精品解析：陕西省榆林市靖边县四中共同体2025-2026学年八年级上学期1月期末数学

2025—2026学年度第一学期八年级数学作业单 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 非物质文化遗产承载着中华民族的基因和血脉，是前人留给我们的宝贵财富．在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，连接，点在上，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若关于的分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图，在中， ，平分交AB于点D，E为线段上一点，连接，且，若，则的长是（    ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. 已知某花粉的直径约为0.00000352米．将数据0.00000352用科学记数法表示为______． 11. “茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 12. 对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为______． 13. 如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为______． 14. 如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解分式方程：． 16. 已知一个三角形的三边长为，若，，求该三角形的周长的取值范围． 17. 化简：． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，在边上找一点D，使的周长等于．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在四边形中，连接、．已知，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） （2）在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 21. 如图1，小聪和小明玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，是支点（即、、三点共线，、、三点共线），横板绕点转动，当小聪从水平位置下降至点处时，下降的竖直高度（于点），此时小明升高至点处，小明距离地面的高度（于点，交于点），已知，，，求支点到地面的距离的长． 22. 如图是一块长方形的广场，长为米，宽为米，广场内部有一个正方形舞台，其边长为米，舞台距离广场左侧边缘米，右侧通道宽为米，阴影部分是绿化部分． （1）求绿化部分的面积；（用含的代数式表示，结果化为最简） （2）若米，米，求绿化部分的面积． 23. 为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 24. 如图,是等边三角形，E是边上一点，连接，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 25. 在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． （1）根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； （2）若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； （3）若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级数学作业单 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．任何非零数的零次幂都等于1，据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 2. 非物质文化遗产承载着中华民族的基因和血脉，是前人留给我们的宝贵财富．在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 如图，，连接，点在上，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到，再由得出，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ， 又 ∵， ， ， 故选：B． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 已知在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，建立方程求解a和b，再计算． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 6. 如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 【详解】解：∵是的中线，E是上的一点 ∴， ∴阴影部分的面积 故选：D. 7. 若关于的分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，列方程即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 即可得， 解得 故选：B． 8. 如图，在中， ，平分交AB于点D，E为线段上一点，连接，且，若，则的长是（    ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过D作于F，根据角平分线的性质得出，证明，得出，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵，平分， ∴ 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知某花粉的直径约为0.00000352米．将数据0.00000352用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，确定的值，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 11. “茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套， 慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天， 由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：， 故答案为：． 12. 对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式，解题关键是理解新定义的含义． 根据已知条件和新定义的含义，列出式子即可． 【详解】解：根据题意可得 故答案为：． 13. 如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 由三角形内角和定理可得，根据折叠可得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵折叠该纸片使得点落在边上的点处， ， ， ， 故答案为：18． 14. 如图，在中，，、分别为边、 上的动点，且满足，连接．当最小时，的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当D，F，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，解答即可． 【详解】解：过点A作于点A，使，连接，设与的交点为G， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D，F，C三点共线时，取得最小值， 即取得最小值， 故当点D与点G重合时，取得最小值， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程求解的方法是关键． 根据题意，先去分母，转换为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可． 【详解】解：， 整理得，， 等式两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为 1 得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为． 16. 已知一个三角形的三边长为，若，，求该三角形的周长的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系定理是解答此题的关键． 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到第三边的取值范围，即可解答． 【详解】解：，，分别是三角形的三边长，且，， 三角形第三边长的取值范围为， 即， 周长的取值范围为，即． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式化简的方法是解题的关键． 利用平方差公式和提取公因式法进行化简即可． 【详解】解： ． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，在边上找一点D，使的周长等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作垂直平分线及线段的垂直平分线性质，作线段的垂直平分线交于点D，连接即可； 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∴点D在的垂直平分线上，图略； 19. 如图，在四边形中，连接、．已知，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三边对应相等的两个三角形全等和全等三角形的性质是解题的关键． 由三边对应相等的两个三角形全等证明，再根据全等三角形的对应角相等即可证明． 【详解】证明：在和中 ， ， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） （2）在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 21. 如图1，小聪和小明玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，是支点（即、、三点共线，、、三点共线），横板绕点转动，当小聪从水平位置下降至点处时，下降的竖直高度（于点），此时小明升高至点处，小明距离地面的高度（于点，交于点），已知，，，求支点到地面的距离的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的实际应用，根据已知可先证明，从而得到，再结合进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 答：支点到地面的距离的长为． 22. 如图是一块长方形的广场，长为米，宽为米，广场内部有一个正方形舞台，其边长为米，舞台距离广场左侧边缘米，右侧通道宽为米，阴影部分是绿化部分． （1）求绿化部分的面积；（用含的代数式表示，结果化为最简） （2）若米，米，求绿化部分的面积． 【答案】（1）绿化部分的面积为平方米 （2）绿化部分的面积为575平方米 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，解题的关键是弄清题意． （1）绿化面积长方形的面积正方形面积舞台边的通道的面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，阴影部分的面积大长方形的面积广场舞台的面积舞台边的通道的面积， ， ∴绿化部分的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当米，米时，（平方米）， ∴绿化部分的面积为575平方米． 23. 为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 24. 如图,是等边三角形，E是边上一点，连接，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等边三角形的边角关系证明三角形全等，进而推导线段等量关系． （1）利用等边三角形得、及，证得； （2）结合等边三角形性质，将的周长转化为，代入数值计算． 【小问1详解】 证明： ∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴，即．在和中， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴． ∵是等边三角形，， ∴． 由（1）知， ∴的周长． 答：的周长为． 25. 在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． （1）根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； （2）若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； （3）若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 【答案】（1）1119或1911 （2）32 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （2）易得，据此即可得解； （3）根据密码可得多项式因式分解的结果为，展开与原式对比，求解即可． 【小问1详解】 解：， 当时，，， 密码为1911或1119； 故答案为：1911或1119； 【小问2详解】 解：32岁，理由如下： ， 王老师的锁屏密码是3535， ， 解得， 即王老师当前年龄是32岁； 【小问3详解】 解：设多项式分解的结果为， 当时可以得到密码2026或2620， ，或，， 解得，或，， 多项式因式分解的结果为， ， 可得， 解得 26. 【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度． 【答案】（1）17；（2），证明见解答过程；（3） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键． （1）延长交的延长线于点，证明和全等得，进而得，再根据平分得，则，由此可得出之间的等量关系，即可求解； （2）延长至点，使，连接，根据是的中线，得出，证明和全等得，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点作于点，延长相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，再根据得，则，然后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 如图①所示： ， ， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ∵，， ． （2）证明：延长至点，使，连接， 如图②所示： ∵是的中线，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）过点作于点，延长相交于点， 如图③所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $