NF2 2 =V2…11分 m2-TVm2+1 ()方法一：设M,,NFs,由0知上+=2，即：rs2 由双曲线的定义知，MF2=+2V2,NF1=s+2V2, 由于MF/NF2,根据平面几何知识，PFPN=PMPF2=MFNF2=r:s, 所以F2②PM2②…14分 第3页共6页 PFPF6s+20+2-2t232 +2√2=3√2 r+s r+s 由椭圆定义知，点P在以F1,F2为焦点，长轴长为3V2的椭圆上…16分 由63,2得2-其方程为。十 32 22 以当点MN在双线上运动时，点P在椭圆父+Y上运动 22 方法二·直线rNy。是+M收-2结合y2 即F,NyK+2,Mymx2)联立方程组的解即为点P唑标 y2 2x+2.… [y(my2-4) =x+2 由 变形为 y2 4-4 y(my1-4) ,两式相减得( )y=4, ymy14x-2. =X-2 yi y2 所以y=y2 1 由此y2= y12)2 y2-y1 1+2P-4y122m2+2…13分 ③×④得：y2= 的y2-4m心2+1602-4y yiy2 m-82-4小15分 由以上两式消去m得：18y29-2x2变形为+ 1 -=1,对应曲线为椭圆 22 9+ 以当点MN在双曲线上运动时，点P在椭圆、S+二=1上运动 22 方法三：设IMF1NF2=1:t,t>0,yM>0,yN>0 [(m2-1)y-4myM+2=0 由(1)知， m2-1+4mN+2=0,进而有，m2-1呢-4mM+2=0 yN-tyM t2(m2-1)y+4tmyM+2=0 类似(1)的方法得：2tmyM=t-1 当m=0时=1，此时MF1,NF2均垂直于x轴，M(-2,V2),N(2,√2)，点P是矩形MNF2F1 对角线的中点， v2 故P(0,2: …12分 t-1 当m≠0时t≠1，MF2tm t-1 3t+1+3 yN-2m 分别代入两直线方程得：M一2tN=2 3t+1t-1 故M(-2t2tm t+3t-1 N(22m …13分 m代入x2-y2-2得m2--12 t什3t- 将N(22 2+6t+1 直线NF1m(t+7)y=(t-1)x+2),MF2:m(-7t-1)y=(t-1)(x-2),联立方程组，其解为点P坐标 nI2yx 3t-1)t-1 2t+1y2m(t+0 …15分 第4页共6页 x2 所以3m9m2结合m0X0.-1沪 +6+77-9 t2+6t+11 3(t-1) 得 -2x+3 由x=- 2(t+1) 2x+3 代人化筒：2x2418y2-9即 y2 =1,对应曲线为椭圆； 1 22 √2 当m=0时P0,2)也在该椭圆上， 所以当点MN在双曲线上运动时，点P在椭圆？+上 9+ =1上运动…17分 22 4c0$x+2 19.解析：(1)f(x)= (4+2c0sx)2 -a…1分 4t+2 令t=cosx∈[-1,1]，h(t (4+2t2,h()= 8(1-t) 4+20≥0，所以h(在[-1,1]上单调递增，…-2分 1 4cosx+2 1 2(-1≤h0≤h(1f石，即-2≤4+2cos≤石-3分 4cosx+2 ①当a≥言时，f)42cosa≤0，在[0，+o)递减，W≤0-0，不等式成立… 4分 1 ②当-2a石时，由y-cosx在[0，π]单调递减及h(x)在[-1,1]止单调递增知， 4cosx+2 f0w42cosa在0，m]单调递减，故3，(0，m,使f6o)-0,当x∈[0x]时f6o≥0， fx)在[0，xo]单调递增，fxo)>f0)=0,与已知矛盾…6分 ③当a≤-2时，f(w)≥0对x∈[0，+∞)恒成立，)在[0，+o)单调递增，故当x0时， fx)>f0)=0,与已知矛盾； 1 综上所述，a≥石…7分 1 1 (2)(①)设gx=cosx-1+7X2,0<x≤1)g6x)-sinx+2×g6x)2cosx…8分 由于03x≤1<号cosx2故g6)0,从而gW在0,1]上递减，g（g0-0, 所以E6的在01上递减g6g0-0故co1-2…10分 sinx 1 (仙）证明：由()可得，0时，4种2c08x石x≤0，进而 inx≤2+oosx0…1分 3 因为k20c≤L,由0得.c1官②…2分 2,1 由①②得： 第5页共6页 2 2 2x2+cos飞_42o24+21-1 2 见25352酚 1 ksin-2× 2 、111-1<1-1…14分 1 因为夜kk+玉k中市，及k中衣 .2 2 ,11、 所以ksin长2+5×（中宝…15分 ae )0-)) 2 议当2aeN时sn子6aa成立7 3(n+1) 第6页共6页荆州市2026届高三元月质量检测 数学试卷 2026:1 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形鸠 粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内、写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.集合A={1,2,3},B={xlx<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是 A.（-0,1) B.（-o,1] C.（3,+∞） D.[3,+o) 2.已知a=23,b=0.32,c=lg32,则a,b,c的大小关系为 A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b 3.已知≠0，则“x=2y”是“之+2=4”的 y x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若对Vk∈R,直线y=c+1与圆x2+y2-2x+m=0总有2个公共点，则m的取值范围是 A.[-1,+o) B.(-o,-1] C.(-1,+∞) D.(-00,-1) 5.已知偶函数fx)在[0，+o)上是增函数，则满足f(x-2)<f(2x)的x的取值范围是 A(-2) 2 B.(-0,-2)U(3,to） C.(-2,+∞） D.居 6.将函数y=2sin(2x-刀)的图象向左平移T个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数 (x)的一个单调增区间为 A[7 B[g别 c【0 D 高三数学试卷第1页（共4页） 7.科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字 键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁 生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判 断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机选择5个不同密码尝试，能成功破解该 密码的概率为 A.1-(10793 B、1 Q、1 1559、 5 D.1- 1080 312 "216 1560 8已知平面上的点M(智2，m),m-2,W,则INI的最小值为 1-n4 3 e-ln 4 3-3n4 A.1 B.5 C.5 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某校教学比武活动有7名评委现场打分，7名评委对某位选手的评分分别为a,b,c,d, ©f,g设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，s,m,z,根据记分规则，去掉 一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为x1,$1, m1,名1，则以下判断一定正确的有 A.x1≤元 B.S1≤s C.m=m D.名1=z 10.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC=CC1=3,BC=4,且AC⊥BC,点D在线段AB上 运动，则下列结论正确的有 C B A.AC1⊥平面ABC B.A,D与BC,不可能平行 C.A,C与B,D不可能垂直 D.四棱锥A1-CBB,C,的外接球面积为34m 11.“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函 数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究， 1-x2,-1≤x≤1 函数fx)=2f(x-2),1<x≤5 就是一个“局部周期递归函数”，则下列说法正确 -x2+4x+5,x<-1或x>5 的有 A函数f(x)的值域为(-o,1] B.函数(x)在(4，+o)单调递诚 C.方程(x)=1有5个不同的解 D.若方程(x)]2-(x)+1=0有10个不同的解，则2<2 5 高三数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a,beR,(a+bi)(1-i)=i(i为虚数单位)，则函数f(x)=asinx+bcost的髅大催 为 知抛物线C:三4：，椭圆C:(@>b>0)的右焦点P与揽物线C,的熊 合，点P是C,与C2在第一象限的一个交点，且∠P℉0=90°(0为原点).则椭圆C,的 方程是 14.已知等差数列{an}首项为2，公差为2，前n项和为Sn,数列{bn}前n项和为T.,且满 三+n几，若对于任意neN,I≤m成立，则m的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD,且 PA=2.点E为线段PC的中点. (1)在线段AB上取一点F,使得EF∥平面PAD,求此时线段AF的长； (2)对于(1)中所求的点F,求二面角E-DF-P的余弦值 E D 16.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,D,E分别是边BC,AC的中点，且AD⊥BE. (1)求△ABC的面积； (2)求sinC 高三数学试卷第3页（共4页） 17.（本小题满分15分) 某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动 的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电：活 动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同 的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两 题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能 享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的 概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立 (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率： (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由， 18.(本小题满分17分) 如图，F1,F2分别为双曲线C:x2-y=2的左、右焦点.M,N分别为双曲线左、右支上位 于x轴上方的点，且满足MF,WF2,设直线FN与F2M相交于点P. (1)若1NPI=3IPFI,求直线MF,的斜率； (2)当点M,N在双曲线上运动时， （)证男为定值： ()证明点P在一个椭圆上运动，并求出该椭圆 F 方程 19.（本小题满分17分) 设五数人动=0 -acx(a∈R) (1)若对Vx≥0，∫(x)≤0成立，求实数a的取值范围； (2)()当0<x≤1时，比较c08x与1-子2的大小， (证明：当≥2，eN∵时，么（血子） (6n+5)(n-1) 3(n+1) 高三数学试卷第4页（共4页）