2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第4—5章》期末复习常考热点解答题知识点分类专题训练

2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第4—5章》 期末复习常考热点解答题知识点分类专题训练（附答案） 一、图形与坐标 1．已知平面直角坐标系中，点的坐标为（为常数）． (1)当时，点在第______象限； (2)若点在轴上，则______； (3)若点到轴的距离是3，求的值． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当时，点在第______象限； (2)将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点，当点在第二象限时，求的取值范围． 3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点到轴的距离是2，到轴的距离是4，求点的坐标； (2)若在第二象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，且，求点的坐标； (3)若在第四象限的点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 4．在平面直角坐标系中： (1)若点，点，且轴，求的坐标； (2)若点，点，且轴，，求的坐标； (3)若点到两坐标轴的距离相等求的坐标． 5．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 6．看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 7．如图，这是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系．（每个小正方形的边长均为1） (1)请写出商会大厦和医院的坐标； (2)王老师在市政府办完事情后，沿的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方． 8．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 9．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1个单位长度． (1)写出三个顶点的坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标； (3)在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图痕迹）． 10．如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的，点的坐标为________． (2)作出关于直线l对称的，使点C的对应点为． (3)写出直线l的函数表达式为________． 11．如图，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点C为第一象限的一点，且的延长线交轴于点，当点运动时，请回答： (1)图中有没有全等三角形，若有请找出来并进行证明． (2)求的度数． (3)点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 12．【经验总结】我们在解决“如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：”这个问题时，只要证明即可． （1）请写出证明过程； 【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； 【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标． 二、一次函数 13．（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 14．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由． 15．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 16．自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛积极训练（骑车训练内容是骑到目的地，再原路骑回家中）．如图是他最近一次去骑车训练时离家的距离与所用时间之间的关系．请根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)这次训练小轩到达目的地用了多长时间？目的地离家的距离是多少？ (3)小轩返回家时的速度是多少？ 17．某校八年级学生去某大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当两车行驶后在途中相遇，求点P的坐标； 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴相交于，两点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度，分别交轴，轴于点，，求四边形的面积． 19．如图①，，，．已知动点以的速度按的路径运动，的面积（单位：）随时间（单位：）的变化如图②所示．若，试回答下列问题： (1)图①中长是多少？ (2)图②中是多少？ (3)图①的面积是多少？ 20．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象直接写出时，的取值范围． 21．如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 22．如下图，直线：与轴、轴分别交于点，，直线：与直线相交于点． (1)求直线和的解析式． (2)为轴上的动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 23．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)分析题意，图2中的_____，_____． (2)求段与之间的函数表达式； (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 24．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)是射线上的动点． ①连接，若的面积与的面积相等，求点的坐标； ②过点作轴的垂线，交轴于点，若，求点的坐标． 26．甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)a的值为________，甲车的速度为________千米/时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； (3)当时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 27．如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题． (1)乙容器中铁块的高度是 ． (2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长． (3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ． 28．如图，直线的函数表达式为：与x轴和y轴分别交于A，B两点，与直线交于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)若P为直线上一点，连接，当面积为6时，求P的坐标； (3)若直线，与直线、直线不能围成三角形，请直接写出m的值． 29．王老师准备骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，请通过计算帮他判断从家到学校选择哪种品牌的共享电动车更省钱，能省多少钱？ (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差1元． 30．如图1，直线与轴，轴分别交于两点，点是的中点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，若点是轴正半轴上一点，过点作于点，且，求点的坐标； (3)如图3，若点是上一点，且，连接，请用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．（提示：等腰直角三角形的两锐角都为） 参考答案 1．（1）解：当时，、， 则点的坐标为， 因此点在第四象限， 故答案为：四； （2）解：点在轴上，则， 解得， 故答案为：1； （3）解：根据点到轴的距离是3得：， 即或， 解得或． 2．（1）解：当时，， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四； （2）解：由题意得点坐标为，即， ∵点在第二象限， ，解得， 的取值范围为． 3．解：（1）点到轴的距离是2，到轴的距离是4， ， ， 点的坐标是或或或． （2）在第二象限， 点到轴的距离是到轴距离的3倍， ， ， 解得， 点的坐标是． （3）在第四象限， 点到两坐标轴的距离相等， ， ， ， 解得或（舍去）， 当时，， 点的坐标是． 4．（1）解：∵轴， ∴点的横坐标和点的横坐标相同， ∴，解得， ∴， ∴点坐标为； （2）解：∵轴， ∴点的纵坐标和点的纵坐标相同， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴点坐标为或； （3）解：∵点到两坐标轴距离相等，点横坐标和纵坐标不能同时为， ∴点不在原点上，可能在一三象限或二四象限， ①当点在一三象限时，， 解得， ∴，， ∴点坐标为， ②当点在二四象限时，， 解得， ∴，， ∴点坐标为， 综上，点坐标为或． 5．（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （3）解：点 的“长距”为7，且点在第二象限内，， ∴，且， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是3， 是“完美点”． 6．（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 7．（1）解：商会大厦，医院； （2）解：根据平面直角坐标系，可知王老师经过大剧院，体育公园，购物广场． 8．（1）解：由图可知：，； （2）∵平移后的对应点为， ∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到， ∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为， ∴， 解得． 9．（1）解：由题意得，，，； （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：如图所示，点P即为所求． 10．（1）解：图形如图所示，， 故答案为：． （2）解：图形如图所示 （3）解：根据关于直线l对称的，可得直线l是第二、四象限的角平分线， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 11．（1）解：有，，证明如下： ， ， ． 又，， ； （2）解：， ， ∴； （3）解：点E的坐标不变．理由如下： ∵， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 12．（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：过点C作x轴的垂线，分别过A、B作x轴的平行线，与过点C的x轴的垂线交于点F、点E，如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为； （3）解：当点B为直角顶点时，则， 如图3-1，分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为E、D， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 当点A为直角顶点时，则， 如图3-2，过点A作x轴的垂线，垂足D，过点C作于点E， 同理可证明， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 则点C的横坐标为，点C的纵坐标为2， ∴点C的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， 如图3-3，分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为E、F，过点C作交的延长线于点D， 同理可证明， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或或． 13．（1），是的一次函数；（2），是的一次函数 【分析】本题考查了列函数关系式、一次函数的识别，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据公式：路程速度时间，列出关系式，再判断是否为的一次函数即可； （2）根据长方形的周长公式列出关系式，再判断是否为的一次函数即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴是的一次函数； （2）∵一个长方形的长为，宽为，周长为， ∴与之间的函数关系式为； ∴是的一次函数． 14．(1) (2)点是上述函数图象上的点，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正比例函数的定义，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义可设，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下： 在中，当时，， ∴点是上述函数图象上的点． 15．(1)， (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本 (3)应选择甲商店更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立函数解析式． （1）根据总价单价数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据题意得，可得方程，再解方程即可； （3）将分别代入两个函数解析式，求出函数值，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． ∵， ∴应选择甲商店更优惠． 16．(1)图中的自变量是时间，因变量是小轩离家的距离 (2) (3) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解决本题的关键是读懂图象，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题． （1）根据函数的定义即可解答； （2）根据函数图象解答即可； （3）结合函数图象即可求出小轩返回家时的速度． 【详解】（1）解：图中的自变量是时间，因变量是小轩离家的距离； （2）解：由图象可知，这次训练小轩到达目的地用了，目的地离家的距离是； （3）解：， 答：小轩返回家时的速度是． 17．(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）设直线的解析式是，将A，B两点坐标代入解析式求出k和b，即可求出直线的解析式； （2）把代入直线的解析式求解即可． 【详解】（1）设直线的解析式是， 把，代入解析式得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）当时，； 则点P坐标为：． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可求解； （2）由一次函数图象的平移可知平移后的函数解析式为，则有，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 的面积为， ，即， ， ， 把点的坐标代入，得， ， 一次函数的表达式为． （2）解：由（1）可知：将直线向下平移个单位长度，得到直线， 令，则；令，则，解得， ，， ， 四边形的面积为． 19．(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据题意得：动点在上运动的时间是秒，又由动点的速度，可得的长； （2）由（1）可得的长，又由，可以计算出的面积，计算可得的值； （3）分析图形可得，图①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案． 【详解】（1）解：当时，动点在上运动， ． （2）解：当时，． 此时点在上运动，则． 故是． （3）解：由图②，得，， 则， 图①的面积是． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的函数图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从函数图象中获取相关的信息进行计算． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据直线经过，，画出函数图象即可； （3）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为 将，代入得， 解得 ∴该一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， （3）解：由图象可得，一次函数经过点 ∴当时，． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 22．(1)直线的解析式为，直线的解析式为． (2) 【分析】（1）将，代入，即可求出、，从而得到直线的解析式，根据直线解析式可求出，得到坐标，将坐标代入可求的解析式； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，当点与点重合时，的值最小，求出点坐标，即是的值最小时，的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得 解得 故直线的解析式为． 将代入，得． 将代入，得， 解得， 直线的解析式为． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，则． 连接交轴于点，当点与点重合时，的值最小． 设直线的解析式为． 把，分别代入， 得 解得 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标是． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标、线段和的最小值，解题的关键是作出关于轴的对称点，求与轴的交点． 23．(1)14，8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数表达式是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象即可得出结果； （2）设段与之间的函数表达式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得，令，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意并结合图象可得，，； （2）解：设段与之间的函数表达式为， 代入，可得， 解得， ∴段与之间的函数表达式为； （3）解：由（2）可得， 令，则， 解得． ， 圆柱体浸入水中的高度为． 24．(1)该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 (2)第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 25．(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据三角形的面积求点的坐标，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据一次函数的解析式求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据函数解析式求出相关点的坐标，设点坐标为，利用作差法表示出三角形的面积关系，列出方程求解即可； ②过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点，分两种情况进行讨论，利用全等三角形和轴对称的性质求出相关点的坐标，利用待定系数求出直线函数解析式，然后求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别交于点， 令，则， ． ， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为，将 和代入可得， 则 解得 直线的函数表达式为； （2）解：①如图1，直线与轴，轴分别交于点， 令，则， 解得， ． ． ． ， ． 过点作轴于点， 设点坐标为， ． ， ． 解得． 点坐标为； ②如图2，过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点． （Ⅰ）当点在轴上方时， ， ． ． ， ，即． ， 是等腰直角三角形． ． ， 又， ． ． 点的坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， 解得 直线的表达式为． 令，则， 解得． 点的坐标为． （Ⅱ）当点在轴下方时， 是点关于的对称点， ． ． 点坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， 解得 直线的表达式为． 令，则， 解得． 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 26．(1) (2)90千米/小时； (3) 【分析】题目主要考查一次函数的应用及根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象及一次函数的性质进行分类求解是解题关键． （1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，然后利用速度公式计算甲的速度； （2）设乙开始的速度为千米／小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程求解即可得出乙的速度，可得到，然后利用待定系数法求出线段所表示的与的函数关系式即可； （3）求出直线的解析式为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 40分钟小时， 设甲车的速度为千米／小时， 则 ∴甲车的速度（千米／小时）； 故答案为：； （2）解：设乙开始的速度为千米／小时， 则， 解得（千米／小时）， ， 则， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得． ∴线段所表示的与的函数关系式为； （3）解：由（1）知，，故． 甲车前40分钟的路程为千米，则， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设甲乙两车中途相遇点为，由，解得小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇， ∵， 故乙车在段时，由，解得，介于之间，符合题意． ∴当时，乙车出发小时乙与甲车相距15千米． 27．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得； （2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为； （3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为． 【详解】（1）解：由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程， 故当1分钟时，铁块高度为， 故答案为：8． （2）由图象可得时，甲、乙两容器中水的深度相同， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 设， 把，代入，得， 解得， 所以， 令，得，解得， 所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为． （3）解：由题图，得甲容器中初始水面高度为， 所以水的总体积为， 所以每分钟甲容器中的水倒出， 所以乙容器1～3分钟水的体积增加了， 因为乙容器 1～3 分钟水面升高了， 所以乙容器的底面积为． 因为丙容器的底面积为， 所以当水面为高时，丙容器中水的体积为， 此时甲容器中剩余的水的体积为， 所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度． 故答案为：24． 28．(1) (2)或 (3)或1或3 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，，进而求出，则点P只能在点E上方或在点D下方，据此画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）根据题意可得直线与直线平行或直线与直线平行或这三条直线交于一点，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，且点C在y轴的正半轴上， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P为直线上一点，且面积为6，且， ∴点P只能在点E上方或在点D下方， 当点P在点E上方时，如图所示， ∴， ∴， 解得， ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P在点D下方时，如图所示， ∴， 即， 解得 ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：∵直线，与直线、直线不能围成三角形， ∴直线与直线平行或直线与直线平行或这三条直线交于一点， 当直线与直线平行时，则， 当直线与直线平行时，则， 当这三条直线交于一点，即直线经过点时， 则， ∴， 综上所述，m的值为或1或3． 29．(1)当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费一样，都为8元 (2)选择品牌共享电动车会更省钱，能省2元 (3)15或25 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键。 （1）根据点的坐标为即可得交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再求出当时的值即可得到答案； （3）分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，点P的坐标为， ∴交点P表示的实际意义是当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费一样，都为8元； （2）解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 当时，； 把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴选择品牌共享电动车会更省钱，能省2元． （3）解：当时，∵两种品牌共享电动车收费相差1元， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵两种品牌共享电动车收费相差1元， ∴， ∴， 解得； 当时，∵两种品牌共享电动车收费相差1元， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 30．(1)直线的函数表达式为； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质． （1）求出，设直线的函数表达式为，解方程组得到直线的函数表达式为； （2）过点D作轴于点H，则，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，解方程得到，于是得到； （3）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，由（1）得，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由，令，得；令，得， ∴， ∵C是的中点， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点D作轴于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，令，得； ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $